專題18最全歸納平面向量中的范圍與最值問題

【考點預測】

一.平面向量范圍與最值問題常用方法：

(1)定義法

第一步:利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系

第二步：運用基木不等式求其最值問題

第三步:得出結論

(2)坐標法

第一步：根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標

第二步：將平面向量的運算坐標化

第三步:運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底轉化向量

第二步：根據向量運算律化簡目標

第三步：運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等得出結論

(4)幾何意義法

第一步：先確定向量所表達的點的軌跡

第二步：根據直線與曲線位置關系列式

第三步：解得結果

二.極化恒等式

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：

5+S|2+|￡-BF=2(|￡『+|b『)證明：不妨設福=￡,而=石，則前=￡+B,

DB=a-h

對詞=(￡+*￡『+2￡不+件①

|DB|2=DB2=(a-b^=-2a-h+\h[②

①②兩式相加得：

時+阿=2帆?好卜磯研+畫)⑵極化恒等式:

上面兩式相減，得：；弧+42-(￡-@]-------極化恒等式

①平行四邊形模式：a-S=l[|AC|2-|￡>B|2]

兒何意義：向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線''與“差對角線”平方差

畤

②三角形模式：a-h=\AMf-^DB^為8。的中點）

三.矩形大法

矩形所在平面內任一點到其對角線端點距離的平方和相等已知點。是矩形N88與所在平面內任一

點，證明：OA2+OC2=OB2+OD\

【證明】（坐標法）設==以Z8所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy,

則B(a,0),D(0,b),C(a,6),設O(x,y),則

OA2+OC2=(x2+y2)+[(x-a)2+(y-h)2]

OB2+OD2=[(x-i?)3+/]+[x2+(y-h)2]Ofic+OC2=OB2+OD2四.等和線

（1）平面向量共線定理

己知方=2萬+〃而，若幾+〃=1,則A8,C三點共線；反之亦然。

（2）等和線

平面內一組基底次,而及任一向量。戶，OP=AOA+pOB（A，iieR）,若點尸在直線AB上或者在平行

于AB的直線上，則2+〃=左（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。

①當等和線恰為直線時，k=l；

②當等和線在O點和直線43之間時，Ze（0,1）；

③當直線Afi在點。和等和線之間時，&€（1,內）；

④當等和線過O點時，無=0；

⑤若兩等和線關于O點對稱，則定值%互為相反數;

B

B,

【題型歸納目錄】

題型一：三角不等式

題型二：定義法

題型三：基底法

題型四：幾何意義法

題型五：坐標法

題型六：極化恒等式

題型七：矩形大法

題型八：等和線

【典型例題】

題型一：三角不等式

一一一11111

例1.(2022?河南?洛寧縣第一高級中學高一階段練習)已知向量滿足|a|=2,|6|=l,|c-a-勿=1，若

對任意C，(1c-a1)2+(01-%1)2W11恒成立，則Q.R的取值范圍是.

【答案】-2,-g

【解析】

【分析】

由條件可得=I+；LD,由向量性質可得卜卜自+⑷水一〃一回用+1+q,從而

pi|-l<|c|<l+|a+l|,然后代入結合：二2-自1]可得出答案.

【詳解】

rr、2rr、2rrr、2rrrrr、2rr2rrr

解析：因為(zc-4)+(zc-b)-\zc—a—b\=c2-2ab,則S=(zc=a)zx=l+c2—2a-b,因為

1+*[1,3],

由陽訓心鼻心仙胭印+%

由1=|0-(“+6)區卜|+,+q,即卜上1-'+可，由卜+0e[l,3],則卜21-k+4恒成立.

由卜卜卜+4|￡°-(“+。)|=1,即k+^-14卜卜1+k+0

貝=1+(1。+例+1)2—24為=1+：+力2+1+2^^^^

=7+2>/5+2a-J<11>

解得又之?力一口電=-2

rr「1'

所以。為￡-2,--.

故答案為：一2,-;

例2.(2022?安徽省舒城中學三模(理))已知平面向量.，/，*同=同=1,若同冢+動,2,

B伍-斕21,則山的最小值是.

3

【答案】y##1.5

【解析】

【分析】

令萬=1+￡,v=e^-e^,即可得至!Jw_L/且|洲2+|>『=4,令q=(2cosa,0),v=(0,2sina),\a\=r,

5=(rsinArcoSy?),根據數量積的坐標表示及三角不等式計算可得；

【詳解】

解：令及=q+e2，v-ex-e2,則五?戶=同-同=0>故且|肝+|、F=2(|q『+B')=4,

令五=(2cosa,0),v=(0,2sina),\a\=r,a=(rsin/?,/cos/3),

a-u|=2r|cosa-sin/?|>2

所以根據已知條件有《

a-v\=2小ina-cos/?|>1

所以2rN2d8sa?sin/?|+2小ina?cos/?|N3,

3

即

2

當且僅當sina=正，￡=g-a，r=；時等號成立，所以1碼的最小值是:

3222

故答案為：I3

例3.(2022?浙江湖州?模擬預測)已知平面向量,,瓦湖滿足出|?曰|=1,若|3」一(石+或|=|萬石卜修1，則

-東+2h2+c2的最小值是.

［答案］叵。

【解析】

【分析】

利用絕對值三角不等式|3疝-|(6+c)\<\3a-(b+c)|,及三角函數的有界性可進行化簡分析.

【詳解】

設<2,5>=a,<%>=<,S13a-(&+c)|=|a?^|?|c|,根據三角不等式，有

\ia\-\(b+c)|<13a-(5+c)\=\a-5Hd二間而cosa\^c\=\acosa\<\a\,

得|2M|<|*+c|,

^-a2+2^2+c2>--|fe+c|2+2|6|2+|c|2=-|6|2+-|c|2--^,C

4442

=3印_3MBcos夕之2R|5|2［固

442V4422

故答案為：巫二1.

2

例4.(2022?浙江?模擬預測)已知平面內兩單位向量冢,，〈冢石〉=5,若滿足

c-et—c-e2=c+,則r的最小值是.

【答案】］_旦

26

【解析】

【分析】

設出q=g與卜2=-g,*,-=(x,y)得到“犬+丁，山不得關系得到卜怎+可L之；=/，

從而得到最小值.

【詳解】

一’1百1一(1百)一一一2

由題意，可以設4=不二丁，6=一不二丁，1=(%y),則由小4一3自=(?得x=x2+y。

(22J(22J-

山上4+1叫《=上怎+動L《=丁吟’

所以x=d+解得：1_2^<%<1+^

122626

即了的最小值是‘一業.

26

例5.(浙江省紹興市柯橋區2022屆高三下學期5月第二次適應性考試數學試題)已知平面向量入5、c

滿足：G與5的夾角為彗，傳-1>卜溝=0,同麗=2,記M是卜-”閘的最大值，則M的最小值是

x/3+l

【答案】

2

【解析】

【分析】

設函=萬,麗=5,麗=C,E為中點，令mi=x,|,|=y,|AB|=2r,|0E|=t,結合圖形,利用向量的線性運

算求出M=R-a-5|而=|函|+|覺轉化為函數求最小值即可.

【詳解】

如圖，

設/=昆麗=尻元=3￡：為中點，令

mi=x,|8|=y,|AB|=2〃OE|=r,

2兀

則NA08=7，x+y=2①，

—?1—>—>—>—>—>

因為0E=—（OA+OB）,AB=OB-OA,

2

故有方?麗=|0E『-；|A8/二>-；D=/一戶，

無2+y2_4戶___vny

cosZAOB=-----------=>-xy=x2+y2-4r2=>4r2=（x+y）2-xy②，由①②得，=1一--,從而

2xy4

*“彳孫=]一]孫孫w（0,l],

因為修一1〉心一5）=0,所以ACJ_BC,即點C在以為直徑的圓E匕

\]c-a-b\=\c-（d+b）|=|赤+反一2礪|=|前+或國的|+|反|,

1+

：.M=\c-a-h\max=\EO\+\EC\=t+r=孫+卜；孫>^-,

當且僅當|引=出|=1時，即孫=1時等號成立.

故答案為：叵乂

2

例6.（2022?全國?高三專題練習）已知非零平面向量滿足|￡+/；|=7兀則同fl的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

把給定等式兩邊平方，利用平面向量數量積性質轉化為同小|的不等式即可得解.

【詳解】

依題意，ab>0^\a+l^=a-h<^(a+h)2=(a-b)2+2ab+^^(a-b)2

+\b\2=(a-b)2-2ab<^(\a\-\b\)2+2\a\\b\+\=(a-b-1')2,

當時，上述最后等式不成立，從而有7B>1，

ab-\=7(l?|-|^l)2+2|a|-|^|+l>72|a|-|^l+l>當且僅當5日治時取“=”，

又當且僅當2與B同方向時取“=”，

則有，2|￡HH+IMZ石-1癡1?出1-1=>2|￡|.出I+1M(|￡H山-I)工解得|2|?㈤24,當且僅當時取

“一，，

所以剛砸勺最小值是4.

故選：A

例7.(2022?湖北?華中師大一附中高一階段練習)已知圓C的半徑為2,點/滿足|恁|=4,E,尸分別是

C上兩個動點，且用=2百，則恁.標的取值范圍是()

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【答案】C

【解析】

【分析】借助于垂徑定理處理，結合向量整理可得荏?通=|前+西產-3,再根據向量的加法可得

3<|AC+CW|<5.

【詳解】

取￡尸的中點M,連接CM,則CM="一的=1，

2222

AE-AF=^AM+ME^AM'+MF^=^AM+ME^AM-ME')=AM-ME=XJ^_3=IAC+CMI-3,

又||衣西|倒亞+而'|\AC\+\CM\,所以同+兩]45,

所以64荏?/422，

當且僅當向量衣與兩共線同向時，荏.而取得最大值22；向量正與兩共線反向時，通.需取得

最小值6,

故選：C.

例8.（2022?浙江?高三專題練習）已知平面向量

A

￡,b,"滿足忖=忖=乎1=1,"5卜1.若74+入則的最大值是

【答案】4+77

【解析】

【分析】

將之=呂+工代入所求，可得到，q+k+'q,分情況討論7工，4+石?"同號和異號兩種情況，利用向量模

的平方等于向量的平方計算可得和的最大值.

【詳解】

,目+忸回=向4+卜,+4=花4+卜+/4=忖臼+|4+/4當7",4+="同號時，

|a-c|+|4+fe-c'|=|a-c+S-c+4|=|^?+^j-c+4|<||a+?|c|+4|,而

+?=\la+b+2a-b<Jl+4+2=不，則卜,c|+忸?4卜4+近.

當￡."，4+="異號時，

|a-c|+|4+S-c|=|a-c-^-c-4|=|（a-ij-c-4|<||a-5|-|c|+4|,

而漏一邛=+b-2a-b<Vl+4+2=y/l,則悔4+幟2卜4+>/7.

因此悔4+R同的最大值為4+JF.

故答案為：4+V7.

例9.（2022?全國?圖一課時練習）已知在三角形ABC中，BC=4,\AB\=2\AC\,則ABAC的取值范圍

是（）

A.?，321B.-y,32C.（0,32）D.[0,32）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據三角形三邊關系得到|Aq的取值范圍，再利用余弦定理表示出cosNC4B,最后根據平面向量數量積

的定義計算可得：

【詳解】

解：因為BC=4,|陰=2同0,所以4cl<4'即LAC/ACIVV解得§<健[<4,由余弦定

AC2+AB2-BC2.

理TL）IcosNCAB=----------------------,所R以RIL

2ACAB

222222

A發B?學AC=IAABRI-L1A^C1cosZ.CAB=1A^B1-lAl^Cl--A--C----+---A--B------B--C---=--A--C----+--A---B------B--C---

IlliIlli2ACAB2

=5“『T6,因為J<[4C|<4,所以所以一必<史史1竺<32,即

23992

uunuum（37、

AB-ACel-y,32l；

故選：A

例10.（2022?全國?高一專題練習）已知同=2,W=l,￡與坂的夾角為60',若向量"滿足

叫=2折則向的取值范圍是（）

A.[4-2A/3,4+2X/3]B.[6,5句

C.[26,66]D.[5-26,5+2白]【答案】C

【解析】

【分析】

根據平面向量數量積運算性質及三角不等式計算判斷.

【詳解】

因為1磯=2,|5日,萬與5的夾角為60。，

所以/=4,廬=1,無5=2/<0$60。=1,

所以滿足120+妨|=2伍+芬|=2-Ja2+4a-b+4-b2=2J4+4J+40=46，

因為鹿|一|。+妨北北-26-訪|,

所以|24+4E|-|C-2〃-4b|剜n\2a+4b\+\2a+4b\,

所以2例66，

故選：C

例11.（2022?浙江寧波?高三期末）已知平面向量入b,c,其中2,B是單位向量且滿足。力=5，

4c2-4a-c-4b-c=]>若c=xa+出（x,yeR）,則x+y的最小值為.

3-25/3

【答案】

3

【解析】

【分析】

根據已知條件將向量2代入4片-474="=1整理可得關于x、V的二元二次方程，然后通過換元，利用

方程有解△20可得.

【詳解】

c=xa+yb4c~-4a-c-4b-c=4c-(c—a—b')=(xa+yb)-[(x-l)a+(y—1)^]

=4[x(x—l)a~+(2孫—x—y)?石+y(y—1)方]乂'b是單位向量且“4=萬

，上式=4[(x+y)2-(x+y)-切=1

令x+y=f,y=t—x彳t入上式整理.得：4x2-4rx+4r2-6?-l=0

關于X的方程4x2—4fx+4/2-6f-1=0有實數解

.?.△=16/-16(4/-6—1)20整理得：3--6―140,解得土必巨W三2叵故答案為：土2g.

333

例12.(2022?全國?高三專題練習)已知向量￡,各是平面內的兩個非零向量，則當|￡+)+區一可取最大值

時，￡與坂夾角為.

【答案】￡##90°

2

【解析】

【分析】

根據4+.-|￡-4了20,結合平面向量數量積的運算性質推出忖+q+,-閘42忖麗，再根據題意以

及等號成立條件，即可求解.

【詳解】

?.?向量￡,B是平面內的兩個非零向量，

.?.眄耳干一孫叩+邛+*邛呻+而誹0,當且僅當卜+%*同時取等號,

￡+邛+2p一一邛|2東+彳T2+歸一邛+2忖+即一'=(|￡+耳+忖一植

\^+b\+\a-b\>2\a+b^-b\

(,+0+卜-0)W2,?+2,-0=4忖+4忖，即卜+囚+卜-環42,卜[+忖)當且僅當卜+q=卜_弓

時取等號，即￡3=0,則￡與各夾角為

.?.當B+.+W取最大值時，￡與另夾角為]

TT

故答案為：y.

題型二：定義法

例13.（2022?全國?高三專題練習）己知向量萬，5滿足同=2,慟=3,則卜+田+卜-.的最大值為

【答案】2小

【解析】

【分析】

先求得|4+5|=j5+4cos9、\a-h\=V5-4cos0,進而平方，計算即得結論.

【詳解】

設向量a,Z?的夾角為。，

Id+51=V22+32+2X2X3XCOS6?=J13+12cos。,

\a-b\=V22+32-2X2X3XCOS6?=J13-12cos6?,則,+61+1萬叫=J13+12cos，+J13-12cos。,

令y=V13+12cos6＞+J13-12cos（9,

則y2=26+2＞/169-144COS26?e[36,52],

據此可得：（卜+5|+|萬一妣「夜=2如，

即1+5|+K-目的最大值是2g

故答案為：2加.

例14.（2022?全國?高三專題練習）在AABC中，角仇C的邊長分別為Ec,點。為A4?C的外心，若

uuuUUU

h2+c2=2h,則BC-AO的取值范圍是（）

A.B.（0,2）C.-;,+8）D.—,2）

【答案】D

【解析】

【分析】

uuuuun（1\21

作出輔助線，對數量積進行轉化得到BCSO=6弓,求出6的取值范圍，進而求出答案.

【詳解】

取8c的中點O,則or?ABC,所以5&芯=配?（而+力5）=覺?通+肥?詼=元而

=西-砌T國+硝毛網-宿卜;斷一/）=如一（2…力=6

因為/=2。-從＞0，則為6-2）＜0,即0＜。＜2.

所以-3反.血＜2,

4

故選：D.

例15.（2022?江蘇省江陰高級中學高三開學考試）如圖，正六邊形A8CQEF的邊長為2,動點M從頂點

8出發，沿正六邊形的邊逆時針運動到頂點F,若麗?說的最大值和最小值分別是切，〃，則加+〃=

（）

【答案】D

【解析】

【分析】

連接AC,根據正六邊形的特征可得麗=恁，從而可得麗?麗'=衣?麗'=］碼|兩際（林，而小再

根據當M在BC上運動時，|麗'IHCOS（林，麗'）均逐漸增大，當“從。移動到尸時，|福了|與

cos（前，而0）均逐漸減小，即可求得加，〃，從而得出答案.

【詳解】

解：連接AC,在正六邊形ABCDE/中，FD=AC，

：.FV-AM=AC-AM=\AC^AM\cos（AC,AM^,

?正六邊形A8CDE尸的邊長為2,.\|AC|=2x/3,

因為當“在BC上運動時，|而'J與cos（衣，祝）均逐漸增大，當“從。移動到F時，|而］與

cos（正口而）均逐漸減小，

所以當M在8上運動時，|R/cos（點,通］）取得最大值，為26,

當〃移動到點F時，|R/cos（而，麗）取得最小值，為0.

m=2島2百=12,n=2>/3x0=0./.〃7+〃=12?

故選：D.

知囪=恒=2,點C在線段AB上，且反的最小值為G，則向+r詞（reR）的最小值為（）

A.72B.73C.2D.y/5

【答案】B

【解析】

【分析】

由國取得最小值得點C為線段A8的中點，由甌卜今明得NAOB=q,

2

由|次+tOB^=eoB+2tOA-OB+OA=4產+4r+4配方可得答案.

【詳解】

當OC_L他時，歷取得最小值，因為蘇=麗=2,

所以此時點C為線段A3的中點，

因為西=由明，所以乙4=（,故ZAOB=‘,

則訴礪=網畫8$?=2,

因為|oZ+f而『=rOB+2tOA-OB+OA=4t2+4t+4=（2t+\）'+3>3,

故河+f西2反

故選：B.

B

例17.（2022?河南?平頂山市第一高級中學模擬預測（文））已

知48為圓。:/+丁=4上的兩動點，|AB|=2石，點尸是圓C:（x+3尸+（y-4『=1上的一點，則

|麗+麗|的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C【解析】

【分析】

根據向量的運算律將題意轉化為圓上的點到A8的中點M的距離最值問題即可得解.

【詳解】

設A7是的中點，因為|AB|=2行，所以=

即M在以O為圓心，1為半徑的圓上，

PA+PB=PM+MA+PM+MB=2PM所以|中+而|=|2M|.

22

又|PC）|,nin=|OC|-1=V3+4-1=4,所以IPM|n,in=|P。kn-1=4-1=3,

所以|麗+而1mbi=2x3=6.

故選：C.

例18.（2022?黑龍江?哈九中二模（理））窗的運用是中式園林設計的重要組成部分，在表現方式上常常運

用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境.從窗的外形看，常見

的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等.已知圓。是某窗的平面圖，。為圓心，點/在圓。的圓周上，

點尸是圓。內部一點，若同=2,且冰而=-2,則你+研的最小值是（）

A.3B.4C.9D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的線性運算，結合數量積麗.而=-2，可求得|麗卜一確定其取值范圍，再根據

11cosZAOP

I3+西平方后的式子，即可求得答案.

【詳解】

因為麗=麗-礪，所以方?麗=麗?（而-麗）=麗?麗-麗匕-2,

所以麗.而=2,即網?〔西cosN4OP=2,則詞=31op.

因為點尸是圓。內部一點，所以|麗=——^—<2,所以《<cosNAOP41,

11cosZAOP2

^（OA+OP]^^OA+2OAOP+OP2=8+—」----->9,

\'cos2ZAOP

當且僅當cosNAOP=l時，等號成立，故|方+麗|的最小值是3,

故選：A.

例19.（2022?全國?三模（理））已知平面向量2,b，"均為單位向量，且卜4=1,0-24年-今的取

值范圍是（）

A.[-百,6]B.[-2,2]

C.卜",仞D.[-3,3]

【答案】A

【解析】

【分析】

通過數量積與模長的關系可得@-2何2=0,|￡-2q=如，再根據數量積的運算律以及概念即可得結果.

【詳解】

（a-2b）\a-c）=（a-2b）-a-（a-2b）-c,

因為=所以/_2￡4+不=1，所以=

所以（"2W.°=J-2a石=0,|a-2^|=7o--4a-b+4b'=百，

設:-2%與2的夾角為6，

故-2b）.-c）=—y[3cos0y

因為cosOe|-l,l],所以（￡一2可.伍一亦[一瘋6],

故選：A.

題型三：基底法

例20.（2022?天津河北?二模）已知菱形N5CO的邊長為2,/B4O=120。，點E,F分在邊BC,CQ上，

______2

麗=入前,DF=JLIDC.若丸+〃=§,則赤.衣的最小值為.

【答案】?4

9

【解析】

【分析】

2

由題意叫出圖形，把戲.而:%A8.A。表小，最后轉化為含〃的代數式，內結介+〃及基本不

等式求得通.赤的最小值.

【詳解】

_____________2

?,BE=ABC，DF=^DC,且2+〃=子

.■,AEAE=(AB+BE)(AD+DF),

2

=(AB+ABC')(AD+^DC)=(AB+AAD)(AD+iuAB)=(\+Ap)ABAD+A\Ab\+p\AB^

1Q

=(1+x2x2x(——)+4(/1+4)=-2(1+~.

由題意可得，4,〃>0,

12

=g,則一2(1+辦)…一”，

.-2(l+〃,)+*q(當且僅當2=〃=g時等號成立)，

4

AE?AF的最小值為

4

故答案為：

TT7T

例21.(2022?山西省長治市第二中學校高三階段練習(理))菱形A8CQ中，AB=l,Ae，點￡是

線段4。上的動點(包括端點)，則而?麗的最小值為.

【答案】-!##-0.25

4

【解析】

【分析】

設荏=AAD，運用向量的線性運算和數量積運算得EDEB=(l-/l)AD-(AB-AE)

=22-(1+COS/1)/1+COSA,設"cos4e0,1,利用二次函數的性質可求得麗?麗的最小值.

【詳解】

解：不妨設荏=2而，則而=而-荏=(1<)而，麗=通-通，

所以說.方=(1-㈤彳萬(回耳-理)=(1—幻而.(福-AAD)=(l-/l)^DA5-/l(l-X)AD

—(1—A)cosA—4(1—A)——(1+cosA)丸+cosA,

■jrITI

因為Ac,所以COSAE0,-,

設f=cosAe0,；,貝lj舒?麗=/(團=萬一++

對稱軸為幾€—,—,

所以fwmin=八與)=一%1)2":，

所以麗?麗的最小值為T

故答案為：一二.

4

例22.(2022?全國?高一)在矩形ABCE(中，AB=2BC=2,動點M在以點C為圓心且與BO相切的圓

上，則初■?麗的取值范圍為()

A.[-5,-1]B.[-5,1]C.1-3+75,-1]D.[-3+6,3-石]

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出圓C的半徑，由說=*+兩，結合向量數量積運算律將麗??麗的最大值轉化為求器.品的

最大值，即可求出結論.

【詳解】

1x22石

由題意|AC|=|3O|=6,設C到30的距離為d,則1=

AB

UUULILK1LILKlUUUUUtlUUUUUtlUUULUU

故AM?3。=(AC+CW)?3D=AC3。+CM?3。，

皿叫UUUUUUIUUULIUllUUUUUUUUULUUUUUUUULILBI

其中ACBD=(AD+AB)(AD-AB)=-3，設CM,BD的夾角為，，CM?8。=|CM||80vos。e[-2,2].

當且僅當CM與而反向或同向時取得端點值;

綜上，麗7.麗的范圍為［-5,-1］.

故選：A.

例23.（2022?全國?高三專題練習）在△/8C中,〃為邊8c上任意一點，N為AM中點、,且滿足

AN=AAB+uAC,則外+的最小值為（)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據給定條件探求出2=；-〃，結合儲+*轉化為二次函數并求函數的最小值即可.

【詳解】

在△/8C中，〃為邊8c上任意?點，則的==而，

于是得麗=3麗=；（而+麗7）=子而+；而，而麗=彳而+〃/，且麗與衣不共線，

即有/='_〃，因此，萬+〃2=（\一〃）2+〃2=2〃?_〃+J=2（〃-：）,J,

222244oo

當且僅當2=〃=!時取"=",此時M為BC中點，

4

所以尤+*的最小值為］

O

故選：c

例24.（2022?全國?高三專題練習）已知在AMC中，AB=AC=2,BC=3,點E是邊BC上的動點，則

當麗?麗取得最小值時，|麗卜（）

口后「M

Ax/37nV14

4222

【答案】A

【解析】

【分析】

利用“插點法”，重新表述函.麗，結合向量的數量積運算，將其轉化為||的二次函數形式進行求解.

【詳解】

4+9-43

在△然（7中，AB=AC=2,BC=3,cosZABC=.

2x2x34

E4-EB=EB-（EB+BA）=EB2+EB-BA=EB2+|￡B|-|BA|COS（^-ZABC）=EB2-||^|

=Q麗卜qj-得，則當?而卜:時，麗?麗取得最小值此時

IE4|2=4+--2x2x-xcosZ/1BC=—,同=亙,

II16416II4

故選：A.

例25.（2022?全國?高三專題練習）如圖，已知兩個模都為10的向量方,而，它們的夾角為1，點C在以

。為圓心，10為半徑的A3上運動，則Gi?麗的最小值為（）

,A.100700夜B.-100C.100^-100D.—100我

a----------^5

【答案】A

【解析】

【分析】

根據向量的運算及數量積的運算性質化簡，問題轉化為求（礪+礪）?反的最大值，由模為定長知同向時最

大求解即可.

【詳解】

CACB=（,OA-OC）（OB-OC）=OAOB-（OA+OByOC+dC2=0+100-（方+9）?比要使5.而最

小，即（況+0加?反最大

而1。4+。月=100為定值，I反I為定值10

只要畫+畫與無同向即可使（函+函.反最大

麗的最小值為100-10（h/L

故選：A

例26.（2022?吉林長春?模擬預測（理））已知AABC中，A=pAC=2,AB=5,點P為邊45上的動

點，則方.無的最小值為（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A【解析】

【分析】

結合向量運算以及二次函數的性質求得正確答案.

【詳解】

設方=2畫04441),

PBPC=PS(PB+BC)=AAB(/lAB+AC-AB)=A(>l-l)AB2+/lAB-AC=252(A-l)+/l-5-2--

=2522-202,

所以當石一具;4時，麗.而取得最小值為25x⑶-20xZ=-4.

2x255⑸5

故選：A

例27.（2022?全國?高三專題練習）在凸四邊形ABCD中，AB=BC=2,ZABC=120\且AACO為等邊

三角形，若點E在四邊形ABC。上運動，則麗?麗的最小值是（）

A.-4C.-1D.3

【答案】B

【解析】

分別討論E點在每條邊上運動時，向量點積的最小值，即可得到最小值.

【詳解】

如圖所示，

四邊形4BCO關于直線8。對稱，故點E在四邊形A8CD上運動時，只需考慮點E

在邊BC,8上的運動情況即可，易知BCLCD,則麗?麗=0，

①當點E在邊8C上運動時，設麗=2而（04241）,則覺=（/一1）麗,

/.EBED=EB（EC+CD）=￡BEC=ACB（A-l）CB=42（A-l）,

當/=；時，麗.詼的最小值為T;

②當點E在邊8上運動時，設而=左前（0VZ41）,則反=（%-1）②,

EBEb=(EC+CB]ED=ECED=[k-\)CDkCD=nk(k-\},當a=；時，麗.麗的最小值為

-3；

綜上，麗?麗的最小值為-3；

故選：B.

【點睛】

方法點睛：根據向量定義把向量點積轉化為函數問題來求解最值.

題型四：幾何意義法

例28.(2022?全國?高三專題練習(理))已知平面向量人2滿足75=-3，卜-4=4,二]與[很

的夾角為?，則的最大值為.

【答案】1+2百

【解析】

【分析】

利用向量的模的運算求得|￡+母=2,設平面向量b，工都是以。為起點，終點分別是48,c,求得平面

向量Z+B的終點N的軌跡，由與2-另的夾角為?，得到C的軌跡，利用圓的性質得到|NC|的距離的

最大值，即為所求.

【詳解】

解：S=-3?卜/一.=4,’+,=彳+44?,=2,

如圖所示，設平面向量2,5，2都是以。為起點，終點分別是4民。，

則平面向量￡+石的終點N到O的距離為2,

設的中點為M則|MN]=1".N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.

由與的夾角為?，.?.點C在以Z8為弦的圓周角為？的優弧上，

當GMN共線，且C,N在直線的兩側，并且CA/J_48時，|C網最大，也就是，-￡-目取得最大值，

此時|CM|=2為㈣=1,|CW]=1+20，

C

A

故答案為：1+2道.

例29.（2022?上海市建平中學高一階段練習）已知平面向量滿足網=2,且a與的

夾角為135，則同的取值范圍是.

【答案】（。，2應]

【解析】

【分析】

畫出圖形，表示出而=2，AC=Z?.從而確定NABC=45。，利用正弦定理得到同=20sinC，結合

Ce（0,%）,求出同的取值范圍.

【詳解】

設通=2，/如圖所示，

則與。=彳一￡,

因為g與，-a的夾角為1351

所以NABC=45°,

因為AC=/|=2,所以由正弦定理得：

|?|同_2一年

碇=而杳=正"，所以同=2血sinC，

T

因為。￡（0,：九），所以冏=20§山0￡（0,2a]

BC

故答案為：(。，20]

例30.(2022?全國?高三專題練習)在平面內，若有團=無萬=1,忖=2,(3-0(21-1-5)=0,則己5的

最大值為_______.

[答案]

4

【解析】

【分析】

由條件可以求得<1出>=(,從而可作方=&，礪=5,并連接AB,取AB的中點D,連接OD,則有

/=字，根據條件可以得到g-Z)_LC-字)，可作詼=八并連接AC,DC,從而可以得到

AC1DC,即點C在以AO為直徑的圓上，從而得出當方在礪卜.的投影最大時，最大.通過計

算，即得出反在函上的投影最大值，從而得出小5的最大值.

【詳解】

解：根據條件，M?5=|萬1151cos<",5>=2COS<M,5>=1；

-1

cos<a,b>=—!

2

<a,b>=^,如圖，作礪=],礪=5,則NAOB=1,連接AB,取AB的中點。，連接QD,則

而=生也；

2

由(^一少)?2己_汗_5)=0得，(c-dXc-^^-)=0；

2

./一八?/j日+6、

??(c-a)±(c———)；

2

作詼=C，連接AC,CD,則而=3-4配=

2

:.AC.LDC；

「.C點在以AO為直徑的圓上；

???當C運動到圓的最右側時，麗在麗上的投影最大，即d石最大；又OG=O4cosg=g,

13

:.GB=2——=-,

22

又ABWSABAG,且AE=-AB,

4

1133

所以G”=—G3=—x_=_,

4428

所以反在而上的最