2023年大類資產配置量化模型研究Black-Litterman模型的實現1.Black-Litterman模型是均值-方差模型的改進1.1.均值-方差模型開啟了量化配置時代馬科維茨（HarryMarkowitz）在1952年提出了著名的“均值-方差模型”（Mean-VarianceOptimizationModel，MVO），創建了現代資產組合理論，將大類資產配置帶入到量化配置時代。MVO模型是大類資產配置理論的重要基礎，其突出貢獻在于：（1）提出了“約束+最優解”的標準范式來研究資產配置問題；（2）采用均值和方差來刻畫資產收益與風險，使得進行量化配置成為可能；（3）同時考慮風險與收益，指出最優的投資組合并非單純追求最高收益或最小風險，而是在兩者之間找到平衡。均值-方差模型的輸入值包括三部分：收益、風險、反映投資者風險偏好的參數。Markowitz提出的均值-方差模型基于以下幾個假設：1)投資者是理性的，其行為模式是為了在給定收入和資金水平下最大化其投資效用。2)投資者可以自由獲得投資組合的收益和風險的信息。3)市場是非常有效的，對信息的反應是及時且準確的。4)投資者是風險厭惡的，并希望讓投資組合風險最小，收益最大。5)投資者基于預期收益和收益的標準差或方差做出投資決策。6)在給定風險水平下，投資者更喜歡高收益的投資組合。1.2.風險厭惡系數與目標波動率存在一定對應關系理論中常用的風險厭惡系數不可見，實際投資中目標波動率體現了風險厭惡程度。事實上，風險厭惡系數與投資者可接受最大波動率存在一定的對應關系。下面我們以存在借貸約束的投資者為例進行說明，此處引用楊朝軍(2021)做法。對于我國資產管理者或投資者而言，流動性需求迫使其資金在使用時需將一部分資金放在無風險資產上，其投資組合的權重w應有∑1≤1。1.3.BL模型引入主觀觀點對MVO進行改進MVO模型在理論上具有開創性意義，但在實踐中遇到了諸多問題。比如作為模型輸入參數的資產期望收益率難以準確估計，實際應用效果大打折扣；模型計算結果對輸入參數，尤其是預期收益率非常敏感，使得模型結果很不穩定；容易得到極端的結果，權重集中于少數或個別資產。為了解決這些缺陷，學界和業界不斷提出新的理論和方法進行改進。BL模型是傳統的均值-方差模型的改進。1990年，高盛的FisherBlack和RobertLitterman對MVO進行改進，開發了Black-Litterman模型（簡稱BL模型），并于1992年將其發表，后被業內廣泛使用。BL模型采用貝葉斯理論將主觀觀點與量化配置模型有機結合起來，通過投資者對市場的分析預測資產收益，進而優化資產配置權重。BL模型有效地解決了均值-方差模型對于預期收益敏感的問題，同時相較純主觀投資具有更高的容錯性，為投資者持續提供高效的資產配置方案。2.Black-Litterman模型理論介紹Black-Litterman模型的具體實現過程主要分四步：（1）通過逆向優化從市場均衡條件出發得到關于資產預期收益的先驗估計；（2）將投資者的主觀觀點作為新的信息，計算觀點分布；（3）將先驗收益分布和主觀觀點分布結合，使用貝葉斯方法計算得到資產預期收益的后驗估計；（4），將后驗收益和后驗協方差矩陣輸入均值-方差模型中進行優化求解，得到具體的資產配置比例。其中，市場均衡收益、后驗分布的計算是重點，參數設置的合理性、主觀觀點的預測準確性是模型效果的關鍵。2.1.模型理論準備2.1.1.資產收益建模無論是BL模型還是均值-方差模型，都需要先對資產收益、風險特征進行建模。均值-方差模型采用均值與協方差矩陣實現對資產收益和風險的刻畫；BL模型在此基礎上更進一步，將投資者主觀觀點建模匯入模型之中。按照Walters(2009)做法，我們從收益率的正態分布假設出發，構建一個有關資產收益的基礎模型，為后續的BL模型的進一步理論推導做準備。假設各資產的未來實際收益率r服從均值為，協方差為Σ的正態分布。2.1.2.貝葉斯公式貝葉斯公式是根據英國數學家貝葉斯的思想發展而來。貝葉斯思想源于一個簡單的事實——人們會根據新的信息更新對于已有事物的觀念。后人根據貝葉斯的思想創建了統計學中聲名遠揚的貝葉斯理論。貝葉斯理論與人們對事物的認知過程相吻合，為近現代的統計理論進步做出了卓越貢獻。Black和Litterman正是利用了貝葉斯理論，把主觀觀點和對資產收益率的先驗估計相結合，形成最終的對資產預期收益率的估計，即資產收益率的后驗估計。2.2.第一步：CAPM框架下反解先驗分布在沒有主觀觀點的情況下，我們將公式（14）中的稱為先驗收益率。在BL模型中，資產的先驗收益率實際上是由CAPM框架下市場均衡條件下的市場投資組合的權重與市場風險厭惡系數，通過逆優化反解(reverseOptimization)而來。在CAPM的框架下，當投資者觀點中性或市場中投資者的觀點相互抵消時，市場處于均衡狀態，資產均衡收益的分布即貝葉斯公式中的先驗分布；當投資者形成主觀觀點時（市場中出現了新的信息，并將逐漸反映到市場價格中），市場均衡出現了移動，市場均衡條件下的資產預期收益率理應發生偏離，其分布對應貝葉斯公式中的后驗分布。CAPM給出了均衡狀態下的市場組合權重、市場組合收益率和各個資產收益率之間的關系。2.3.第二步：投資者主觀觀點的數學表達BL模型將投資者關于資產收益率的主觀觀點作為輸入變量，投資者的主觀觀點可以通過P、Q和Ω的形式進行設定。假定投資者有對n個資產具有k個觀點，并且投資者的這些觀點可以用如下方式表示：a)P：資產觀點矩陣。P是一個k*n的矩陣，每一行是一個觀點，表示的是每一個觀點中各個資產的關系。b)Q：觀點收益矩陣。Q是一個k*1的矩陣，表示的是每個觀點對應的收益率。c)Ω：是觀點誤差的協方差矩陣。Ω是一個k*k矩陣。Black和Litterman（1992）假設，不同投資觀點之間是沒有影響，不相關的。故Ω是一個對角陣，其對角線上每一個元素是觀點誤差的方差，反映了投資者對該觀點的信心水平。Ω-1則表示投資者觀點的置信度。2.4.第三步：將先驗分布和主觀觀點結合得到后驗分布前面2.2和2.3兩個小節介紹了如何在市場均衡條件下得到收益率的先驗估計以及主觀觀點的數學表達形式。這一節著重介紹如何把先驗估計和主觀觀點通過貝葉斯方法融入得到預期收益率r和協方差的后驗估計。BL模型涉及的變量比較多?？偨Y一下主要有以下變量：1)資產在市場均衡條件下的收益率。資產均衡收益率構成了對于資產預期收益的先驗分布。Π可以通過逆向優化反解，由給定的風險厭惡系數λ、資產協方差矩陣Σ和市場均衡權重計算得到。2)投資者的主觀觀點P和Q。一般表示投資者對于資產的收益率預測情況或資產間的收益率差異情況。其中，P是觀點矩陣，表明了主觀觀點涉及哪些資產。Q是主觀觀點收益向量，表示每個觀點所對應的收益率大小。3)主觀觀點不確定性矩陣Ω。Ω實際是觀點誤差項的協方差矩陣，表示投資者對于每一個觀點的不確定性。4)先驗分布協方差矩陣相對于協方差矩陣的比例τ。該權重取值為0到1之間，決定了模型受主觀觀點影響的大小。τ越大，表明投資者的主觀觀點對模型結果的影響越大。2.5.舉例：BL模型與MVO模型單期結果對比BL模型通過貝葉斯方法把主觀觀點對收益率融入收益率估計中，進而對資產配置權重產生影響。為了對這種影響有更加清晰的認識，我們這里進行一個簡單的BL模型求解示例。我們假定這四類資產的市場均衡權重為0=(15%,22%,40%,23%)，那么我們可以根據公式(24)反解出各個資產先驗收益率Π。我們假定滬深300未來一個月的年化收益率為10%，恒生指數為1%，標普500與日經225指數不形成任何主觀觀點。我們對其分別使用均值-方差模型和BL模型求解各個資產的最優配置權重。2.6.Black-Litterman模型的缺陷和學術上的改進盡管Black-Litterman模型克服了傳統均值-方差模型的諸多弊處，但實際應用中仍存在一些缺陷。首先，觀點的準確性直接影響模型的效果，觀點錯誤會給組合帶來較大風險；其次，觀點輸入方式較為單一，往往需要投資者對于資產有較為具體的收益預測；再次，模型輸入參數較多，個別參數取值沒有統一的選取方式，也增加了實際使用難度；最后，模型假設收益率呈正態分布，與實際的尖峰厚尾分布有較大差別。針對這些問題，大量的學者對其進行了較為細致的研究并加以改進。為了解決這些問題，大量的學者對其進行了較為詳細的研究。為了改變觀點矩陣的輸入方法，EdwardQian、StephenGorman在2001年提出了新的模型（以下簡稱QG模型），將針對波動率和相關性的觀點設計到了模型中；RobertAlmgren、NeilChriss在2004年提出了將收益率排序觀點進行融合的模型（以下簡稱AC模型）；JacquesPezier在2007年提出了在最小區別原則（Leastdiscrimination）下的相對熵模型（以下簡稱P模型）。前KKR首席風險官AttilioMeucci提出的EntropyPooling模型(簡稱EP模型)在諸多模型基礎上再做改進，計算方便快捷，是此類模型的集大成者。Meucci(2010)將學術界對Black-Litterman模型的改進進行了總結，具體見下表。我們后續會根據需要進行相應研究，本篇報告僅聚焦實現BL的原始基本模型。3.Black-Litterman模型的實現本部分介紹Black-Litterman模型的基本實現過程。首先，我們需要對BL模型的各種參數選取、主觀觀點進行設定。然后，編程上主要使用python的開源包PyPortfolioOpt1實現Black-Litterman模型，構建一個簡單的適用于“固收+”產品的資產配置策略，并和固定權重模型、MVO模型的配置效果做了對比，驗證了BL相對前兩者的有效性。3.1.模型參數的設定BL模型涉及的參數很多，而且參數的取值不同學者有多種方式。模型能否有效運作的關鍵在于主觀觀點的準確性、參數設置的合理性。但較為準確的主觀觀點和適當的參數設置是比較困難的。本報告作為原始基本模型的介紹文章，選取較通用的做法來講解BL模型的構建和實現。3.2.Black-Litterman模型搭建我們將各資產最近一個月收益作為主觀觀點，使用BL模型構建一個簡單月度資產配置策略，來講解模型的具體實現過程。策略的收益風險目標設定為：年化收益6%左右、回撤4%左右的固收+策略，其業績比較基準為10%股票+80%債券+10%商品。具體編程實現上，主要使用PyPortfolioOpt包計算大類資產先驗分布、觀點分布和后驗分布；然后使用凸優化求解Cvxopt包求解二次優化問題。3.2.1.BL模型資產配置策略3.2.1.1.大類資產選取我們選取的投資標的為滬深300、標普500、恒生指數、中債-國債總財富（總值）指數、中債-企業債總財富（總值）指數和南華商品指數，分別來自股票、債券和商品三種大類資產。由于中債-企業債總財富(總值)指數數據自2006年11月20日始，故采用的數據區間為2006年11月20日至2023年1月31日。簡單起見，無風險利率設定為2%。我們每月末使用BL模型、MVO模型對大類資產權重進行求解，構建相應的資產配置組合。3.2.1.2.先驗預期收益Π、協方差矩陣的計算方法（1）先驗預期收益Π公式(24)Π=Σ建立了市場均衡權重、風險厭惡系數與資產均衡收益的聯系。Walters(2009)指出，采用公式(24)用市場均衡權重反解求得資產先驗收益，本質是為了降低收益率估計的不穩定性對模型結果的影響。我們在2.2介紹公式（24）和公式（25）時曾指出，對于Π、、，需要確定其中兩個變量，才能計算第三個。由于我們選擇的大類資產涉及境內外股票，而境內外資本市場的發展階段和有效性不同，直接使用市值權重是不合理的。從3.1的介紹可知，大類資產間的市場權重、市場風險厭惡系數都沒有統一的做法來確定取值。我們考慮采用中長期歷史收益率——過去五年的資產收益率作為收益率的先驗估計。具體來說，我們在之后BL模型策略構建中嘗試了兩種做法：1)認為未知，每月末使用各資產過去五年的歷史收益作為Π，并指定風險厭惡系數的值，比如=10。由于和存在對應關系，相當于指定了目標波動率。2)對進行人為指定權重，比如采用基準權重，即股:債:商=1:8;1，使用各資產過去五年的歷史收益作為Π，通過公式（25）反解。此時每一期的是動態變化的，相當于每一期的目標波動率也在變化。反解出的λ是持有指定（基準）權重組合投資者隱含的風險厭惡系數，指定（基準）權重組合的波動率為該投資者目標波動率或最大可承受的波動率。（2）協方差矩陣計算我們使用過去五年的日收益率樣本協方差作為協方差3的先驗估計。我們也對比了采用不同頻率（日頻、周頻、月頻）、不同窗口期（過去五年、三年和一年）的收益率計算的協方差矩陣，發現使用時間越長、頻率越高計算的協方差矩陣估計，最終得到的資產組合效果越好。3.2.1.3.基準策略組合和BL模型策略組合說明兩個基準策略組合。為了對比BL模型與傳統配置模型的效果差異，我們這里構建兩個基準策略：1)固定權重基準策略。固定權重基準策略采用每月末固定各個資產類別權重的做法（80%債券、10%股票和10%商品），對單資產類別下的各個資產進行等權處理，計算策略收益。2)均值方差基準策略。我們這里采用風險厭惡系數=10，在股票與商品權重均設置上限10%、雙邊換手率設置上限60%的約束條件下，構建均值-方差模型作為基準，對比BL模型與其優劣。兩個BL模型策略介紹。下面在股票與商品權重均設置上限10%、雙邊換手率設置上限60%的約束條件下，我們分別給定風險厭惡系數或市場均衡權重，構建兩種BL模型策略。1)BL模型策略1：給定市場風險厭惡系數(=10)下，進行BL模型計算。事實上，給定風險厭惡系數相對于給定了目標波動率。從后面結果可以看出，=10基本對應波動率≈2.1%左右，而=1基本對應波動率≈2.2%左右。2)BL模型策略2：設定在市場均衡狀態下，人為給定股票、債券和商品的市場的比例(1:8:1)；在某個資產類別下我們對各個細分資產進行等權處理。根據公式(25)，我們可以反解出對于當前市場權重的風險厭惡系數，進而進行BL模型計算。當投資者的目標波動率（最大可承受的波動率）和市場組合的波動率一致時，投資者的風險厭惡系數和市場權重隱含的風險厭惡系數一致。如果投資者目標波動率小于市場組合波動率，其風險厭惡系數值會大于市場組合隱含的。3.2.2.不同參數取值對模型策略結果的影響下面我們展示不同參數取值對模型策略結果的影響。對于BL模型策略1，不同的參數取值（雙邊換手率限制、資產權重約束、風險厭惡系數）對于模型策略表現的影響；對于BL模型策略2，不同的參數取值（市場均衡權重、資產權重約束）對于模型策略表現的影響。3.2.2.1.不同的參數取值對于BL模型策略1的影響（1）不同雙邊換手率限制對BL模型策略1的影響我們前面設定了雙邊換手率限制在60%，旨在限制BL模型和均值-方差模型在進行資產配置時出現大幅度調倉。下面考察不同雙邊換手率限制對BL模型策略1的影響。我們固定風險厭惡系數為10，設置股票權重上限和商品權重上限分別為10%，分別計算雙邊換手率為20%、40%、60%、80%、100%和無雙邊換手率限制時BL模型的策略表現，具體見下圖8。由下表7可知，當我們將雙邊換手限制設置較低時，由于BL模型可調倉空間較小，模型整體配置能力受到限制，BL模型策略走勢與傳統均值-方差模型表現差異較小，年化收益也較低；當雙邊換手率限制放寬時，BL模型策略的年化收益相應提升；當雙邊換手率無限制時時，BL模型策略充分發揮主觀觀點的配置效果，其回撤水平與年化收益也較為穩定。（2）不同的資產權重約束、不同市場風險厭惡系數對BL模型策略1的影響我們前面設定了資產權重約束限制在10%。下面考察不同資產權重約束限制對BL模型策略1的影響。我們固定風險厭惡系數為10，統一設置雙邊換手率限制為60%。分別計算股票權重上限和商品權重上限為5%、10%、15%、20%限制時BL模型策略1的策略表現，見圖9。由表7可知，結論和雙邊換手限制結論類似，股票和商品的約束上限提高為投資組合帶來了更多收益的機會，但在整體上同時帶來了更大的回撤和波動。風險厭惡系數體現了此時投資者對于投資組合的風險敏感程度?？疾觳煌L險厭惡系數條件下BL模型策略1的表現情況，這里統一設置雙邊換手率限制為60%，見圖10。由下表8可知，隨著風險厭惡系數的提高，模型的年化波動率減小，這與1.2的結論一致。3.2.2.2.不同的參數取值對于BL模型策略2的影響（1）不同股票商品權重上限、不同市場均衡權重對BL模型2的影響根據公式(24)與公式(25)，我們嘗試從給定市場均衡條件下的各個資產權重出發，反解出市場當前風險厭惡系數進行BL模型搭建，進而觀察市場均衡權重對BL模型的影響。其中，公式(25)的市場無風險利率統一設置為2%。首先，考察不同資產權重約束限制對BL模型策略2的影響。我們固定風險厭惡系數為10，統一設置雙邊換手率限制為60%。分別計算股票權重上限和商品權重上限為5%、10%、15%、20%限制時BL模型策略2的策略表現。由表9可知，結論和BL模型策略1類似，股票和商品的約束上限提高為投資組合帶來了更多收益的機會，但在整體上同時帶來了更大的回撤和波動。然后，考察不同市場均衡權重對BL模型策略2的影響。我們首先設定股票、債券和商品三種類別資產之間的比例。然后，在具體某個資產類別下我們對各個細分資產進行等權處理，最終得到各個資產的市場均衡權重。股債商三種類別資產的市值權重比例分別?。?:8:1）、（1.5:7:1.5）、（2:6:2）、（2.5:5:2.5）。由表8可知，如果我們預設市場均衡條件下高波動資產所占比例越高，此時對應的市場的風險厭惡系數越低，進而策略的波動性增大；反之，若降低市場均衡條件下的高波動資產所占比例，則策略的最大回撤和年化波動都