2023屆上海市松江區高三二模數學試題一、填空題1．已知集合，，則______．【答案】【分析】根據先解不等式求集合，再應用交集的概念進行運算即可.【詳解】因為，,所以.故答案為:.2．若復數z滿足，則___________【答案】5【分析】利用復數的運算法則，算出和，再求模即可【詳解】故答案為：53．已知空間向量，，，若，則______．【答案】【詳解】，，，，解得，故答案為：.4．已知隨機變量X服從正態分布，若，則______．【答案】【分析】根據正態分布的對稱性即可求出指定區間的概率.【詳解】由正態分布的對稱性得.故答案為：0.94.5．已知，且，則______．【答案】【分析】利用同角三角函數的基本關系結合二倍角公式即可.【詳解】，，，.,.故答案為：.6．在的展開式中，的系數為_______．（用數字作答）【答案】【分析】首先寫出展開式的通項，再令的冪指數為，即可求出，再代入計算可得；【詳解】解：因為展開式的通項為，令，解得，所以，所以的系數為；故答案為：7．將下圖所示的圓錐形容器內的液體全部倒入底面半徑為的直立的圓柱形容器內，則液面高度為______．【答案】【分析】先求出圓錐形容器內的液體表面的半徑，再根據液體的體積不變，結合圓錐和圓柱的體積公式即可得解.【詳解】設圓錐形容器內的液體表面的半徑為，則，解得，設所求液面高度為，則，解得，所以液面高度為．故答案為：.8．現從名男醫生和名女醫生中抽取兩人加入“援滬醫療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫生性別同”，表示事件“抽到的兩名醫生都是女醫生”，則__________.【答案】【分析】結合分類計數原理，計算出抽到的兩名醫生性別相同的概率，計算出抽到的兩名醫生都是女醫生的概率，從而結合條件概率的計算公式即可求出.【詳解】由題意知，，，所以.故答案為：.9．參考《九章算術》中“竹九節”問題，提出：一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共2升，下面3節的容積共3升，則第5節的容積為______升．【答案】【分析】設自上而下的竹子容量依次為，可得為等差數列，根據，，可得數列的通項公式及【詳解】設自上而下的竹子容量依次為，可得為等差數列，則，解得，故，，故答案為：.10．若，則的最小值為_____________________【答案】9【分析】化簡=，利用基本不等式可求得其最小值.【詳解】=，當時等號成立，所以的最小值為，故答案為.【點睛】本題主要考查同角三角函數之間的關系，利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.11．已知函數為上的奇函數；且，當時，，則______．【答案】##【分析】首先證明得，則根據其周期性得，再求出，最后相加即可.【詳解】因為，為上的奇函數，所以，所以為周期為2的周期函數，因為當時,,則，令,得,,又因為為奇函數，則，所以，則，則，所以，所以，故答案為：.12．已知點是平面直角坐標系中關于軸對稱的兩點，且．若存在，使得與垂直，且，則的最小值為______．【答案】【分析】設，，根據向量線性運算可得，設，則，由向量垂直的坐標表示可構造方程，結合二次函數最值求法可求得，由可求得最小值.【詳解】設在直線上，又是平面直角坐標系中關于軸對稱的兩點，，；設，，則，，，不妨設在的左側，，則，與垂直，，即有解，，，即的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查平面向量模長最值的求解問題，解題關鍵是能夠將問題轉化為求解與變量有關的函數最值的求解問題，從而根據向量的線性運算和向量垂直的坐標表示求得的范圍，結合函數最值求法可求得結果.二、單選題13．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】由，求得，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，直線，直線，因為，可得,，即，解得，所以“”是“”的必要非充分條件.故選：B.14．為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入x（萬元）支出y（萬元）根據上表可得回歸直線方程，其中，，據此估計，該社區一戶收入為15萬元家庭年支出為（

【答案】B【分析】求出，，則求出，最后得到回歸直線方程，代入即可.【詳解】由題意得，，,則，所以,當時,,故選：B.15．若方程的解集為M，則以下結論一定正確的是（

）（1）

（2）（3）

（4）A．（1）（4） B．（2）（4）C．（3）（4） D．（1）（3）（4）【答案】C【分析】根據特殊值法可確定(1),(2)選項錯誤;根據集合的基本關系可以判斷(3),(4)正確.【詳解】設,,,,故(1),(2)錯誤;根據集合的基本關系可以知道,,(3),(4)正確.故選:C.16．已知函數，，在區間上有最大值，則實數t的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數求出函數單調性，據此知函數有極大值，根據函數在開區間上有最大值可知，區間含極大值點【詳解】，當或時，，當時，，所以函數在，上遞增函數，在上遞減函數，故時函數有極大值，且，所以當函數在上有最大值，則且，即，解得.故選：B.三、解答題17．在銳角中，內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，且．(1)求角B;(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理得，則，結合角的范圍即可求出角的大小.（2）通過三角恒等變換得，結合角的范圍即可得到其最值.【詳解】（1）由結合正弦定理可得:，因為為銳角三角形，所以，所以，，故.（2）結合（1）的結論有:由，可得:，當時,,即的最大值是.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，O是AC與BD的交點，，，平面ABCD，，M是PD的中點．(1)證明：平面ACM(2)求直線AM與平面ABCD所成角的大小．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，通過中位線性質得到，從而根據線面平行的判定定理得到平面；（2）取中點,連接,，利用線面垂直的性質得平面，從而將題目轉化為求的大小，再利用勾股定理求出，則得到，最后利用反三角即可表示出角的大小.【詳解】（1）連接，在平行四邊形中，因為為與的交點，所以為的中點，又為的中點,所以.因為平面平面，所以平面.（2）取中點,連接,，因為為的中點,所以,且,由平面，得平面，所以是直線與平面所成的角.因為底面為平行四邊形，且，，所以，則，在Rt中,,所以,從而，因為平面,平面,，所以在Rt中，，，所以直線與平面所成角大小為.19．某城市響應國家號召，積極調整能源結構，推出多種價位的新能源電動汽車．根據前期市場調研，有購買新能源車需求的約有2萬人，他們的選擇意向統計如下：車型ABCDEF價格9萬元12萬元18萬元24萬元30萬元40萬元占比5%15%25%35%15%5%(1)如果有購車需求的這些人今年都購買了新能源車，今年新能源車的銷售額預計約為多少億元？(2)車企推出兩種付款方式：全款購車：購車時一次性付款可優惠車價的3%；分期付款：無價格優惠，購車時先付車價的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付車價的．①某位顧客現有a萬元現金，欲購買價值a萬元的某款車，付款后剩余的資金全部用于購買半年期的理財產品（該理財產品半年期到期收益率為1.8%），到期后，可用資金（含理財收益）繼續購買半年期的理財產品，問：顧客選擇哪一種付款方式收益更多？（計算結果精確到0.0001）②為了激勵購買理財產品，銀行對采用分期付款方式的顧客，贈送價值1888元的大禮包，試問：這一措施對哪些車型有效？（計算結果精確到0.0001）【答案】(1)億元(2)①顧客選擇全款購車方式收益更多.②這一措施對購買車型有效．【分析】(1)先計算銷售一輛車的價格的數學期望,再計算,即可得今年新能源車的銷售額預計;(2)①先計算全款購車兩年后資產總額和分期付款購車兩年后資產總額則為顧客選擇全款購車方式收益更多.;②由①得,可得措施對購買車型有效．【詳解】（1）銷售一輛車的價格的數學期望為：（萬元）（億）所以，今年新能源車的銷售額預計約為億元（2）①全款購車兩年后資產總額為：（萬元）.分期付款購車兩年后資產總額為：（萬元）因為，所以顧客選擇全款購車方式收益更多.②由①得：,所以.所以，這一措施對購買車型有效．20．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為;雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為，．過點作不垂直于y軸的直線l交曲線于點A、B，點M為線段AB的中點，直線OM交曲線于P、Q兩點．(1)求、的方程；(2)若，求直線PQ的方程；(3)求四邊形APBQ面積的最小值.【答案】(1)，(2)或(3)2【分析】（1）用表示，由計算可得方程；（2）設直線的方程為，由，得出縱坐標之間的關系，由韋達定理消可求解；（3）由（2）可求出弦長，根據中點可寫出直線的方程，與橢圓聯立求出兩點坐標，計算點到直線的距離，以為底，可計算四邊形的面積，從而求出最小值.【詳解】（1）由題意可知：，所以，解得：，所以橢圓方程為，雙曲線方程為：.（2）由（1）知，因為直線不垂直與軸，設直線的方程為：，設點，則，由，則，即，聯立：，可得：，，由韋達定理可得：，將代入得：解得，當時，弦的中點，此時直線的方程為：；當時，弦的中點，此時直線的方程為：.所以直線的方程為或.（3）設的中點，由（2）可得，且，點，，直線的方程為：，聯立可得：，，且，由雙曲線的對稱性，不妨取點、，所以點到直線的距離為：，點到直線的距離為：，，所以四邊形的面積為，因為，所以當，即時，四邊形的面積取最小值2.21．已知，記，，．(1)試將、、中的一個函數表示為另外兩個函數復合而成的復合函數；(2)借助（1）的結果，求函數的導函數和最小值；(3)記，a是實常數，函數的導函數是．已知函數有三個不相同的零點．求證：．【答案】(1)(2)，最小值為(3)見解析.【分析】（1）直接計算即可；（2）利用復合函數求導法則得，再結合導數和函數最值的關系即可得到答案；（3）首先求出，求出其單調性，假設，再利用函數的單調性即可證明.【詳解】（1）（2）利用復合函數的求導法則可求得,令,可求得:令，，，所以，解得，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，所以函數的最小值為.（3）由，，令，解得，此時單調