4-1-第二講直線和圓的位置關(guān)系-二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理公開課比賽一等獎(jiǎng)_第1頁
4-1-第二講直線和圓的位置關(guān)系-二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理公開課比賽一等獎(jiǎng)_第2頁
4-1-第二講直線和圓的位置關(guān)系-二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理公開課比賽一等獎(jiǎng)_第3頁
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一個(gè)幾何定理的應(yīng)用江蘇省徐州礦務(wù)局龐莊職校張懷林定理：如圖1，在圓接四邊形ABCD中弦AD平分∠BAC，則2ADcosα=AB＋AC．證明連接BD、DC、BC，設(shè)已知圓半徑為R，則由正弦定理有：BD＝DC＝2Rsinα，BC＝2Rsin2α．由托勒密定理有AB·CD+AC·BD=AD·DC．∴(AB+AC)·2Rsinα=AD·2Rsin2α．則2AD·cosα=AB＋AC．下面舉例說明它的應(yīng)用．例1如圖2，已知銳角△ABC的∠A平分線交BC于L，交外接圓于N，過L分別作LK⊥AB，LM⊥AC，垂足分別為K、M．求證：四邊形AKNM的面積等于△ABC的面積．(第28屆IMO)證明由已知得∠BAN=∠CAN，由定理有2ANcosα=AB＋AC，=AN·AL·cosα·sinα=AN·AK·sinα=AN·AM·sinα=2S△AKN＝2S△AMN．∴S△ABC=S四邊形AKNM．(第21屆全蘇奧數(shù))證明作正七邊形外接圓，如圖3所示．由定理有2c·cosα=b+c，又在等腰△A1A2A3中有2a·cosα=b．例3在△ABC中，∠C=3∠A，a＝27，c＝48，則b的值是____．(第36屆AHSME試題)解如圖4．作△ABC的外接圓，在取三等分點(diǎn)D、E，連CD、CE．由已知得：∠ACD=∠DCE=∠ECB=∠A，CD=AB=48，由定理有2CE·cosA=CB+CD①2CD·cosA＝CE+AC②又2CB·cosA=

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