本文格式為Word版，下載可任意編輯——人教A版高中數(shù)學(xué)選修2第3章3.2第3課時(shí)

一、選擇題(每題5分，共20分)

1．如圖，正棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則異面直線A1B與AD1

所成角的余弦值為()

1

A.53C.5

2B.54D.5

解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系

Dxyz，設(shè)AB＝1.

則B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)

A1B＝(0,1，－2)，AD1＝(－1,0,2)

cos〈A1B，AD1〉＝

→→|A1B|·|AD1|＝

4＝－

55·5－4→

→

→→

A1B·AD1

→→

4

∴異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為，應(yīng)選D.

5答案：D

2．若正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，則側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為()A.6323

B.33

C.

1D.3

解析：

設(shè)正三棱錐P－ABC，PA，PB，PC兩兩相互垂直，設(shè)PA＝PB＝PC＝a.取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，易知∠PDC為側(cè)面PAB與底面ABC所成的角．易求PD＝26

a，CD＝a，22

故cos∠PDC＝＝答案：B

PDDC3.3

3．若平面α的一個(gè)法向量n＝(2,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a＝(1,2,3)，則l與α所成角的正弦值為()

A.

176216

B.

216213

C．－D.

a·n解析：cos〈a，n〉＝

|a||n|

＝

?1，2，3?·?2，1，1?

2

1＋4＋9·2＋1＋12＋2＋321

＝.

614×6

＝

答案：B

4．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，則該二面角的大小為()

A．150°C．60°

B．45°D．120°

→→→→→→→→

解析：由條件，知CA·AB＝0，AB·BD＝0，CD＝CA＋AB＋BD.→2→2→2→2→→→→∴|CD|＝|CA|＋|AB|＋|BD|＋2CA·AB＋2AB·BD

→→→→2222

＋2CA·BD＝6＋4＋8＋2×6×8cosCA，BD＝(217)，1→→→→

∴cosCA，BD＝－，CA，BD＝120°，

2∴二面角的大小為60°.應(yīng)選C.答案：C

二、填空題(每題5分，共10分)

5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是________．解析：如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

取正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，→

易證AC1是平面A1BD的一個(gè)法向量．

AC1＝(－1,1,1)，BC1＝(－1,0,1)．

→→

1＋16→→

cos〈AC1，BC1〉＝＝.3×23所以BC1與平面A1BD所成角的正弦值為答案：

63

6.3

6．正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角A－BD－C的余弦值為_(kāi)_______．解析：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，DO.建立如右圖所示坐標(biāo)系，

設(shè)BC＝1，則A?0，0，??1??33???

?，B?0，－2，0?，D?，0，0?.

??22???

3?→?13?→?

∴OA＝?0，0，?，BA＝?0，，?，

2???22?→

BD＝?

?31?，，0?.?22?

3?→?

由于OA＝?0，0，?為面BCD的法向量，可進(jìn)一步求出面ABD的一個(gè)法向量n＝(1，－3，

2??1)，

5→

∴cos〈n，OA〉＝.5答案：

55

三、解答題(每題10分，共20分)

7．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F(xiàn)分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝BF＝1，求直線EC1與FD1所成角的余弦值

→→→

解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸，z軸的正方向建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．

則有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(xiàn)(2,4,0)，C1(0,4,2)，→→

于是EC1＝(－3,1,2)，F(xiàn)D1＝(－2，－4,2)，→→

設(shè)EC1與FD1所成的角為β，

→→|EC1·FD1|21

則cosβ＝＝，

→→14|EC1||FD1|所以直線EC1與FD1所成的角的余弦值為

21.14

8.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為BC的中點(diǎn)，

F為CC1的中點(diǎn)．

(1)求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．

解析：建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，

C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(xiàn)(0,2,2)．

→

(1)EF＝(－1,0,2)，易得平面ABCD的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)，→

EF·n2→

設(shè)EF與n的夾角為θ，則cosθ＝＝5，

→5|EF||n|∴EF與平面ABCD所成的角的余弦值為→→

(2)EF＝(－1,0,2)，DF＝(0,2,2)，設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為m，→→

則m·DF＝0，m·EF＝0，可得m＝(2，－1,1)，

5.5

m·n6

∴cos〈m，n〉＝＝，

|m||n|