在教材中滲透數學實驗的思考與實踐

談起實驗，我們自然會與物理、化學、生物等學科產生聯系.其實，數學的發展與學習也離不開實驗.數學家歐拉曾說過：“數學這門科學需要觀察，也需要實驗”.著名數學家、數學教育家G.波利亞也曾精辟地指出：“數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看，數學像是一門系統的演繹科學；但另一方面，它是創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學”，指出“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見摸得著”.在發達國家，數學實驗已經成為常見的教學形式，美國的中學里有專門的數學實驗室，英國的中學教材中有許多數學實驗材料.美國2000年《學校數學的原則和標準》中要求，教師在課堂教學中有責任構建良好的智力環境，促進學生進行認真的數學思考.教師應該選擇和使用合適的課程材料、恰當的工具、先進的教學技術，以便支持學生的數學學習，組織適當的實驗，讓學生在實驗與操作的過程中理解數學.進入21世紀，“數學實驗”在我國也引起了廣大教師的積極關注，并在一些學校得以探索性的實施.《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》（以下簡稱《課標（修改稿）》）在基本理念、課程目標及內容的設定、教材內容的選取及呈現、教學資源的建設等方面都提出了數學實驗的相關要求，為我們開展數學實驗教學提供了新的發展空間：在基本理念中提出了“除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式”“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，提出了“把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現實的、探索性的數學活動中去”；在總體目標中提出了在繼承我國數學教育注重“雙基”傳統的同時，增加了基本思想和基本活動經驗，在強調發展學生分析問題和解決問題能力的基礎之上，增加了發現和提出問題能力的課程目標，突出了培養學生創新精神和實踐能力的改革方向.《課標（修改稿）》提出“教材應選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設計必要的數學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應用.”另外，《課標（修改稿）》在課程資源開發與利用建議中還明確地提到了開展數學實驗教學的相關要求：教師應當努力開發制作簡便實用的教具和學具，有條件的學?？梢越ⅰ皵祵W實驗室”供學生使用，以拓寬他們的學習領域，培養他們的實踐能力，發展其個性品質與創新精神，使不同的學生在數學上得到不同的發展.數學教材為學生的數學學習活動提供的學習主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.因此，如何選取適合的數學內容呈現數學實驗，理應成為教材編寫者認真考量的一個重要方面.一、關于數學實驗的基本認識數學實驗是讓學生借助于一定的物質儀器或技術手段，并在數學思想和數學理論的指導下，借助于對實驗素材進行數學化的操作來學（理解）數學、用（解釋）數學或做（建構）數學的一類數學學習活動.數學實驗一般具有可操作性和實踐性，注重實測與直觀，讓數學在實驗的過程中對所研究的內容“可視化”，讓學生從中獲得對數、形的理解，并逐步對其適度抽象，進行更高層次上的“再實驗”，進而體會數學的研究方法和構成體系，使學生在活動中認識并改造自己的數學知識結構.因此，數學實驗可以使學生逐步學會數學思維的物質實踐方法，掌握數學研究的規律，培養理性思考問題的習慣，能夠解決學科和實際生活的問題，并檢驗和論證問題的結果.數學實驗大致可以分成以下三種類型：1.實物驗證型——建立在實物直觀上的數學理解有些數學實驗，可以幫助學生通過實驗檢測、驗證已解結論或猜想的正確性，從而在實物直觀的基礎上獲得數學的理解.例如“三角形的三個內角和等于180°”，可以設計以下操作實驗讓學生獲得初步結論：方法1：畫一個三角形，用量角器量出它的三個內角，求其和；方法2：將一個三角形的三個角剪下來，拼成一個平角.在數學教學中所運用的測量、手工制作、實物或教具演示等形式屬于實物驗證型的數學實驗，其主要目的在于幫助學生獲得、理解和把握數學概念、定理，其形式可以是教師示范式，也可以是學生動手操作式.2.操作思考型——建立在實物模擬下的數學思考從認識的過程來說，直觀是在事物的作用下，學生在頭腦中形成感性知識的過程.盡管直觀只能形成感性知識，但它是思維的起點，是感性知識轉化為理性認識的開端.這里的事物，不一定是事物本身，也可以是模型、圖表、幻燈、電影等，借助直觀（不一定是讓學生用手摸，用眼看，也可以是通過對具體事例的描述、演示，讓學生在頭腦中恢復和建立起事物的形象）來幫助學生進行思維，從中發現數學事實，進而揭示數學規律或問題解決的本質.例如，“三角形的三個內角和等于180°”，可以設計以下的實驗幫助學生進行思考和理解.用鉛筆在紙上所畫的一個△ABC上做實驗：首先將筆尖指向A點（鉛筆與AC邊平行）；第1次旋轉的度數為∠A后，筆尖指向點A（鉛筆與AB邊平行）；第2次旋轉的度數為∠B后，筆尖指向點C（鉛筆與BC邊平行）；第3次旋轉的度數為∠C后，筆尖指向點C（鉛筆與AC邊平行）.經過三次旋轉后，筆尖正好調轉一個方向，這說明∠A+∠B+∠C=180°.這類設計本質上為學生提供所要學的數學知識與已有的經驗建立內部聯結的實踐機會，其價值體現在它既能使經驗材料經過數學抽象得以升華和結晶，又可以讓數學概念事實有了現實經驗背景，利于理解和記憶.3.探索發現型——建立在信息技術平臺上的數學探究計算機的使用正在改變數學的性質，數學正在成為一門“實驗科學”.借助于計算機（包括圖形計算器）的快速運算功能和圖形處理能力，模擬再現問題情境，可以引導學生開展自主探究數學知識、檢驗數學結論（或假設）的學習活動.在技術中介的參與下，學生可以進行“發現”或“再發現”.現今適宜用作中學數學實驗教學軟件平臺的專門軟件很多，主要有以下幾種：①“幾何畫板”，它幾乎涵蓋了整個中學數學課程的全部內容，操作也較為簡單；②“Z+Z智能教育平臺”，其融合了“幾何畫板”的優勢，軟件所提供的各種功能可以像在超級市場購物一樣進行隨意組合；③由美國Wolfram研究所開發的“Mathematica”，雖然初衷是為大學和科研機構服務，但它良好的表現使得它在中學數學實驗中的應用前景也比較樂觀.數學實驗以動手實踐為基點，數學思維為主線，問題解決為目標.因此，在選取某個數學內容開展數學實驗活動時，設計者需要考慮該數學內容是否具備以下三個條件：①可以選取適當的物質工具（實物模型、儀器或技術等）數學化地描述該數學內容或過程；②實驗的物質工具能被學生有目的地使用，實驗的方法與過程具有可操作性；③經歷數學實驗活動的過程，有利于學生更好地理解和掌握數學，發展數學思維，提高發現問題、分析問題和解決問題的能力.二、數學實驗的課程價值數學實驗是通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數學思維活動的參與下進行的一種以學生人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動.因此，“數學實驗”形象直觀地再現數學知識的發生過程，學生通過實驗獲得的是真正的數學經驗，而不僅僅是一些抽象的數學結論，充分體現了新的數學課程所追求的理念和目標.1.數學實驗可以激發學生的興趣，從而引導學生主動參與學習過程愛因斯坦在1935年的一次演講中這樣說：“做同樣的工作，它的出發點，可以是恐怖和強制，可以是追求威信和榮譽的好勝心，也可以是對于對象的誠摯的興趣和追求真理的愿望，因此也可以是每個健康兒童都具有的好奇心.”借助數學實驗，學生可以通過觀察、操作、實驗等實踐活動來進行數學學習，在這樣的學習過程中，學生不是被動接受課本上的或教師敘述的現成結論，而是從自己的“數學現實”出發，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗，逐步建構并發展為自己的數學認知結構.因此，在數學實驗中，學生由于親自動手操作，從一個旁觀者和聽眾變成了一個主動參與者，所以更容易對實驗結果、產生結果的原因、新的知識、新的學科以及新的方法等產生強烈的好奇心.2.數學實驗可以使抽象數學形象化，讓學生容易理解數學的本質意義數學概念是抽象的，但許多抽象概念是來源于現實的生活實踐，是從現實中概括出來的.因此在概念學中，教師應注意從現實中尋找實物模型或通過演示實驗幫助學生對概念形成感性認識.例如，關于函數概念的學習，可以借助“函數發生器”的實驗活動來幫助學生建立函數的概念：輸入一個x，輸出一個唯一的y.利用“函數發生器”，既可以幫助學生直觀地了解函數概念的本質，又可以避免抽象語言帶來的理解上的困難.直觀和具體是理解數學概念的重要方法和手段，教學中教師應努力通過生動形象的數學實驗解釋抽象的數學理論，讓學生真正理解數學概念的本質意義，增強概括抽象能力.3.數學實驗可以幫助學生學會思考，尋求到解決問題的途徑與方法在數學課堂教學中，常常會碰到學生解題時因為找不到突破口而困惑，此時我們可以引導學生通過數學實驗來發現規律，從而獲得解決問題的途徑和方法.例如：客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，客車長150米，貨車長250米.如果兩車相向而行，那么從兩車車頭相遇到車尾離開共需10秒鐘；如果客車從后面追貨車，那么從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭共需1分40秒.求兩車的速度.本題中由于兩車同時在運動，且有相向與同向兩種運動方式，學生的思維容易混亂.教學時可以就地取材，讓學生拿出計算器和文具盒，模擬兩車的行駛方向進行實驗，借助模擬實驗，學生就容易發現：相向行駛時，客車行駛的路程與貨車行駛的路程之和等于兩車車身長之和；同向行駛時，客車行駛的路程減去貨車行駛的路程等于兩車車身長之和.這時問題就迎刃而解了.4.數學實驗可以讓學生手腦結合，在體驗的過程中積累活動經驗《課標（修改稿）》將傳統的“雙基”發展成“四基”，首次將基本活動經驗與基礎知識、基本技能、基本思想一起作為學生數學素養的重要標志之一.數學活動經驗是指在數學目標的指引下，對具體的數學對象進行操作和探究時所獲得的一種認識.從靜態看，數學活動經驗是知識，是對數學活動產生的認識；從動態看，數學活動經驗是過程、是經歷，主體性、動態性、活動性是其主要特征.獲得的途徑主要包括：在“做數學”的過程中獲得；在“數學化”的過程中獲得；在“數學探究”中獲得.因此，“數學實驗”也是學生積累數學活動經驗的一種重要途徑.5.數學實驗可以讓學生享受成功，培養學生的積極的學習情感有調查顯示，學生對數學的評價是抽象、枯燥、傷心、離實際遠等.數學實驗的有效開展，使學生認知方式有所改變，認知途徑得到拓展，許多科學結論不再以完成、完滿的形式出現在學生面前，他們需要參與實驗活動，親身體驗數學知識發生、發展的過程，每個學生都可以自由地、大膽地猜想和實驗驗證，享受數學發現的喜悅，感知數學思想形成的生動歷程，實現了從“學數學”到“做數學”再到“玩數學”，從被動學習到主動學習再到創造性學習的飛躍.隨之而來的是學習態度的轉變和由靜態的、絕對的機械反映論的數學觀向動態的、（擬）經驗的、模式論的數學觀的轉變.因此，數學實驗教學對發展學生的積極數學情感是大有裨益的.三、數學實驗的教材設計初中數學中，有許多內容與“數學實驗”有關，特別是在初中數學中改造了傳統的幾何，引進了幾何變換、直觀幾何等內容，在傳統的代數中強調了“過程”，使得可供學生參與實驗活動的材料非常豐富.蘇科版教材在設計之初，就將數學實驗引進教材.例如在每一章都設計了章頭活動，依據學生已經具備的數學知識、活動經驗，結合本章將要學習的內容，設計了一個數學活動；在知識發生階段，設置了“做一做”“操作”“實踐與思考”等欄目，設計了適合學生觀察、操作、實驗、歸納等形式的活動材料，讓學生在“做”數學的過程中“發現”數學規律、數學結論，獲得數學思想和方法，學會學習、學會思考；專門設置了“數學實驗室”，并且每章一個“數學活動”、每冊一個“課題學習”……經過8年的實踐與完善，逐步形成了蘇科版教材“做數學”的特色，為教師在教學過程中開展數學實驗提供了幫助.1.設計教材導游圖，讓學生感受到動手實踐也是數學學習的一種重要方式蘇科版教材第一章設計了“生活、數學”“活動、思考”兩節作為全套教材的導游圖，用以讓學生初略感受本套教材將要學習的基本內容——數與代數、空間與圖形、概率統計、綜合與實踐，感受本套教材的主要特色之一——教材以“生活、數學”和“活動、思考”為主線展開課程內容，注重體現生活與數學的聯系、引導學生在活動中思考、探索，促進學生學習方式的轉變.教材在第二節“活動、思考”中，設計了4個實踐活動：①通過剪紙活動感受圖形性質；②通過搭火柴棒活動發現圖形與數字規律；③通過月歷發現規律和解決問題；④通過調查、數據統計作出判斷.在觀察、操作、想象、推理、交流等數學活動中，學生經歷動手實踐、自主探索、合作交流，增進了對數學的理解，感受到動手操作、調查研究等也是數學學習的一種重要并且有效的方法與途徑.同時，根據這些實驗內容的教學活動，可以引導教師關注創設能引發學生興趣和思考的操作性活動作為教學情境，以更好地實現數學課程目標.2.設計章頭活動，在實驗活動中激發學生興趣以及對后續學習的愿望各章的“章頭”中，教材編寫者結合本章內容設計一些的簡單問題，引導學生借助生活經驗或已有知識，通過“做”（操作、實驗等）來探索解決問題的途徑和方法，從而激發學生學習本章的興趣.例如，在八年級第十章《圖形的相似》中，教材編寫者設計了如下兩個操作活動來引入本章內容：首先，借助于方格紙，嘗試學生熟悉的畫圖游戲——將可愛的熊貓放大，從生活中感受“對應”與“放大”的含義；其次，通過對抽象的數學圖形（多邊形）的放大，并通過問題“這兩個多邊形的形狀相同嗎？”進一步體會數學圖形放大所發生的本質變化；然后再通過度量這兩個多邊形的對應邊和角具體感受圖形放大后的“變”與“不變”.由此引入本章的研究內容與研究方法，在動手操作中激發學生后續學習的愿望與興趣.3.設計“做”數學欄目，引導學生經歷實驗探究揭示“事例”的數學本質在知識發生階段，教材較多地采用“學生‘做’——在‘做’中感受和體驗——主動獲取數學知識”的方式呈現，并在學生通過“做”獲得感受的基礎上，揭示“事例”的數學本質，然后明晰有關知識.例如，在“探索三角形全等的條件”中，教材設計了“做一做”欄目：首先，用一張長方形紙剪一個直角三角形（剪下一個角）.怎樣能使全班學生剪下的直角三角形都全等？其次，觀察圖中的三角形，先猜一猜，再量一量，哪兩個三角形是全等三角形？然后，畫出一個已知兩邊與夾角的具體數值的三角形，剪下后與同學所畫的三角形進行比較，能重合嗎？由此得到三角形全等的判定方法之一.在各章節的教學內容，除了“做一做”，教材還設置了“操作”“實踐與思考”等多種形式的欄目，設計適合學生觀察、操作、實驗、歸納等形式的活動材料，讓學生在“做”數學的過程中“發現”數學規律、數學結論，獲得數學思想和方法，學會學習、學會思考.根據初中各年段學生的知識基礎和認知水平，三個年級的欄目也有所變化：七年級設置了“做一做”“試一試”“議一議”“想一想”“練一練”等欄目；八年級設置了“實驗”“操作”“交流”“討論”“嘗試”“探索”“猜想”“思考”等欄目；九年級設置了“實踐與探索”“操作與思考”“思考與探索”“觀察與思考”“嘗試與交流”“猜想與證明”“拓展與延伸”等欄目.這樣，便于教師根據學生的年齡特征和思維水平以及教學內容的不斷深入，恰當地組織、開展教學活動.另外，教材還專門設置了“數學實驗室”，引導學生通過數學實驗感受數學、探索知識和結論、應用所學知識解決問題.例如，“數據在我們周圍”一章中是通過設計了一個關于“環保小衛士”的選舉活動的數學實驗室，在實驗中體會并引入頻數與頻率的概念；又如，學生在學習完反比例函數內容后，教材設計了“用計算機探索函數y=圖象隨k值的變化情況”，引導學有余力的學生借助于現代信息技術，繼續對反比例函數的性質開展探究活動，加深對反比例函數的圖象與性質的理解和把握.根據學生的知識與經驗基礎以及心理與認知的特點，“數學實驗室”在不同的年級設定了相應的層次要求：七年級——感受（知識、方法、價值）和體驗，會描述實驗過程中的數學現象，能尋找解決問題的方法；八年級——感受和體驗、驗證和發現一些簡單的規律或結論，會表述實驗過程和結果；九年級——探索實驗現象的聯系和規律，在實驗過程中能反思和質疑，發展推理能力.4.設計“課題學習”與“數學活動”，將數學實驗活動由課內延伸到課外本套教材在每一章設置了“數學活動”，在每一冊后設計了“課題學習”，為學生提供更多的“做”數學的機會，將數學實驗由課內引申至課外.例如，教材在“位置變化與數量變化”一章的數學活動中，設計了如下的一個實踐活動：確定藏寶地小明在一本課外讀物中看到這樣一段文字和一幅圖：圖4是尋寶者得到的一幅藏寶地圖，荒涼的海島上沒有藏匿寶藏的任何標志，