數(shù)學物理方程主講：周瀾E_mail:zhoul@答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室南京郵電大學、理學院、應用物理系.討論瞬時狀態(tài)圓盤上的熱傳導問題,導出貝塞爾方程。5.1貝塞爾方程的引入

設有半徑為R

的薄圓盤，其側(cè)面絕緣，邊界上溫度始終保持為零，且初始溫度已知，求圓盤的溫度分布規(guī)律。第五章貝塞爾函數(shù)穩(wěn)恒狀態(tài)熱傳導問題—歐拉方程。瞬時狀態(tài)圓盤上的熱傳導問題—貝塞爾方程。討論貝塞爾(Bessel)方程的解以及解的性質(zhì)..

問題歸結(jié)為求解如下定解問題：令，代入方程得進而得.求V改用極坐標，在極坐標系下，V的問題可以寫成再次分離變量,令

，代入化簡得亥姆霍茲方程（Helmholtz）.引入?yún)?shù)本征值

，本征值問題本征函數(shù).將代入另一方程得:n階貝塞爾方程.由條件得:由溫度是有限的，得:原問題就轉(zhuǎn)化為求貝塞爾方程在條件下的特征值和特征函數(shù).做代換,并記.這是n階貝塞爾方程的標準形式.方程轉(zhuǎn)化為.5.2貝塞爾方程的求解用x

表示自變量,y=y(x)

表示未知函數(shù),則n階貝塞爾方程為其中n為任意實數(shù)或者復數(shù),我們僅討論的情形.方程有如下形式的級數(shù)解：其中為常數(shù)。.逐項求導,有代入方程確定系數(shù)和：要使上式恒成立，各項x的冪的系數(shù)必須全為0將此級數(shù)解代入原方程中可得到：.由于a1=0,則選取情形1n不為整數(shù)由得（由分部積分公式可證）：..因此.這樣，得到方程的一個特解稱為階第一類貝塞爾函數(shù)(n>=0)..取指標

得方程的另一特解當n不為整數(shù)時,和線性無關．所以方程的通解可以表示為結(jié)論：

.如果選取得到當n不為整數(shù)時,和線性無關．稱為n階第二類貝塞爾函數(shù)或者鈕曼函數(shù),方程的通解也可表示為訂正書上126頁.2.當p為正整數(shù)時，有Gamma函數(shù)的定義與性質(zhì)

(見附錄A)5.3n為整數(shù)時貝塞爾方程的通解1.遞推公式：.(1)由得：（２）取n=N,在中,由于m<N時，

所以級數(shù)從m=N開始當n為整數(shù)時，有：.

所以，當n為整數(shù)時,與線性相關此時定義第二類貝塞爾函數(shù)為.

不為整數(shù).可以證明和線性無關，通解可寫為

由于，故（*）式右端的極限為形式，使用洛必塔法則最后可得到：.其中C為歐拉常數(shù)C=0.577216于是，此時n階貝塞爾方程的通解為：.貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)與遞推公式.性質(zhì)1有界性

.n為偶數(shù)時，為偶函數(shù)n為奇數(shù)時，為奇函數(shù)性質(zhì)2奇偶性

當n為正整數(shù)時.性質(zhì)3遞推性..一般的,有上面兩式左邊的導數(shù)求出來,并經(jīng)過化簡,則得.分別消去和,可以得到兩式相加減，貝塞爾函數(shù)的遞推公式若知道的值,就可以求出可得到任意正整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的值.只要已有零階和一階貝塞爾函數(shù)表，.對于第二類貝塞爾函數(shù),也有相應的遞推公式..例1求下列微積分...性質(zhì)4.

階貝塞爾方程：解：根據(jù)整數(shù)階貝塞爾方程的求解，可得..同理，可求得另外一個特解：因此方程的通解為由此可以推廣到半奇數(shù)階貝塞爾方程的求解根據(jù)Bessel函數(shù)之間的遞推關系，可求得任意半奇數(shù)階Bessel函數(shù)。.根據(jù)遞推公式：可得：由此可遞推出：.性質(zhì)5

初值

.性質(zhì)6零點

5.1節(jié)中，通過兩次分離變量，我們已將求解圓盤的溫度分布問題轉(zhuǎn)化為求解貝塞爾函數(shù)的特征值問題：

由5.3節(jié)可得，貝塞爾方程的通解為：（n為正整數(shù)時，Jn與J-n線性相關，不能組成方程的通解。）.根據(jù)自然邊界條件：可得中，B=0.故：再根據(jù)可得：因此，必須要計算Jn(x)的零點。.性質(zhì)6零點

有無窮多個關于原點對稱分布的零點；和的零點相間分布；的零點趨于周期分布，幾乎是以為周期的周期函數(shù)。.根據(jù)零點的結(jié)論，方程的解為：故貝塞爾方程的本征值為：與本征值對應的本征函數(shù)為：.性質(zhì)7、貝塞爾函數(shù)的正交關系n階Bessel函數(shù)序列在區(qū)間上帶權(quán)正交，即稱

其中為n階貝塞爾函數(shù)的第m個零點，即為n階貝塞爾函數(shù)的模。.取其解的兩個值分別代入原方程得正交性的證明：先將n階貝塞爾方程寫成如下形式.兩式相減，并對從0到積分，得上面兩式分別乘.貝塞爾函數(shù)模方的證明：由公式可得：當時，上式右端的極限為0/0，利用洛必達法則可計算該極限：.根據(jù)遞推公式以及得:故.稱為貝塞爾函數(shù)的模。.例2：證明的解為47..

在區(qū)間［０，R］上具有一階連續(xù)導數(shù)以及分段連續(xù)的二階導數(shù)的函數(shù)f(r),如果在r=0處有界,在r=R處等于零,則它必可以展開為如下形式的一致收斂的級數(shù)：性質(zhì)8、傅立葉-貝塞爾級數(shù)利用貝塞爾函數(shù)系的正交性可確定.例3：將1在區(qū)間內(nèi)展成的級數(shù)形式.解，其中令，則：從而于是有50.例4：將x在0<x<2區(qū)間內(nèi)展成的級數(shù)形式解，其中由于從而于是有51.例1:求解圓形薄盤上的熱傳導問題5.5貝塞爾函數(shù)的應用

設有半徑為1的圓形薄盤，上下兩面絕熱，圓盤邊界上的溫度始終保持為零，且圓盤上的初始溫度分布為，其中r為圓盤內(nèi)任一點的極半徑，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。.令：.54.

設有半徑為R的圓形薄膜，圓周沿垂直于薄膜所在平面自由移