第二章函數

第一節函數及其表示

［備考領航］

課程標準解讀關聯考點核心素養

1.通過實例,進一步體會函數是描述變量之間的依賴關

系的重要數學模型，學習用集合與對應的語言來刻畫

函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.

2.了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域1.求函數的定義域.1.數學抽象.

和值域.2.求函數的解析式.2.數學運算.

3.會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列3.分段函數3.直觀想象

表法、解析法)表示函數.

4.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應

用

知識返點寬實重點準逐點清結論要牢記課前自修

［重點準?逐點清］

重點一函數的有關概念

1.函數的概念

函數

兩集合4,BA,3是兩個非空數集

對應關系如果按照某種確定的對應關系力使對于集合A中的任意一個數x,

/：A-*B在集合B中都有唯一確定的數/U)與之對應

名稱稱/A-B為從集合4到集合B的一個函數

記法y=f(x),xGA

2.函數的定義域、值域

(1)函數v=f(x)自變量取值的范圍A叫做函數的定義域；函數值的集合6x)|xGA｝叫做

函數的值域；

(2)如果兩個函數的定義域相同,并且對應法則完全一致,則這兩個函數為相等函數.

3.函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

［提醒］(1)在定義中，集合8不一定是函數的值域，它包含了函數的值域，即值域是

集合5的子集；

(2)若兩函數的定義域與對應關系相同，則兩函數相同；

（3）若兩函數的值域與對應關系相同，則兩函數不一定相同，如：7=好（工20）與y=*2.

［逐點清］

1.（興修1第17頁例1改編）已知若火-2）=0,則a的值為.

解析：因為＜x）=53+±,所以次一2）=心一2+3+—^7=0,解得a=l.

x-ra—2十4

答案：1

2.（易錯題）已知集合尸={x|0WxW4},Q={y|0WyW2},下列從尸到。的各對應關系/

不是函數的是.（填序號）

_1-1

①/：Ly=y；?f：

2

?f：X-j=-x；④f:xfy=&

28

解析：對于③，因為當x=4時，j=-X4=-^0,所以③不是函數.

答案：③

3.（易楮題）已知{）=X2+5X,則/（X）=.

解析：令》=：，則X=}?#（））,即/"）=；+：,

5x+1

;g)=(xWO).

x2

5x+1

答案:QWO)

重點二分段函數

若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系,這樣的

函數通常叫做分段函數.

［提醒］分段函數是一個函數，而不是幾個函數，分段函數的定義域是各段定義域的并

集，值域是各段值域的并集.

［逐點清］

4.（強修1第25頁B組1題改編）函數尸;⑺的圖象如圖所示，那么，/（X）的定義域是

:值域是;其中只有唯一的x值與之對應的y值的范圍是.

-3：-2：-lit)：2：3：

答案：[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5]

\[x,x20,

,—若八”)+/(—1)=2,則“=.

{\/—x,x<0?

解析：若則如+1=2,得”=1;

若。<0,則。一“+1=2,得a=-1.

故a=±l.

答案：±1

［記結論?提速度］

［記結論］

1.直線x=a（a是常數）與函數y=4x）的圖象有0個或1個交點.

2.判斷兩個函數相等的依據是兩個函數的定義域和對應關系完全一致.

［提速度］

1.若函數y=4x）的定義域為M={x|-2WxW2},值域為N={y|0WyW2},則函數y=

/（x）的圖象可能是（）

解析：選BA中函數定義域不是［-2,2］;C中圖象不表示函數；D中函數值域不是

［0,2］.

2.（此修1第18頁例2改編）下列函數中，與函數y=x+l是相等函數的是（）

A.y=（"\［x+l）2B.y=\lj?+l

x2

C.j=~+1D.y=G+l

解析：選B對于A,函數y=f\/j^n）2的定義域為{x|x》一1},與函數y=x+l的定

義域不同，不是相等函數；對于B,定義域和對應關系都相同，是相等函數；對于C,函數

y=/+l的定義域為{x|xW0},與函數y=x+l的定義域不同，不是相等函數；對于D,定

義域相同，但對應關系不同，不是相等函數.故選B.

考點.分類突破理解透規律明變化究其本課堂講練

1考點一1求函數的定義域

［定向精析突破］

考向1已知函數解析式求定義域

卜,亞三:的定義域為（

[例1]（2021?南歷城四中月考）函數/（x）=,,?八)

*+1）

A.[-2,2]B.[-2,0)U(0,2]

c.(-I,o)u(o^]D.(-1,2]

x+l>0,

有意義，則。g(x+l)WO,

［解析］要使火x)=lg(x+1)得xG(-l,0)U(0,2].

.2—x20,

［答案］C

［解題技法］

常見函數定義域的類型

(D分式型尤J要滿足/(640

⑵根式型句而(neN?)要滿足/G)》0

(3)黑函數型要滿足/G)#0

(4)對數型logo/U)(a>0,且a/l)要滿足/G)>0

(5)正切型tan［/(%)］要滿足/(%)豐宏+471,AwZ

考向2求抽象函數的定義域

［例2］已知函數/(*)的定義域為則函數如x)=《)+/(x—l)的定義域為()

A.(—2,0)B.(-2,2)

D.(一0)

C.(0,2)

[解析]由題意得｛--2<x<2,

l-Kx-Kl,0<x<2,

:.0<x<2,

...函數g(x)=f的定義域為(0,2).

［答案］C

［解題技法］

求抽象函數定義域的方法

(1)巳知函數/(X)的定義(2)已知復合函數/［&(%)］

域為la,bl,求復合函數的定義域為［明乂，求函

/［g(x)］的定義域數/(力的定義域

--------------------------------------------

由不等式aWgG)Wb解得求出y=g(4)(%W［Q,6］)

4,則4的取值范圍即為發的值域，即為函數/(X)

合函數/［gG)］的定義域的定義域

定義域，是何意，自變量，有意義;

分式分母不為零，對數真數只取正；

偶次根式要非負，三者結合生萬物；

和差積商定義域,不等式組求交集;

抽象函數定義域,對應法則內相同.

考向3已知函數的定義域求參數的值(范圍)

nix-1

［例引⑴若函數尸/+4%+3的定義域為&則實數，"的取值范圍是()

⑵若函數外)=4&+“以+。的定義域為{x［l<xW2},則的值為

ftix-1

［解析］(1)???函數一工^的定義域為R,

mxz+4mx+3

［”層0,

Am=0或J,

U=16w2-12/n<0,

、3

即機=0或0</n<r,

...實數機的取值范圍是［o,

(2)、?函數於)=、/〃/+0加:+b的定義域為{x|lWxW2},

卜vO,r__3

.?.卜1)=0,解得「一一?。?a+b=-^.

1/(2)=0,L=-3,-

9

［答案］(1)D(2)--

［解題技法］

已知函數的定義域求參數的值或范圍，可將問題轉化成含參數的不等式(組)或方程，然

后求解.

［跟蹤訓練］

1.如果函數_/(x)=ln(—2x+a)的定義域為(-8,1),那么實數。的值為()

A.-2B.-1

D.2

解析：選D因為-2x+a>0,所以x<5,

所以二=1,所以〃=2.

2.函數y='\l4-x2—的定義域為

”4一40,

解析：由題意得《三三羊0,

x—2

2W0,

解得一2Wxv—1或一l<xvl或l<x<2.

所以原函數的定義域為［-2,-1)U(-1,1)U(1,2).

答案：［-2,-1)U(-1,1)U(1,2)

14點-.1求函數的解析式

[師生共研過關]

[例4]求下列函數的解析式：

(1)已知/(I—sinx)=cos2x,求1Ax)的解析式；

(2)已知G+F)=X4+E，求/(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函數且3/Kx+l)-2Ax-l)=2x+17,求大好的解析式；

(4)定義在(一1,1)內的函數f(x)滿足2/(x)-/(-x)=lg(x+l),求/(x)的解析式.

[解](1)(換元法)設l-sinx=f,代[0,2],

則sinx=1—Z,V/(l—sinx)=cos2x=1—sin2x,

：.f(t)=l-(l-t)1=2t-t2,te[0,2].

即**)=2*一4,xe[0,2].

(2)(配湊法)?.,G+p)=G2+9}_2，

.../(*)=好一2,xG[2,4-oo).

(3)(待定系數法)..VU)是一次函數，

可設由用二城+伙”。。)，

.,.3[a(x+l)4-*]-2[a(x-l)+Z>]=2x+17.

即ax+(5a+/>)=2x+17,

a=2,a=2,

/.,解得

[5a+b=17,lb=7.

.?J(x)的解析式是於)=2x+7.

(4)(消去法)當xG(—1,1)時，有〃?(x)-A-x)=lg(x+l).①

以一x代替x得，2f(—X)—/(x)=lg(—x+1).②

由①②消去./(一x)得，

2,,1

/(x)=§lg(x+l)+Fg(l—x),-ve(—1,1).

［解題技法］

函數解析式的求法

(1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法；

(2)換元法：已知復合函數/(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；

(3)配湊法：由已知條件/(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關于趴x)的表達式，然后以x

替代g(x),可得_Ax)的解析式；

(4)消去法：已知人工)與公)或/(—X)之間的關系式，可根據已知條件再構造出另外一個

等式組成方程組，通過解方程組求出火X).

［跟蹤訓練］

X

1.已知函數.火*-1)=不，則函數人工)的解析式為()

x+1X

A.尸而B./?=—

C.人工)=一D.

人XI/

解析：選A令X—1=￡,則x=/+l,?\A，)=42

iI/

x+1,.

即/(幻=而故選

2.若二次函數g(x)滿足g(l)=Lg(—1)=5,且圖象過原點，則g(x)=.

解析：設g(x)=+辰+c(a#O),Vg(l)=1,0—1)=5,且圖象過原點，:.

a+b+c=l,僅=3,

a-b+c=5,解得，力=-2,

c=O,lc=O,

?\g(x)=3x2—2x.

答案：3X2—2x

3.已知凡r)滿足V(X)+/Q)=3X,則火X)=.

解析：???V(X)+./Q)=3X,①

把①中的X換成;，得〃C)+/(x)=T.②

21/(x)+O=3x,

聯立①②可得〈八

、2娟+/)=；

解此方程組可得/(x)=2x-%xH0).

答案：2x—：(xWO)

a號點點一分段函數

［定向精析突破］

考向1分段函數求值

［例5］(1)已知7貝！J(Q))=;

Uog3X,X>0,

rY~~~qo

⑵已知於)=；'則47)=____________________.

W(x+4)),x<9,

【解析］(l)；O=log3；=-2,

二,既))=/(-2)=G>=9.

(2)V7<9,

=/(/-(7+4))=/(/(11))=/(11-3)=/(8).

又,：8<9,

.,./(8)=/(f(12))=/(9)=9-3=6.

即/(7)=6.

【答案］(1)9(2)6

考向2分段函數與方程、不等式問題

1+x12,xWO,

［例6］(1)(2021?六校聯盟第二^?者)已知函數若/(*-4)>{2工

,1,x>0,

-3),則實數x的取值范圍是()

A.(-1,+°°)B.(—8,—1)

C.(-1,4)D.(一8,1)

logz(3—x),xWO,i

(2)(2021?廣東省七校聯考)已知函數/(?=$、八若加一1)=)則實數a

l2x—1,x>0,2

1+x2,xWO,

［解析］(1)函數/'(%)={在(-8,0］上是減函數，在(0,+8)上函數值

,1,x>0,

x—4<0,

保持不變，若-4)》/(2X一3),貝6或X-4V2%—3<0,解得工￡(-1,4),

2x—320

故選C.

(2)當〃-140,即時，log2(4-a)=p4一〃=本故〃=4一本不滿足“W1,舍

去.

13

當即時，2。-1一1=二,2。-1=’,解得a=log2，滿足?！?.綜上可得。

=logz3.

［答案］(DC(2)log23

［規律探求］

考向1是求分段函數的函數值.

考向2是在考向1的基礎上遷移考查分段函數中，已知函數值或不等關

看個性系求參數或自變量的值或范圍.解與分段函數有關的方程或不等式，從

而求得自變量或參數的取值(范圍)時，應根據每一段的解析式分別求解；

解得值(范圍)后一定要檢驗其是否符合相應段的自變量的取值范圍

(1)無論考向1還是考向2都要根據自變量或參數所在區間來解決問題，

搞清參數或自變量所在區間是解決問題的先決條件；

找共性

(2)解決分段函數有關問題的關鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于

哪一段范圍，就用哪一段的解析式來解決問題

［跟蹤訓練］

1.(多選)如圖①是反映某條公交線路收支差額(即營運所得票價收入與付出成本的差)y

與乘客量x之間關系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司有關人員提出了兩種調整

的建議，如圖②③所示.

［/J/工

OxBxO

圖①圖②g9?

則下列說法中，正確的有()

A.圖②的建議：提高成本，并提高票價

B.圖②的建議：降低成本，并保持票價不變

C.圖③的建議：提高票價，并保持成本不變

D.圖③的建議：提高票價，并降低成本

解析：選BC根據題意和圖②知，兩直線平行即票價不變,直線向上平移說明當乘客

量為0時，收入是0但是支出變少了，即說明此建議是降低成本而保持票價不變，故B正

確；由圖③可以看出，當乘客量為0時，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘

客量時收入變大，即票價提高了，即說明此速議是提高票價而保持成本不變，故C正確.

2x-{-］,xv］,

2.已知函數/(*)=,,'且f(f(0))=4a,則/(-2)=________,實數a=

,X-IUX9X》19

解析：依題意/(-2)=2。+1=*/(0)=2。+1=2,/(2)=22+2a=4a,解得a=2.

答案：(2

微專題(三)思想方法

待定系數法的應用

待定系數法就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為

解方程(組)問題來解決.待定系數法主要用來解決所求解的數學問題涉及某種確定的數學表

達式的情況，例如求函數解析式、求曲線的方程等問題.

［典例］若/U)為有理函數，且犬*+1)+4*-1)=2好一4方則次x)=(注：有

理函數是通過多項式的加減乘除得到的函數).

［解析］V/(x+l)>1A*—1)與Ax)有相同的次數，

且1)+凡r—l)=2x2—4x,?r)為有理函數，，於)為二次函數.

設f(x)=ax2+bx+c(a^0),

則/(x+l)=a(x+l)2+Z>(x+l)+c,

八x—l)=a(x—l)2+6(x-l)+c,

22

Af(x+l)+f(x—l)=2ax+2bx+2(a+c)=2x—4x9

24=2,a=1,

2

2b=—4f解得“b=-2,.*./(x)=x—2x—1.

2(a+0=O,lc="1.

12

［答案］x—2X—1

［跟蹤訓練］

1.已知函數/(*)=3+。》十分的圖象過坐標原點，且滿足五一x)=f(—1+x),則函數_/(x)

在［-1,3］上的值域為()

A.［0,12］B.［-％11］

C.昌12］D.由向

解析：選B因為函數/(x)=x2+〃x+A的圖象過坐標原點，所以/(0)=0,則5=0.

由/(—X)=,/(—1+x),可知函數的圖象的對稱軸為直線X=-5,所以4=1,

則f(x)=x2+x=(x+^2—^,

所以當x=一；時，/(X)取得最小值，且最小值為一：.

又/(-1)=0,<3)=12,

所以ZU)在［-1,3］上的值域為［一：，12］.

2.已知角a,/?滿足一:Va-/?V$0Va+/?V:r,則3〃一/?的取值范圍是.

|m+/z=3,

解析：由題意可設3a一夕=〃2(〃一夕)+〃(〃+4)=(1〃+〃)1+(〃一機)“，則，

5一機=-1,

m—LyHJl

解得J因為一：<〃—“<?，0<a+^<7r,所以-7rV2(“一夕)〈冗，故一直〈3"一夕〈2兀

ji=l.22

所以3〃一夕的取值范圍是(一7T,2兀).

答案：(一Jr,2n)

［課時過關檢測］

A級----基礎達標

1.函數y=k)g2(2x-4)+上的定義域是()

A.(2,3)B.(2,+8)

C.(3,+°°)D.(2,3)U(3,+8)

[2x—4>0,1

解析：選D由題意，得jaw。解得x>2且x#3,所以函數y=log2(2x—4)+^^^

的定義域為(2J)U(3,+00),故選D.

2.已知函數_/(x+l)的定義域為(-2,0),則42%—1)的定義域為()

A.(-1,0)B.(-2,0)

C.(0,1)D.(一；，0)

解析：選C由題意，知一IVx+lVl,則/(x)的定義域為(-1,1).令一lV2x—1V1,

得0<尸<1.???/(2%-1)的定義域為(0,1).

3.已知6—1)=2*—5,且/(a)=6,則a等于()

解析：選A令1=/一1,則x=2f+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t~l,故/(*)=4丫-1,則

7

/(a)=4a—1=6,解得a=1.故選A.

4,若一系列函數的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“同族

函數”，則函數解析式為7=必+1,值域為｛13｝的同族函數有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

解析：選C由W+l=l得x=0,由爐+1=3得x=±g,所以函數的定義域可以是

｛0,也｝,｛(),一亞｝,｛0,也，一亞｝,故值域為｛1,3｝的同族函數共有3個.

5.如圖，△AOO是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形。30。Q

是四分之一圓的扇形，點尸在線段AB上，PQA.AB,且P。交40或交/

弧。8于點Q,設AP=x(0<x<2),圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或4_L1_J

APQD)的面積為y,則函數y=/U)的大致圖象是()

解析：選A觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當0<xWl時，y隨x的增

大而增大，而且增加的速度越來越快.(2)當l<x<2時，y隨x的增大而增大，而且增加的

速度越來越慢.分析四個答案中的圖象，只有選項A符合條件.

X

6.(多選)函數/(x)=1Q,x€(-°o,0)U(0,+8),則下列等式成立的是()

A.1Ax)=《)B._/(x)=K)

D?/(-x)=-/(x)

1

解析：選AD根據題意得<1)=不三，所以￡)=-所以火工)=公);

—xx

/_x)=(二x)2=_j豆r2=一/(X)，所以｛―X)=—/U),故選A、D.

7.(多選)如圖所示是函數y=/U)的圖象，圖中x正半軸曲線與虛線無限接近但是永不

相交，則以下描述正確的是()

A,函數大幻的定義域為［-4,4)

B.函數外)的值域為［0,+8)

C.此函數在定義域內是增函數

D.對于任意的yG(5,+~),都有唯一的自變量》與之對應

解析：選BD對于A,由函數的圖象可知，函數的定義域為［-4,0］U［1,4),故A錯誤；

對于B,由函數的圖象可知，函數的值域為［0,+°°),故B正確；

對于C,函數在［-4,0］,［1,4)是增函數，結合圖象可知，此函數在定義域內不是增函

數，故C錯誤；

對于D,由函數的圖象可知，對于任意的yG(5,+8),都有唯一的自變量x與之對應，

故D正確.

故選B、D.

8.(多選)(2021?河北衡水調研)下列函數中，滿足加8x)=1虢x)的是()

A./(x)=|x|B.*x)=x一|x|

C.f(x)=x+2D.f(x)=~2x

解析：選ABD若/(x)=|x|,則f(18x)=|18x|=18|x|=IM*);若大x)=x一|x|,貝I_/U8x)

=18x-|18x|=18(x-|x|)=ISfix);若f(x)=x+2,則fl!8x)=18x+2,而1歲(x)=18x+18X2,

故/'(x)=x+2不滿足f(18x)=18?/U);若共x)=-2x,則/'(18x)=-2X18x=18X(-2x)=

9.已知函數/(*)=由一++2工+3,則函數犬3x—2)的定義域為.

解析：由一k2+2工+320,解得一1近xW3,

即7U)的定義域為［-1,3］.

由一1近3X-2W3,解得萍苦，

則函數43*—2)的定義域為己，|.

答2g案：Lri?53-1

10.已知函數")=ax-仇a>0),且*(x))=4x-3,則火x)=.

解析:易知./(f(x))=a(ar—〃)一方=。2工一〃〃一〃，

:.a2x-ab-ft=4x-3(a>0),

a2=4,a=2,

解得

46+8=3,力=1?

.*./(x)=2x—1.

答案：2x—1

—Ifx<0>

11.設函數/(x)=若<a)vL求實數。的取值范圍.

解：若x0,則/(〃)<10匕P一7Vl<8,解得〃>一3,故一3vav0;

若a20,則八。)<1臺3<1,

解得a<l,故04a<l.

綜上可得一3<a<l.

2~x,—1,

12.(2021?海而調研)已知函數

,x+1,x>—1?

⑴求/(/L2))的值；

(2)求不等式/(x)22的解集.

2一。xW—1,

解：(1)根據函數,f(x)=

x+1,x>—1,

可得/(-2)=22=4,則/(f(-2))=/(4)=4+l=5.

xW—1,X>—1,

(2)由不等式於)》2,可得①_、或②彳

.2*》2,x+122,

解①得上《一1,解②得x2l,

故不等式的解集為(-8,-1]U[1,+°°).

B級——綜合應用

13.如下折線圖統計了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全國(不含湖北)

新冠肺炎新增確診人數和新增疑似人數.

的是()

A.和與g(f)的值域相同

B./(9)>g(10)

C.SZoGN*,使/?o)=g(a))

D.VfGN,

解析：選D由題圖縱軸可知")與g(f)的值域不相同；_A9)=30vg(10);函數〃)的圖

象在函數的)的圖象的下方，所以不存在如使而o)=g(fo);由題圖可以看出VfGN*，加)〈烈)

14.(多選)(2021?山東綺?澤一中月號)設函數f(x)的定義域為O,VxSD,使得

Ay)=-Ax)成立，則稱/(X)為“美麗函數”.下列所給出的函數中，是“美麗函數”的是

()

A.J=x2B.y=±

C.j=ln(2x+3)D.y=2x+3

解析：選BCD函數_/U)的定義域為O,VxGD,SjSD,使得成立，所

以函數_/(x)的值域關于原點對稱.

對于選項A,函數7=好的值域為[0,+8),不關于原點對稱，不符合題意；

對于選項B,函數y=一二的值域為(一8,o)U(O,+<?),關于原點對稱，符合題意；

X-1

對于選項C,函數y=ln(2x+3)的值域為R,關于原點對稱，符合題意；

對于選項D,函數y=2x+3的值域為R,關于原點對稱，符合題意.故選B、C、D.

15.(2021河南鄭州第二次質量檢測)高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，

享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為設xCR,用網表示不超過x的

2*+3

最大整數，則>=[刈稱為高斯函數.例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函數/U)=：77H；,

2~r1

求函數y=[/U)]的值域.

』2*+32、+1+2.2

解：/W=2^+1=2^+1=1+2^+r

V2x>0,，1+2*>1,

.*.0<<1,

2X+1

則°<盤<2,

2

<3,

2X+1

即lV_Ax)V3,

當1V/U)V2時，LAX)]=1,

當2<f(x)<3時，［Ax)］=2.

綜上，函數y=(J(x)］的值域為{1,2}.

C級——遷移創新

16.(多選)(2021?山東模板涵數<x)的定義域為O,對給定的正數A,若存在閉區間［。，

b］^D,使得函數/(x)滿足：①f(x)在［a,b］內是單調函數；②/U)在［a,b］上的值域為［ka,

kb］,則稱區間［a,句為y=Ax)的&級“理想區間”.下列結論正確的是()

A.函數火x)=*2存在1級“理想區間”

B.函數/(x)=e，不存在2級“理想區間”

4x

C.函數人x)=H(x》0)存在3級“理想區間”

D.函數y(x)=tanx,xG(-p)不存在4級“理想區間”

解析：選ABC易知［0,1］是/(x)=x2的1級“理想區間”，故A項正確；由于g(x)=

4x

ex-2x無零點，因此/U)=ex不存在2級“理想區間”，故B項正確；由6%)=不一;一3%

=0(x20),得*=0或*=等，則0,—是的一個3級“理想區間”，C

3L93Jx2+l

項正確；易知j=tanx的圖象與直線y=4x在(一個，今)內有三個交點，因此/(x)=tan

；))有4級“理想區間”，故D項錯誤.故選A、B、C.

第二節函數的單調性與最值

［備考領航］

課程標準解讀關聯考點核心素養

1.通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的1.確定函數的單調性(區間).1.數學抽象.

單調性、最大(小)值及其幾何意義.2.函數單調性的應用.2.邏輯推理.

2.會運用基本初等函數的圖象分析函數的性質3.函數的值域(最值)3.數學運算

知識逐點充躬重點準逐點清結論要牢記課前自修

［重點準?逐點清］

重點一函數的單調性

1.增函數和減函數

增函數減函數

要求一般地，設函數/（X）的定義域為/,區間0=/,如果對于任意

XI，X2必￡￡>,且xi<X2

要求

定義

/（X1）與都有AxiKfCm)都有/（不）》3）

f（X2）

結論函數/U）在區間。上是增函數函數/（xME區間。上是減函數

/J、（G

|匹？&）

圖象描述

0*1~^2X%2X

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上丑的

2.單調區間的定義

如果函數在區間。上是增函數或減函數,那么就說函數y=/（X底這一區間具有

（嚴格的）單調性，區間。叫做函數v=/fa）的單調區間.

［提醒］（1）增（減）函數定義中的XI,洶的三個特征

一是任意性；二是有大小，即X1<X2（X1>X2）；三是同屬于一個單調區間，三者缺一不可；

（2）有多個單調區間應分開寫，不能用符號“U”聯結，也不能用“或”聯結，只能用

“逗號”或“和”聯結.

［逐點清］

1.（多選）下列函數在區間（0,+8）上單調遞增的是（）

1

A.y=--B.y=x

c.y=^D.y=S

解析：選ABC對于A項，y=一:在（0,+8）上單調遞增，所以A項符合題意；對于

B項，y=x在（0,+8）上單調遞增，所以B項符合題意；對于C項，）=爐在（0,十8）上

單調遞增，所以C項符合題意；對于D項，在（0,+8）上單調遞減，所以D項不

符合題意，故選A、B、C.

2.（修修1第39頁習題A組1題改編）函數y=*2—5x—6在區間［2,4］上是（）

A.遞減函數B.遞增函數

C.先遞減再遞增函數D.先遞增再遞減函數

解析：選C作出函數7=/-5*—6的圖象（圖略）知開口向上，且對稱軸為x=|,在

［2,4］上先減后增.故選C.

3.（興修1第29頁例1改編）設定義在［-1,7］上的函數y=/（x）的圖象如圖所示，則函

解析：由圖可知函數的單調遞增區間為［-1,1］和［5,7］.

答案：［-L1］，［5,7］

4.（易偌瓶）已知函數f（x）是定義在區間［0,+8）上的函數，且在該區間上單調遞增，

則滿足_/（2x-1）＜公）的x的取值范圍是.

解析：因為函數/（X）是定義在區間［0,+8）上的增函數，滿足八2丫-1）%）.所以0W2x

1A…1,2

解得產

■j乙3

答~案:匕「1,~2、）

重點二函數的最值

前提設函數y=/（x）的定義域為/,如果存在MGR

①對于任意的xW/,都有f（x）WM；①對于任意的XG/,都有f（X）2的;

條件

②存在xoG/,使得?t曰1②存在其61,使得Kxo）=M

結論M是/U）的最大值M是/U）的最小值

［逐點清］

5.（興修1第31頁