4-1-第二講直線和圓的位置關系-五與圓有關的比例線段“黃岡賽”一等獎_第1頁
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文檔簡介

c2=ab的證明思路當你遇到線段a、b、c在一條直線上，讓你證明c2=ab的幾何題時，……思路1換積為冪例1已知：如圖1，在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于M，且M是CD的中點，點P在DC的延長線上，PE是⊙O的切線，E是切點，AE與CD相交于F，求證：PF2=PC·PD．分析要證三條線段PF、PC、PD在一條直線上，在圖中尋找線段x，使x2=PC·PD．這點容易辦到，根據切割線定理可知：PE2=PC·PD(x=PE)．問題化歸證明PE=PF，本題即可獲證．思路2換冪為積例2已知：如圖2，AB是⊙O的直徑，CE⊥AB于E，并且交⊙O于G，交弦AD于F，求證EG2=EF·CE．分析即證EG2=EF·CE的式子中，三條線段EG、EF、CE在一條直線上，尋找圖中還有哪二條線段之積等于EG2．顯然，由相交弦定理的推論可知：EG2=AE·BE，如果證明得AE·BE=EF·CE，問題便告解決．再把等積式化成比例式，歸結到證明△AEF∽△CEB．例3如圖3，若正方形DEFG內接于直角三角形ABC(∠A=90°)，邊EF在斜邊BC上，則EF是BE、FC的比例中項．思路3換冪的底例4如圖4，點A、D在⊙O上，以點A為圓心的⊙A交⊙O于B、C兩點，AD交⊙A于點E，交BC于點F．求證：AE2=AF·AD．分析待證式中AE、AF、AD在一條直線上．因為，AE是⊙A半徑，由此，用AC替代AE，問題轉證AC2=AF·AD，還原為比例式后，發現如果證明△ACF∽△ADC結論就可獲證，問題不難解決．例5如圖5，點I是△ABC的內心，AI交邊BC于D，交△ABC外接圓于E．求證：IE是AE和DE的比例中項．分析待證結論為IE2=AE·DE,式中三段在一直線上.此題不象例4那樣有明顯的等線段替換,這時必須構造一條與IE相等的線段．連結BE，易證BE=IE，問題轉證BE2=AE·DE，再歸為證△ABE∽△BDE．思路4中間比替換例6過平行四邊形ABCD的頂點A引直線與對角線BD，邊BC及DC的延長線分別交于點E、F、G，則AE是EF、EG的比例中項．分析待證結論AE2=EF·EG中AE、EF、EG在一條直線上,先把結論轉化為∴結論得

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