線性系統的能控性和能觀性線性系統理論線性系統的能控性和能觀性1第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性23.1能控性和能觀性的定義3.2線性時變系統的能控性判據3.3線性定常系統的能控性判據3.4對偶原理與能觀性判據3.5線性系統的能控、能觀性指數3.6SISOS的能控規范型和能觀規范型3.7MIMOS的能控規范型和能觀規范型第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性33.1能控性和能觀性的定義3.1.1問題的提出研究系統的目的：更好地了解系統、控制系統。了解系統的含義：系統的組成、結構、屬性和運動規律等。控制系統的含義：當前狀態經一定時間是否轉移到期望狀態。能控性問題：已知系統當前時刻及其狀態，是否存在一個容許控制，使系統在該控制作用下于有限時間后到達希望的特定狀態？能觀性問題：已知某系統及其在某時間段上的輸入和輸出，可否依據這一時間段上的輸入和輸出決定系統這一時間段上的狀態？第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性43.1.2能控性定義定義：對于線性時變系統，若對取定初始時刻t0J的一個非零初始狀態x0,存在一個時刻t1J,t1>t0和一個無約束的容許控制u(t),t[t0,t1],使得系統在此控制作用下，系統由x0出發的運動軌線經過時間t1-t0后由x0轉移到x(t1)=0,則稱x0是系統在t0時刻的一個能控狀態。定義：對于線性時變系統，

x0

0，都是在t0時刻的能控狀態，則稱系統在時刻t0是完全能控的；t0[T1,T2],系統均在t0時刻為能控的，稱系統在[T1,T2]上是完全能控的。定義：對于系統取定初始時刻t0J，若狀態空間存在一個非零狀態在時刻t0是不可控的，則稱系統在時刻t0是不完全能控的。注：1、狀態轉移對軌跡不加限制及規定；

2、無約束表示幅值不加限制；

3、容許控制：J上平方可積，能量有限；

4、由零狀態轉移到非零狀態，稱為狀態能達的。第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性53.1.3能觀性定義第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性6定義（狀態能觀測）：對于線性時變系統，若對取定初始時刻t0J的一個非零初始狀態x0,存在一個有限時刻t1J,t1>t0,使得有區間[t0,t1]上的系統輸出可唯一地決定系統的初始狀態x0

，則稱此x0在時刻t0為能觀測的。（狀態能觀測）定義（狀態不能觀測）：對于線性時變系統，若對取定初始時刻t0J的一個非零初始狀態x0,若t1J,t1>t0,均有y(t)=0,t[t0,t1],則稱此x0在時刻t0為不能觀測的。定義（完全能觀測的）：對于線性時變系統，若狀態空間的所有狀態都是時刻t0(t0J)的能觀測狀態,稱系統在時刻t0

是完全能觀測的。若t0[T1,T2],系統均在t0時刻是完全能觀測的，稱系統在區間[T1,T2]上是完全能觀測的。定義（不完全能觀測的）：對于線性時變系統，取定初始時刻t0J，若狀態空間存在一個或一些非零狀態在t0的是不可能觀測的,稱系統在時刻t0

是不完全能觀測的。第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性73.2線性時變系統的能控性判據3.2.1Gram矩陣判據3.2.2基于狀態轉移矩陣的判據定理：假設A(t)和B(t)均是t的連續函數矩陣，則系統在時刻t0能控的充要條件是存在某個有限時刻t1>t0,使得矩陣(t1,)B()在[t0,t1]上是行線性獨立，即對任意n維非零向量Z,都有ZT

(t1,)B()0.第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性83.2.3基于系統參數矩陣的判據第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性93.3線性定常系統的能控性判據3.3.1定常系統能控性的特殊性引理：設線性定常系統在t0

[0,]時刻完全能控，則它必在[0,]上完全能控。3.3.2能控性矩陣判據定理：定常線性系統能控性的充要條件是

rank[BAB…An-1B]=n3.3.3PBH判據定理：定常線性系統能控性的充要條件是,對于每個(A),都有rank[A-InB]=n

｛(A)為A特征值集合｝第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性103.4對偶原理與能觀性判據3.4.1Gram矩陣判據3.4.2對偶原理第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性11定理：[對偶原理]系統L在t0

時刻完全能控的充要條件是它的對偶系統L在t0時刻完全能觀測。系統L在t0

時刻完全能觀測的充要條件是它的對偶系統L在t0時刻完全能控。3.4.3能觀性判據定理：假設A(t)和B(t)均是t的連續函數矩陣，則系統在時刻t0能觀的充要條件是存在某個有限時刻t1>t0,使得矩陣C()

(，t1)在[t0,t1]上是列線性獨立，即對任意n維非零向量Z,都有C()

(,t1)Z0.第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性12第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性133.5線性系統的能控、能觀性指數3.5.1線性系統的能控性指數第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性14第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性15第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性163.5.2線性系統的能觀性指數第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性17第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性183.6SISOS的能控規范型和能觀規范型3.6.1SISOS的能控規范型第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性19第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性203.6.2SISOS的能觀測規范型第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性21第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性223.7MIMOS的能控規范型和能觀規范型3.7.1兩種搜索方案第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性23第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性243.7.2MIMOS的Wonham能控規范型第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性25第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性263.7.3Luenberger能控規范型第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性27第27頁，共28頁，2023年，2月20日，星期六線性系統理論線性系統的能控性和能觀性283.7.4線性系統的能觀規范型定理：Wonham第一能觀規范