全等三角形典例題典例：知點(diǎn)：等角判例如在△AFD和△EBC中AE在一線上下面四個(gè)論斷AD＝CB）AE＝）＝）AD∥BC請(qǐng)將其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，編一道證明題，并寫出證明過程。思分：）意析本題一方面考查證明題的條件和結(jié)論的關(guān)系，另一方面考查全等三角形判定1中三邊對(duì)應(yīng)關(guān)。）題路根據(jù)全等三角形判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。首先定命題的條件為三邊對(duì)應(yīng)相等論斷中有且只有三個(gè)條件與邊有關(guān)應(yīng)論斷中）（2）為條件，來證明論斷4證全等之前，要先證明三邊分別對(duì)應(yīng)相等。解過：已知：如圖，eq\o\ac(△,在)AFD和EBC中點(diǎn)A，E，，在一直線上AD＝CBAECF，＝。證：AD∥BC。證：∵AE＝CF∴AE＋EF＝＋∴AFCE在△和△CEB中，∵

ADAFCEDFBE∴△AFD≌△EBCSSS）∴∠A＝∠∴AD∥解后思在運(yùn)用全等三角形判定1判斷三角形全等時(shí)定要找準(zhǔn)三邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后給出證明。小：例題一方面考查了命題的書寫與證一方面通過本題的嚴(yán)格證明鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)一步規(guī)范了三角形全等證明題的書寫。知點(diǎn)：等角判例：已知：如圖，

是

和

的平分線，

，OBOD

。求證）OAB△OCD）

AB

。1

思分：）意析本題主要考查全等三角形判定2中對(duì)應(yīng)關(guān)系。）解題路據(jù)全等三角形判定2邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全。在證明三角形全等之前，要先證明兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等。解過：證明）是

和

的平分線，∴∠AOP，BOP＝∠∴∠AOP＝∠COP－∠∴∠AOB＝∠COD在△OAB△中OC∵CODOBOD∴△OAB≌△（SAS（2由（）知△OAB△OCD∴ABCD解后思：在判斷三角形全等時(shí)，定要根據(jù)全等三角形判定，準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。例：已知：如圖，AB∥AB，求證：∥BCAD＝BC思分：）意析本題主要考查全等三角形判定2的用。）解題路據(jù)全等三角形判定2邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全。在證明三角形全等之前先將用于證明三角形全等的條件準(zhǔn)備好如由已知條件證明出兩邊和一角相等，以及如何用上AB∥這條件。解過：連接BD∵∥CD∴∠＝∠2在△和△中CD∵CDB

2

∴△≌△（SAS）∴AD＝BC∠＝∠CBD∴AD∥綜上：∥BCAD解后思本題中證明三角形全等用到了公共邊是解決問題的關(guān)鍵所在解決這類問題時(shí)要善于從題目中發(fā)現(xiàn)這些重要的隱含條件。例）圖中△ABC和△DEF滿AB＝DEAC＝DF，∠＝，這兩個(gè)三角形全等嗎？（2）在圖中△和滿足＝AB，ACAD，∠B＝∠，兩個(gè)三角形全等嗎？思分：）意析本題主要考查應(yīng)用全等三角形判定2判三角形全等的方法和需注意的問題。）題路在圖1中△ABC和DEF滿＝，＝，∠A＝∠，兩個(gè)三角形滿足SAS的件，所以這兩個(gè)三角形全等圖中ABC和滿足AB＝AB，ACAD，∠＝∠B，這兩個(gè)三角形雖然也有兩邊和一角相等，但兩個(gè)三角形的形狀、大小完全不相同，所以這兩個(gè)三角形不全等。解過）等）不全等。解后思有兩邊和一角相等的兩三角形不一定全等根所給的邊與角的位置進(jìn)行判斷兩個(gè)三角形滿足兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等“SAS時(shí)這個(gè)三角形全等；（2當(dāng)兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“SSA”，這兩個(gè)三角形不一定全等。在證明題中尤其要注意這一點(diǎn)。小：題組主要考查了對(duì)全等三角形判定的握情況兩邊和們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等一方面醒我們要注意兩邊和一角相等的另外一種情形邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定不全等個(gè)三角形全等時(shí)，要注意挖掘題目中的隱含條件如公共邊或公共角等。知點(diǎn)：等角判例：圖BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF求證：是△ABC的線3

思分：）意析要證明AM是ABC中線，就要證明BM＝，要證明線段相等，就要證明與BMCM有的三角形全等，≌△，然后從已知條件中找出能夠判斷這兩個(gè)三角形全等的條件。）題路結(jié)合已知條件和對(duì)頂角相等可由ASA來定△BEM△，從而得出＝，進(jìn)而得到AM是ABC的線。解過：∵⊥AECFAE∴∠BEM＝90在△△CMF中，BME∵

BEM=∴△BME△（ASA∴BM＝CM∴AM是△ABC的線。解后思：要證明AM是ABC的線，需要證明M是BC的點(diǎn)，因此，轉(zhuǎn)化為證明＝，結(jié)合已知條件，應(yīng)考慮證明與這兩條相等線段有關(guān)的可能全等的兩個(gè)三角形題中已有的條件和夠求出的相等關(guān)系正的判定方法來解決相關(guān)問題。知點(diǎn)：等角判例：知＝，∥，A∠，∠ABF∠。求證：AF＝。思分：）意析要證明AF＝DC就要先證ABF△，而已知中證明這兩個(gè)三角形全等的條件是∠A＝D∠ABF＝但還缺少一組邊，如何找到這組邊呢？根據(jù)BC＝，BCEF，想到連接BE，從而證明BFE≌△，一步得到BF＝EC再利用AAS來定兩個(gè)三角形全等。）題路要證明線段相等，我們可以考慮先證明三形全等ABF和中有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等它們?nèi)CBF＝可連證≌△ECB即可證得BF。解過：連接∵∥∴∠＝CBE在△BFE和ECB中4

∵CBE

∴△≌（SAS∴BF＝在△和中，∵DEC

BF=EC∴△ABF△（AAS）∴AF解后思：證明三角形全等是證明段相等的一種重要方法，解答時(shí)要結(jié)合圖形，分析已知條件與求證的結(jié)論，尋找溝通二者的橋梁。例在△ABC中＝AC

線

經(jīng)過點(diǎn)

ADMN

于

D

，BEMN

于

。（1）直線MN繞旋到圖的置時(shí)，求證：①ADC≌CEB；AD；（2當(dāng)直線MN繞C旋到圖b位置時(shí)，求證：

ADBE

；（3當(dāng)直線

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)到圖c的置，試問

DE、、

具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。圖a

圖b

圖c思分：題分證一條線段等兩條線段之和明一條線段等于兩條線段之差，就要想這條線段與兩條線段之間有何關(guān)系，以及兩條線段、與CE之間有何關(guān)系。這就需要我們用三角形全等來證明線段相等，從而實(shí)現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)化。解思

ADMN

于

D

BEMN

于

又90Rt

與CEB角對(duì)應(yīng)相等對(duì)應(yīng)相等DAC與同ACD的角，自然也是相等的，所以可得到≌CEB。一步可推出

AD

）（3問中（的證明思路類似先明≌再來證明、ADBE三條線段間的數(shù)量關(guān)系。解過：（1①ADCCADACDBCEACD90CAD

。5

，≌。圖a②

≌

CEB

，CEAD,CD。DECDBE。（2CEBACD又∵

。ACD

≌

CBE

。CEAD,CD

。DEADBE。圖（旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)

、

所滿足的等量關(guān)系是DEBEAD（ADBE－DEADDEADCCEB90

等ACD又∵

。≌。ADCEBE。DECEAD

。圖c解后思：在運(yùn)動(dòng)變換問題中不管運(yùn)動(dòng)變前后的圖形結(jié)是否發(fā)生變化解題的基本思路不變，一般情況下，運(yùn)動(dòng)前的解題思路及方法是為解答運(yùn)動(dòng)后的相關(guān)問題作鋪墊。小：本題主要考查如何運(yùn)用全等三角形判定4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等在動(dòng)變換問題中如何準(zhǔn)確地運(yùn)用三角形全等實(shí)現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)6

換。知點(diǎn)：等角判例知為ABC的為一點(diǎn)交AD于FAC，F(xiàn)DCD。證：BE。思分：）意析要證垂于AC，證90題意可知若能證明可得

BE

垂直于

AC

，這就要證

。這可由已知條件證明

ACD

≌

BFD

可知

由＋∠＝90°∠1＋∠＋∠＝，得到∠BEC。從而得到

BEAC

。）題路運(yùn)用直角三角形全等的判定方法：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，證明ACD≌BFD，一步得到解過：證：AD，BDAADC90,在RtACD和RtBFD中CD

。ACD

≌