專題22關于中點的聯想閱讀與思考線段的中點把線段分成相等的兩部分，圖形中出現中點，可以引起我們豐富的聯想：首先它和三角形的中線緊密聯系；若中點是在直角三角形的斜邊上，又可以引用“斜邊上的中線等于斜邊的一半”結論；其次，中點又與中位線息息相關；另外，中點還可以與中心對稱相連．解答中點問題的關鍵是恰當地添加輔助線，如作中線倍長、作直角三角形的斜邊上的中線、構造三角形、梯形中位線、構造中心對稱圖形等，如圖所示：例題與求解【例1】如圖，△ABC邊長分別為AB＝14，BC＝16，AC＝26，P為∠A的平分線AD上一點，且BP⊥AD，M為BC的中點，則PM的值為___________．(安徽省競賽試題)解題思路：∠A的平分線與BP邊上的垂線互相重合，通過作輔助線，點P可變為某線段的中點，利用三角形中位線定理解題．【例2】如圖，邊長為1的正方形EFGH在邊長為3的正方形ABCD所在的平面上移動，始終保持EF∥AB，線段CF，DH的中點分別為M，N，則線段MN的長度為()(北京市競賽試題)A．EQ\F(EQ\r(,10),2)B．EQ\F(EQ\r(,17),2)C．EQ\F(EQ\r(,17),3)D．EQ\F(2EQ\r(,10),3)解題思路：連接CG，取CG的中點T，構造三角形中位線、梯形中位線．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長AB到D，使BD＝AB，E為AB中點，連接CE，CD，求證：CD＝2EC．(寧波市競賽試題)解題思路：圖形中有兩個中點E，B，聯想到與中點相關的豐富知識，將線段倍分關系的證明轉化為線段相等關系的證明，關鍵是恰當添加輔助線．【例4】如圖1，P是線段AB上一點，在AB的同側作△APC和△BPD，使∠APC＝∠BPD，PC＝PA，PD＝PB，連接CD，點E，F，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點，順次連接E，F，G，H．(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；(2)當點P在線段AB的上方時，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，(1)中的結論還成立嗎？說明理由；(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．（營口市中考試題）圖①圖②圖③解題思路：結論隨著條件的改變也許發生變化，但解決問題的方法是一致的，即通過連線，為三角形中位線定理的應用創造條件．【例5】如圖，以△ABC的AB，AC邊為斜邊向形外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD＝∠ACE，M是BC的中點，求證：DM＝EM．（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：顯然△DBM不全等于△ECM，必須通過作輔助線，構造全等三角形證明DM＝EM．【例6】如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高CH與△ABC的兩條內角平分線AM，BN分別交于P，Q兩點，PM，QN的中點分別為E，F，求證：EF∥AB．（全國初中數學聯賽題）解題思路：從圖形的形成過程，逐步探索相應結論．將原問題分解為多個小問題．eq\o\ac(○,能)eq\o\ac(○,力)eq\o\ac(○,訓)eq\o\ac(○,練)A級1．如圖，若E，F，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點，則四邊形EFGH是____________．(1)如果把條件中的四邊形ABCD依次改為矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他條件不變，那么所得的四邊形EFGH分別為_______________________；(2)如果把結論中的平行四邊形EFGH依次改為矩形、菱形、正方形，那么原四邊形ABCD應具備的條件是_______________________．（湖北省黃岡市中考試題）2．如圖，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，則△ABC的周長為_______________．(重慶市競賽試題)3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E是AC的中點，若BC＝16，DE＝5，則AD＝______________．（南京市中考試題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，M，N分別是AB，AC的中點，D，E為BC上的點，連接DN，EM，若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，則圖中陰影部分的面積為________________．（北京市中考試題）5．A′，B′，C′，D′順次為四邊形ABCD的各邊的中點，下面條件中使四邊形A′B′C′D′為正方形的條件是（）A．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形C．四邊形ABCD是等腰梯形D．四邊形ABCD中，AC⊥BD且AC＝BD6．若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為8cm，則該等腰梯形的面積為（）A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．112cm27．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分別是BD，AC的中點，若AD＝6cm，BC＝18cm，則EF的長為（）A．8cmB．7cmC．6cmD．5cm8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE＝EG＝GB，AD＝18，BC＝32，則EF＋GH＝（）A．40B．48C．50D．56（泰州市中考試題）第8題圖第9題圖9．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于點D，M是BC的中點，求證：DM＝EQ\F(1,2)AB．10．如圖，在△ABC中，BD＝CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于點P，Q，求證：AP＝AQ．11．在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M．（1）如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，FM⊥MH；（2）將；（3）將△FMH還是等腰直角三角形嗎？（不必說明理由）(2009年河北省中考試題)12．在六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA，AB＋DE＝BC＋EF，A1，B1，D1，E1分別是邊AB，BC，DE，EF的中點，A1D1＝B1E1．求證：∠CDE＝∠AFE．B級1．如圖，正方形ABCD兩條對角線相交于點E，∠CAD的平分線AF交DE于點G，交DC于點F，若GE＝24，則FC＝_________________．2．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點F，M，N分別是AB，CD的中點，MN分別交BD，AC于點P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，BD＝10，則AC＝_________．（重慶市競賽試題）3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，以AB，AC為邊分別向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M為AD的中點，N為AE的中點，P為BC的中點，則∠MPN＝_________．（北京市競賽試題）4．如圖，已知A為DE的中點，設△DBC，△ABC，△EBC的面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關系是（）A．S2＝EQ\F(3,2)(S1＋S3)B．S2＝EQ\F(1,2)(S3―S1)C．S2＝EQ\F(1,2)(S1＋S3)D．S2＝EQ\F(3,2)(S3―S1)5．如圖，在圖形ABCD中，AB∥DC，M為DC的中點，N為AB的中點，則()A．MN＞EQ\F(1,2)(AD＋BC)B．MN＜EQ\F(1,2)(AD＋BC)C．MN＝EQ\F(1,2)(AD＋BC)D．無法確定MN與EQ\F(1,2)(AD＋BC)的關系6．如圖，凸四邊形ABCD的面積是a，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，那么圖中的陰影部分的面積為()A．EQ\F(1,8)aB．EQ\F(1,6)aC．EQ\F(1,4)aD．EQ\F(1,2)a（江蘇省競賽試題）如圖，在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA，CB到點E，F，使DE＝DF，過E，F分別作CA，CB的垂線，相交于點P．求證：∠PAE＝∠PBF．（全國初中數學聯賽試題）8．如圖，銳角△ABC中，作高BD和CE，過頂點B，C分別作DE的垂線BF和CG，求證：EF＝DG．（全俄奧林匹克數學競賽試題）9．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，并且∠MDN＝90°，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求證：AD2＝EQ\F(1,4)(AB2＋AC2)．（北京市競賽試題）10．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如圖1，連接DE，設M為DE的中點．(1)求證：MB＝MC；(2)設∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，讓Rt△ACE繞頂點A在平面內旋轉到圖2的位置，試問：MB＝MC是否還成立?請說明理由．（江蘇省競賽試題）11．已知△OAB，△OCD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．(1)如圖1，點C在OA邊上，點D在OB邊上，連接AD，BC，M為線段AD的中點，求證：OM⊥BC．(2)如圖2，在圖1的基礎上，將△OCD繞點O逆時針旋轉α(α為銳角)，M為線段AD的中點．①求證：OM＝EQ\F(1,2)BC；②OM⊥BC是否還成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由．12．如圖1，在△ABC中，點P為BC邊的中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM，PN．(1)延長MP交CN于點E(如圖2)．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM＝PN．(2)若直線a繞點A旋轉到如圖3的位置時，點B，P在直線a的同側，其他條件不變，此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3))若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其他條件不變．請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM＝PN是否成立．不必說明理由．（沈陽市中考試題）專題22關于中點的聯想例1、6例2B提示：取的中點，連，，則，，例3提示：取中點，連，證明例4（1）四邊形為菱形；（2）成立，連，，由≌，得，又，，，，則，故四邊形為菱形；四邊形是正方形例5證明：延長至，使，延長至，使，連，，，，=，≌，有，又，分別是與的中位線，，，故例6（1）如圖，，，皆為等腰三角形，連，，則，（2）如圖，分別延長，交于，，則∥A級平行四邊形（1）菱形、矩形、正方形、菱形；（2）對角線互相垂直、對角線相等、對角線互相垂直且相等2.303.64.305.D6.C7.C8.C9.提示：取中點，連結，，則，證明10.提示：取中點，連結，，則11.（1）略（2）連，，則四邊形為平行四邊形，可證明≌，則，，延長交于，則，則=，故是等腰直角三角形（3）是12.如圖，作□，連接，取的中點，則四邊形是梯形，連接，，由梯形中位線定理知，∥∥∥，∥∥∥，且，，同理作□，取的中點，連接，，由梯形中位線定理知，∥∥∥，∥∥∥且，，在與中，，。又，≌，=，=B級1.48提示：取中點，連接，則，=2HE．2．10 提示：取AD中點E，連接ME，NE，則ME=NE．3．60° 提示：分別取AB、AC中點F、G，連接FP、GP，FM，GN．4．C5．B 提示：連接AC，取AC中點P，連接PM，PN．6．D 提示：連接EF，FG，GH，HE，AC．7．分別取AP，BP的中點M，N，連接EM，DM，FN，DN．∵∴∠AMD=∠BND．∵