4-1-第二講直線和圓的位置關系-三圓的切線的性質及判定定理-“黃岡杯”一等獎_第1頁
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文檔簡介

圓的切線的判定方法江蘇省阜寧中學成荃朱洪亮關于圓的切線的判定方法一般有以下三種：1．利用切線的定義：若直線與圓有唯一公共點，則該直線是圓的切線．2．若圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，則該直線是圓的切線．3．利用切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線．怎樣恰當而靈活地運用這些方法去解決問題呢？本文舉例說明如下：例1如圖1，已知△ABC中，AB=AC=13cm，BC=24cm，以點A為圓心，5cm長為半徑作⊙A．求證：BC所在的直線是⊙A的切線．分析由于已知條件中沒有提到直線BC與⊙A是否有公共點，即不知道直線BC是否經過某條半徑的外端，所以無法利用方法1和方法3，這就自然地想到利用方法2，即證圓心A到直線BC的距離等于半徑長．證明過圓心A作AD⊥BC，垂足為D．∵AB=AC=13cm，BC=24cm，∴直線BC與⊙A相切．例2已知直角梯形兩底之和等于斜腰長，求證：以直角腰為直徑的圓與斜腰相切．已知：如圖2，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD+BC=CD．求證：以AB為直徑的圓與斜腰CD相切．證明取AB中點O，過點O作OE⊥CD，垂足為E，連結CO并延長交DA延長線于點F．則△AOF≌△BOC，∴AF=BC，∠F=∠BCO，∴AF+AD=BC+AD=CD，即DF=CD．∴∠F=∠CDF，∴∠BCO=∠DCF．又∵∠ABC=∠CEO=90°，CO=CO，∴△BCO≌△ECO，∴OE=OB．∴以AB為直徑的⊙O與斜腰CD相切．例3如圖3，已知在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑作半圓O交斜邊BC于D，作OE∥BC交AC于E．求證：DE為⊙O的切線．分析由于直線DE與⊙O已有一公共點D．故可以把點D看成半徑的外端，這就啟發我們去連結OD，證DE⊥OD．證明連結OD，∵OE∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠B．∵OD=OB，∴∠3=∠B，∴∠1=∠2．又∵OE=OE，OA=OD，∴△OAE≌△ODE，∴∠ODE=∠A=90°，即DE⊥OD，∴DE與⊙O相切．思考想一想，若將本題中的已知條件“OE∥BC”改成“AE＝CE”或“CE=DE”，其結論是否成立呢？例4如圖4，已知△ABC內接于⊙O，∠ACB=45°，∠BAC=120°，延長CA到D，使AD=2AC，連結BD．求證：BD是⊙O的切線．證明連結OA，OB，OC，OA交BC于E，∵∠ACB=45°，∠BAC=120°，∴∠ABC=15°，∠AOB=90°，∵OA=OB，∠AOC=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠EOC=∠ECO，∴OE=CE．∴OA∥BD，∴∠DBO=∠AOB=90°，∴BD是⊙O的切線．由上述可見，

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