答案例1.【分析】要證AE、DF互相平分，即要證四邊形ADEF為平行四邊形.證明：連結DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,∴DE∥AC，同理可得EF∥BA.∴四邊形ADEF是平行四邊形.∴AE、DF互相平分.例2【分析】有兩邊中點易想到連接兩邊中點構造三角形的中位線.思考：在例2的圖中取AC的中點F，假設BF與AD相交于點G′，如圖，那么我們同理可得，即兩圖中的G與G′是重合的，由此我們可以得出什么結論?歸納：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的.例3.解：連結EF，證四邊形ABFE和四邊形DCFE均為平行四邊形，得FM=AM，FN=DN，∴MN∥AD,MN=AD.例4.解：取BC的中點G，連接EG，FG，∵BG=CG，BE=AE，∴GE=AC，EG∥AC∴∠ONM=∠GEF，同理GF=BD，∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE，∴∠ONM=∠OMN，∴OM=ON.一、選擇題1、【答案】C【考點】三角形中位線定理【解析】解答：∵點D、E分別是邊AB，BC的中點，∴DE是三角形BC的中位線，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周長是△DBE的周長的2倍，∵△DBE的周長是6，∴△ABC的周長是：6×2=12．故選：C.分析：首先根據點D、E分別是邊AB，BC的中點，可得DE是三角形BC的中位線，然后根據三角形中位線定理，可得DE=AC，最后根據三角形周長的含義，判斷出△ABC的周長和△DBE的周長的關系，再結合△DBE的周長是6，即可求出△ABC的周長是多少．2、【答案】D【考點】三角形中位線定理【解析】【解答】∵D，E分別是AC，BC的中點，∴AB=2DE=20m．故選D.【分析】利用三角形的中位線定理即可直接求解．3、【答案】B【考點】三角形中位線定理【解析】解答：如圖，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴點D是BC的中點．又∵DE∥AC，∴ED是△ABC的中位線，且△EBD∽△ABC，∴相似比是：ED：AC=1：2，∴S△EBD：S△ABC=1：4．故選：B.分析：易證ED是△ABC的中位線，相似三角形△EBD∽△ABC的相似比是1：2；然后由相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行答題．4、【答案】D【考點】三角形中位線定理【解析】【解答】設三角形的三邊分別是a、b、c，令a=3，b=5，則2＜c＜7，10＜三角形的周長＜15，故5＜中點三角形周長＜．故選D.【分析】本題依據三角形三邊關系，可求第三邊大于2小于7，原三角形的周長大于10小于15，連接中點的三角形周長是原三角形周長的一半，那么新三角形的周長應大于5而小于，看哪個符合就可以了．5、【答案】A【考點】三角形中位線定理【解析】解答：如圖四邊形ABCD，E、N、M、F分別是DA，AB，BC，DC中點，連接AC，DE，根據三角形中位線定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根據平行四邊形的判定，可知四邊形為平行四邊形．故選：A.分析：利用三角形中位線定理可得新四邊形的對邊平行且等于原四邊形一條對角線的一半，那么根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定所得的四邊形一定是平行四邊形．6、【答案】B【考點】三角形中位線定理【解析】【解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC；又∵點E是BC的中點，∴BE=CE，∴AB=2OE=2×3=6（cm）．故選B.【分析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以OA=OC；又因為點E是BC的中點，所以OE是△ABC的中位線，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．7、【答案】C【考點】梯形中位線定理【解析】解答：AB∥DC，EF是梯形的中位線，∴AB∥EF，AB+DC=2EF，故A、B選項結論正確，∵EF是梯形的中位線，∴點G、H分別是AC、BD的中點，∴EG=FH=CD，D選項結論正確，∵，，∴四邊形AEFB和四邊形ABCD一定不相似，故C選項錯誤．故選C.分析：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以OA=OC；又因為點E是BC的中點，所以OE是△ABC的中位線，由OE=3cm，即可求得AB=6cm．8、【答案】B【考點】梯形中位線定理【解析】解答：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點O，則O是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，又∵PD=CQ，在Rt△ADP與Rt△HCQ中，∠ADP＝∠QCH∠A＝∠QHCPD＝CQ∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．故選B.分析：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，則可得當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4；9、【答案】D【考點】梯形中位線定理【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴E、GH、F分別為AB、BD、AC、DC的中點，又∵AD=6，BC=10，∴EF=（6+10）÷2=8，EG=HF=6÷2=3，∴GH=EF-EG-HF=8-3-3=2，故選D.【分析】根據梯形中位線的性質，計算出EF的長，再根據三角形中位線的性質，求出EG和HF的長，從而計算出GH的長．10、【答案】C【考點】梯形中位線定理【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴AD+BC=2EF，EF∥BC，∴∠PBC=∠BPE，∵BP是∠ABC的平分線，∴∠PBE=PBC，∴∠PBE=∠BPE，∴PE=BE，同理可得CF=PF，∵EF分別是AB、CD的中點，∴AB=2BE，CD=2CF，∴AB+CD=2（BE+CF）=2（PE+PF）=2EF，∴梯形ABCD的周長=AB+BC+CD+DA=4EF，∵EF=2，∴梯形ABCD的周長=2×4=8．故答案為：C.【分析】根據梯形的中位線等于兩底邊長和的一半并且平行于底邊可得AD+BC=2EF，EF∥BC，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠PBC=∠BPE，再根據角平分線的定義可得∠PBE=PBC，然后求出∠PBE=∠BPE，然后根據等角對等邊的性質可得PE=BE，同理求出CF=PF，再根據中點定義求出AB+CD=2EF，然后代入數據進行計算即可得解．11、【答案】B【考點】梯形中位線定理【解析】解答：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=4cm，∵E為AD的中點，∴ED=AD=2（cm），∵F、G分別為BE、CD的中點，∴FG=（ED+BC）=3（cm）．故選B.分析：由在平行四邊形ABCD中，BC=4cm，E為AD的中點，可求得ED的長，又由F、G分別為BE、CD的中點，根據梯形中位線的性質，即可求得答案．12、【答案】D【考點】三角形中位線定理，梯形中位線定理【解析】解答：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點，∴EF∥AD∥BC，∴①正確；∵在梯形ABCD中，設梯形ABCD的高是h，則△ABD的面積是AD×h，△ACD的面積是：AD×h，∴S△ABD=S△ACD，∴S△ABD-S△AOD=S△ACD-S△AOD，即S△ABO=S△DCO，∴②正確；∵EF∥BC，∴∠OGH=∠OBC，∠OHG=∠OCB，已知四邊形ABCD是梯形，不一定是等腰梯形，即∠OBC和∠OCB不一定相等，即∠OGH和∠OHG不一定相等，∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能證出相等，∴說△OGH是等腰三角形不對，∴③錯誤；∵EF∥BC，AE=BE（E為AB中點），∴BG=DG，∴④正確；∵EF∥BC，AE=BE（E為AB中點），∴AH=CH，∵E、F分別為AB、CD的中點，∴EH=BC，FG=BC，∴EH=FG，∴EG=FH，∴EH-GH=FG-GH，∴EG=HF，∴⑤正確；∴正確的個數是4個，故選D.分析：根據梯形的中位線推出①，求出△ABD和△ACD的面積，都減去△AOD的面積，即可判斷②；只有等腰梯形ABCD，才能得出∠OBC=∠OCB，再根據平行線性質即可判斷③；根據平行線分線段定理即可得出G、H分別為BD和AC中點，即可判斷④；根據三角形的中位線得出EH=FG，即可得出EG=FH，即可判斷⑤．13、【答案】B【考點】梯形中位線定理【解析】解答：過點M分別作G∥AB，MH∥CD，得平行四邊形ABHM和平行四邊形DCGM，∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90°，GH=BC-AD，MG=MH∴GH=2MN=6（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴AD=7-6=1∴EF=4，故選B.分析：過點N分別作NG∥AB，NH∥CD，得平行四邊形ABGN和平行四邊形DCHN，根據平行四邊形的性質可得到△GNH為直角三角形，且MN為其斜邊上的中線，由已知可求得AD的長，從而不難求中位線的長了．14、【答案】B【考點】梯形中位線定理【解析】【解答】∵MN是梯形ABCD的中位線，且MN=6，∴AD+BC=2MN=2×6=12．∴梯形ABCD的周長是AB+DC+AD+BD=4+4+12=20．故選B.【分析】此題只需根據“梯形的中位線等于兩底和的一半”，求得梯形的兩底和，再進一步計算其周長．15、【答案】D【考點】梯形中位線定理【解析】解答：根據題意可知EF是梯形ABCD的中位線，則A正確，因為EF是梯形ABCD的中位線，所以FG是△ACD的中位線，則EF平分線段AC.B正確，因為EF是梯形ABCD的中位線，再根據平行線分線段成比例，則梯形上下底間任意兩點的連線段被EF平分．C正確，因為梯形EBCF的周長為EF+EB+BC+CF，梯形AEFD周長為AE+AD+DF+EF，又因為EF是梯形ABCD的中位線，所以梯形EBCF與梯形AEFD周長之差的絕對值等于梯形兩底之差的絕對值．D錯誤，因為根據題意不能判斷AD和BC誰是上底誰是下底，所以不能判斷梯形EBCF的面積比梯形AEFD的面積大．故選D.分析：根據題意可先判斷出EF是梯形ABCD的中位線，然后再根據梯形中位線的性質分別進行判斷．二、填空題16、【答案】5【考點】三角形中位線定理【解析】【解答】∵D、E分別是AB、AC的中點．∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案為：5．【分析】根據三角形的中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，有DE=BC，從而求出DE的長．17、【答案】5【考點】三角形中位線定理【解析】【解答】如上圖所示，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周長=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案為5．【分析】由于D、E分別是AB、BC的中點，則DE是△ABC的中位線，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周長．18、【答案】2m-a?【考點】梯形中位線定理【解析】【解答】根據題意得，下底=2中位線-上底，則下底=2m-a.【分析】根據“梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半”較易求解．19、【答案】12【考點】梯形中位線定理【解析】【解答】∵EF是梯形ABCD的中位線，∴AE=BE，CF=DF，EF∥AD∥BC，∴DO=BO，∴AD=2EO，BC=2FO，∵FO-EO=6，∴BC-AD=2×6=12，故答案為：12．【分析】根據梯形的中位線得出EF∥AD∥BC，推出BO=DO，根據三角形的中位線求出AD=2EO，BC=2FO，代入求出即可．20、【答案】?【考點】三角形中位線定理【解析】【解答】延長CF交AB于點G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵∠GAF＝∠CAFAF＝AF∠AFG＝∠AFC∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵點D是BC中點，∴DF是△CBG的中位線，∴DF=BG=（AB-AG）=（AB-AC）=．故答案為：．【分析】延長CF交AB于點G，證明△AFG≌△AFC，從而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，點F是CG中點，判斷出DF是△CBG的中位線，繼而可得出答案．三、綜合題21、【答案】解答：在△AGF和△ACF中，∠GAF＝∠CAFAF＝AF∠AFG＝∠AFC∴△AGF≌△ACF，∴AG=AC=3，GF=CF，則BG=AB-AG=4-3=1．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位線，∴EF=BG=．?【考點】三角形中位線定理【解析】【分析】首先證明△AGF≌△ACF，則AG=AC=3，GF=CF，證明EF是△BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解．22、【答案】證明：取AC中點F，連接EF，DF，則EF為中位線，且EF‖AB、∠FEC=∠B=2∠C，在直角三角形ACD中，F是斜邊AC的中點，∴DF=CF，∴∠DEF=∠C，即有2∠FDC=∠FEC，∴∠EFC=∠FDC+∠DFE，∴2∠DFE=∠FEC=2∠FDC，∴DE=EF，∴AB=2DE．?【考點】三角形中位線定理【解析】取AC中點F，連接EF、DF，則EF為△ABC的中位線，結合條件可得到∠FEC=2∠C，結合直角三角形的性質可得到∠EDF=∠EFD，得到DE=EF，可得出結論．?23、【答案】（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：△ABC中，點E、F分別是AB、AC的中點，求證：EF∥BC且EF=BC，證明：如圖，延長EF到D，使FD=EF，∵點F是AC的中點，∴AF=CF，在△AEF和△CDF中，AF＝FC∠AFE＝∠CFDEF＝FD∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE=CD，∠D=∠AEF，∴AB∥CD，∵點E是AB的中點，∴AE=BE，∴BE=CD，∴BECD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，∴DE∥BC，DE=BC，∴DE∥BC且EF=BC.（2）證明：連接AF并延長，交BC延長線于點M，∵AD∥BC，∴∠D=∠FCM，∵F是CD中點，∴DF=CF，在△ADF和△MCF中，∠D＝∠FCMDF＝CF∠AFD＝∠MFC∴△ADF≌△MCF（ASA），∴AF=FM，AD=CM，∴EF是△ABM的中位線，∴EF∥BC∥AD，EF=BM=（AD+BC）．?【考點】三角形中位線定理，梯形中位線定理【解析】（1）作出圖形，然后寫出已知、求證，延長EF到D，使FD=EF，利用“邊角邊”證明△AEF和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CD，全等三角形對應角相等可得∠D=∠AEF，再求出CE=CD，根據內錯角相等，兩直線平行判斷出AB∥CD，然后判斷出四邊形BCDE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得DE∥BC，DE=BC.（2）