優質模擬試題分類匯編（新高考卷）概率與統計板塊一：熱門考點梳理一．二項分布1．重伯努利試驗的概念只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗，將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗．2．重伯努利試驗具有如下共同特征（1）同一個伯努利試驗重復做次；（2）各次試驗的結果相互獨立．3．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為，用表示事件發生的次數，則的分布列為：，如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作4．一般地，可以證明：如果，那么.二．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣，一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．2．超幾何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p為N件產品的次品率)．三．二項分布與超幾何分布的區別1.看總體數是否給出，未給出或給出總體數較大一般考查二項分布，此時往往會出現重要的題眼“將頻率視為概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項分布.3.看一次抽取的結果是否只有兩個結果，若只有兩個對立的結果或，一般考查二項分布.4.看抽樣方法，如果是有放回抽樣，一定是二項分布；若是無放回抽樣，需要考慮總體數再確定.5.看每一次抽樣試驗中，事件是否獨立，事件發生概率是否不變，若事件獨立且概率不變，一定考查二項分布，這也是判斷二項分布的最根本依據.6.把握住超幾何分布與二項分布在定義敘述中的區別，超幾何分布多與分層抽樣結合，出現“先抽，再抽”的題干信息.3．二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為，用表示事件發生的次數，則的分布列為：，如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作4．一般地，可以證明：如果，那么.四.二項分布的兩類最值（1）當給定時，可得到函數，這個是數列的最值問題..分析：當時，，隨值的增加而增加；當時，，隨值的增加而減少.如果為正整數，當時，，此時這兩項概率均為最大值.如果為非整數，而取的整數部分，則是唯一的最大值.注：在二項分布中，若數學期望為整數，則當隨機變量等于期望時，概率最大.（2）當給定時，可得到函數，這個是函數的最值問題，這可以用導數求函數最值與最值點.分析：當時，由于當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得最大值，.又當，當時，，從而無最小值.五．復雜概率計算（1）善于引入變量表示事件：可用“字母+變量角標”的形式表示事件“第幾局勝利”，例如：表示“第局比賽勝利”，則表示“第局比賽失敗”.（2）理解事件中常見詞語的含義：A,B中至少有一個發生的事件為A∪B；A,B都發生的事件為AB；A,B都不發生的事件為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))；A,B恰有一個發生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B；A,B至多一個發生的事件為Aeq\o(B,\s\up6(－))∪eq\o(A,\s\up6(－))B∪eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).善于“正難則反”求概率：若所求事件含情況較多，可以考慮求對立事件的概率，再用解出所求事件概率.六．條件概率1.條件概率定義一般地，設為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率，簡稱條件概率．可以看到，的計算，亦可理解為在樣本空間中，計算的概率.于是就得到計算條件概率的第二種途，即特別地，當時，即相互獨立，則.2．條件概率的性質設，全樣本空間定義為，則（1）；（2）如果與是兩個互斥事件，則；（3）設事件和互為對立事件，則．七．全概率公式與貝葉斯公式在全概率的實際問題中我們經常會碰到一些較為復雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進行考慮一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意的事件，有.我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2.貝葉斯公式設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對任意事件，，有，在貝葉斯公式中，和分別稱為先驗概率和后驗概率．八．一維隨機游走與馬爾科夫鏈1.轉移概率：對于有限狀態集合，定義：為從狀態到狀態的轉移概率.2.馬爾可夫鏈：若，即未來狀態只受當前狀態的影響，與之前的無關.3.一維隨機游走模型.設數軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進一步，我們假設在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據全概率公式可得：有了這樣的理論分析，下面我們看全概率公式及以為隨機游走模型在2019年全國1卷中的應用.九．統計1.線性回歸方程與最小二乘法（1）回歸直線方程過樣本點的中心，是回歸直線方程最常用的一個特征（2）我們將稱為關于的線性回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線．這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估計（leastsquaresestimate），其中（3）殘差的概念對于響應變量，通過觀測得到的數據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差．殘差是隨機誤差的估計結果，通過殘差的分析可以判斷模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面工作稱為殘差分析．（4）刻畫回歸效果的方式（i）殘差圖法：作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內，帶狀區域越窄，則說明擬合效果越好．（ii）殘差平方和法：殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差．（iii）利用刻畫回歸效果：決定系數是度量模型擬合效果的一種指標，在線性模型中，它代表解釋變量客立預報變量的能力．，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差．二．試題匯編例1.（2023屆武漢9月調研）某商場推出一項抽獎活動，顧客在連續抽獎時，若第一次中獎則獲得獎金10元，并規定：若某次抽獎能中獎，則下次中獎的獎金是本次中獎獎金的兩倍；若某次抽獎沒能中獎，則該次不獲得獎金，且下次中獎的獎金被重置為10元.已知每次中獎的概率均為，且每次能否中獎相互獨立.（1）若某顧客連續抽獎10次，記獲得的總獎金為元，判斷與25的大小關系，并說明理由；（2）若某顧客連續抽獎4次，記獲得的總獎金為元，求. 例2（福建省部分地市2023屆高三第一次質量檢測）校園師生安全重于泰山，越來越多的學校紛紛引進各類急救設備．某學校引進M，N兩種類型的自動體外除顫器（簡稱AED）若干，并組織全校師生學習AED的使用規則及方法．經過短期的強化培訓，在單位時間內，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為和，假設每次操作能否成功相互獨立．（1）現有某受訓學生進行急救演練，假定他每次隨機等可能選擇M或N型AED進行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；（1）為激發師生學習并正確操作AED的熱情，學校選擇一名教師代表進行連續兩次設備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時，隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對某類型AED操作成功，則第二次繼續使用該類型設備；若第一次對某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進行操作．方案乙：在第一次操作時，隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種，無論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數的期望值為決策依據，分析哪種方案更好？例3（福建省泉州市2023屆高三畢業班質量檢測一）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，某數學建模小組為了獲得茶水溫度℃關于時間的回歸方程模型，通過實驗收集在25℃室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的數據，并對數據做初步處理得到如下所示散點圖．73.53.85表中：（1）根據散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關于時間x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程：（3）已知該茶水溫度降至60℃口感最佳，根據（2）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感?附：①對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：②參考數據：．例4（廣東省佛山市2023屆高三教學質量檢測一）近幾年，隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量也隨之增加，我市精品水果店大街小巷遍地開花，其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口，風味較好，廣受消費者的喜愛.在某水果店，某種獼猴桃整盒出售，每盒20個.已知各盒含0，1個爛果的概率分別為0.8，0.2.（1）顧客甲任取一盒，隨機檢查其中4個獼猴桃，若當中沒有爛果，則買下這盒獼猴桃，否則不會購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率；（2）顧客乙第1周網購了一盒這種獼猴桃，若當中沒有爛果，則下一周繼續網購一盒；若當中有爛果，則隔一周再網購一盒；以此類推，求乙第5周網購一盒獼猴桃的概率.例5（廣東省深圳市2023屆高三第一次調研）某企業因技術升級，決定從2023年起實現新的績效方案．方案起草后，為了解員工對新績效方案是否滿意，決定采取如下“隨機化回答技術”進行問卷調查：一個袋子中裝有三個大小相同的小球，其中1個黑球，2個白球．企業所有員工從袋子中有放回的隨機摸兩次球，每次摸出一球．約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問卷，否則按方式Ⅱ回答問卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”；方式Ⅱ：若你對新績效方案滿意，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”．當所有員工完成問卷調查后，統計畫○，畫×的比例．用頻率估計概率，由所學概率知識即可求得該企業員工對新績效方案的滿意度的估計值．其中滿意度．（1）若該企業某部門有9名員工，用X表示其中按方式Ⅰ回答問卷的人數，求X的數學期望；（2）若該企業的所有調查問卷中，畫“○”與畫“×”的比例為4：5，試估計該企業員工對新績效方案的滿意度．例6（廣州市2023屆高三一模）世界衛生組織建議成人每周進行至5小時的中等強度運動.已知社區有的居民每周運動總時間超過5小時，社區有的居民每周運動總時間超過5小時，社區有的居民每周運動總時間超過5小時，且三個社區的居民人數之比為.（1）從這三個社區中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；（2）假設這三個社區每名居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且.現從這三個社區中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率.例7（湖北省武漢市2023屆高三下學期二月調研）口袋中共有7個質地和大小均相同的小球，其中4個是黑球，現采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時停止.（1）記總的抽取次數為X，求E（X）；（2）現對方案進行調整：將這7個球分裝在甲乙兩個口袋中，甲袋裝3個小球，其中2個是黑球；乙袋裝4個小球，其中2個是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機抽取一個小球，當甲袋的2個黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進行抽取，直到將乙袋的2個黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數為Y，求E（Y）并從實際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關系.例8（江蘇省南通市2023屆高三下學期第一次調研測試）第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWorldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球大戰戰勝了法國隊.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關，隨機抽取了男?女同學各100名進行調查，部分數據如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計男生40女生30合計（1）根據所給數據完成上表，并判斷是否有的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關？（2）社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.已知男生進球的概率為，女生進球的概率為，每人射門一次，假設各人射門相互獨立，求3人進球總次數的分布列和數學期望.附：.例9（山東省濟南市23屆高三上學期期末數學試題）某芯片制造企業使用新技術對某款芯片進行生產.生產該款芯片有三道工序，這三道工序互不影響.已知批次甲的三道工序次品率分別為，，.（1）求批次甲芯片的次品率；（2）該企業改進生產工藝后，生產了批次乙的芯片.某手機廠商獲得批次甲與批次乙的芯片，并在某款手機上使用.現對使用這款手機的100名用戶回訪，對開機速度進行調查.據統計，安裝批次甲的有40名，其中對開機速度滿意的有30名；安裝批次乙的有60名，其中對開機速度滿意的有55名.試整理出列聯表（單位:名），并依據小概率值的獨立性檢驗，分析芯片批次是否與用戶對開機速度滿意有關.批次是否滿意合計滿意不滿意甲乙合計附:例10（山東省濟南市2023學年高三下學期開學考試）甲、乙兩人進行拋擲骰子游戲，兩人輪流拋擲一枚質地均勻的骰子．規定：先擲出點數6的獲勝，游戲結束．（1）記兩人拋擲骰子的總次數為X，若每人最多拋擲兩次骰子，求比賽結束時，X的分布列和期望；（2）已知甲先擲，求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率．例11（溫州市2023屆高三一模）2021年11月10日，在英國舉辦的《聯合國氣候變化框架公約》第26次締約方大會上，100多個國家政府、城市、州和主要企業簽署了《關于零排放汽車和面包車的格拉斯哥宣言》，以在2035年前實現在主要市場、2040年前在全球范圍內結束內燃機銷售，電動汽車將成為汽車發展的大趨勢．電動汽車生產過程主要包括動力總成系統和整車制造及總裝．某企業計劃為某品牌電動汽車專門制造動力總成系統．（1）動力總成系統包括電動機系統、電池系統以及電控系統，而且這三個系統的制造互不影響．已知在生產過程中，電動機系統、電池系統以及電控系統產生次品的概率分別為，，．（ⅰ）求：在生產過程中，動力總成系統產生次品的概率；（ⅱ）動力總成系統制造完成之后還要經過檢測評估，此檢測程序需先經過智