第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五正態分布是應用最廣泛的一種連續型分布.正態分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.德莫佛德莫佛最早發現了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態分布的首次露面.第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動?用一個釘板作賭具。

街頭請看第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五

也許很多人不相信，玩這種賭博游戲十有八九是要輸掉的，不少人總想碰碰運氣，然而中大獎的概率實在是太低了。第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五

下面我們在計算機上模擬這個游戲：街頭賭博高爾頓釘板試驗第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五平時，我們很少有人會去關心小球下落位置的規律性，人們可能不相信它是有規律的。一旦試驗次數增多并且注意觀察的話，你就會發現，最后得出的竟是一條優美的曲線。第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態分布的密度曲線。第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五正態分布的定義是什么呢？對于連續型隨機變量，一般是給出它的概率密度函數。第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五

一、正態分布的定義若r.vX的概率密度為記作f(x)所確定的曲線叫作正態曲線.其中和都是常數，任意，>0，則稱X服從參數為和的正態分布.第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五正態分布有些什么性質呢？由于連續型隨機變量唯一地由它的密度函數所描述，我們來看看正態分布的密度函數有什么特點。正態分布請看演示第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五二、正態分布的圖形特點正態分布的密度曲線是一條關于對稱的鐘形曲線.特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”.第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.正態分布的圖形特點第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五能不能根據密度函數的表達式，得出正態分布的圖形特點呢？容易看到，f(x)≥0即整個概率密度曲線都在x軸的上方;第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五故f(x)以μ為對稱軸，并在x=μ處達到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),分別代入f(x),可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五這說明曲線f(x)向左右伸展時，越來越貼近x軸。即f(x)以x軸為漸近線。

當x→∞時，f(x)→0,第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五用求導的方法可以證明，為f(x)的兩個拐點的橫坐標。x=μ

σ這是高等數學的內容，如果忘記了，課下再復習一下。第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五根據對密度函數的分析，也可初步畫出正態分布的概率密度曲線圖。第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五回憶我們在本章第三講中遇到過的年降雨量問題，我們用上海99年年降雨量的數據畫出了頻率直方圖。從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態分布。第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五下面是我們用某大學男大學生的身高的數據畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的正態密度曲線可見，某大學男大學生的身高應服從正態分布。第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五人的身高高低不等，但中等身材的占大多數，特高和特矮的只是少數，而且較高和較矮的人數大致相近，這從一個方面反映了服從正態分布的隨機變量的特點。第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五請同學們想一想，實際生活中具有這種特點的隨機變量還有那些呢？第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外,在正常條件下各種產品的質量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農作物的產量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態分布.第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五服從正態分布的隨機變量X的概率密度是X的分布函數P(X≤x)是怎樣的呢？第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五設X~,X的分布函數是第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五正態分布由它的兩個參數μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態分布。標準正態分布下面我們介紹一種最重要的正態分布第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五三、標準正態分布的正態分布稱為標準正態分布.其密度函數和分布函數常用

和

表示：第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五它的依據是下面的定理：標準正態分布的重要性在于，任何一個一般的正態分布都可以通過線性變換轉化為標準正態分布.根據定理1,只要將標準正態分布的分布函數制成表，就可以解決一般正態分布的概率計算問題.,則~N(0,1)

設定理1第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五書末附有標準正態分布函數數值表，有了它，可以解決一般正態分布的概率計算查表.四、正態分布表表中給的是x>0時,Φ(x)的值.當-x<0時第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五若~N(0,1)

若X～N(0,1),第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五由標準正態分布的查表計算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區間內，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974五、3準則第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五將上述結論推廣到一般的正態分布,時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在區間內.這在統計學上稱作“3準則”（三倍標準差原則）.第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五上一講我們已經看到，當n很大，p接近0或1時，二項分布近似泊松分布;如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以證明，二項分布近似于正態分布.下面我們不加證明地介紹有關二項分布近似于正態分布的一個定理，稱為棣莫佛－拉普拉斯定理.它是第五章要介紹的中心極限定理的一個最重要的特殊情況.第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五六、二項分布的正態近似定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）設隨機變量服從參數n,p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，有定理表明，當n很大，0<p<1是一個定值時（或者說，np(1-p)也不太小時），二項變量的分布近似正態分布N(np,np(1-p)).第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五二項分布的正態近似實用中，n30，np10時正態近似的效果較好.見教學軟件中的計算機演示第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例1將一枚硬幣拋擲10000次，出現正面5800次，認為這枚硬幣不均勻是否合理?試說明理由.解:設X為10000次試驗中出現正面的次數，采用正態近似,np=5000,np(1-p)=2500,若硬幣是均勻的，X~B(10000，0.5),近似正態分布N(0,1).即第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五=1-Φ(16)≈0此概率接近于0，故認為這枚硬幣不均勻是合理的.P(X≥5800)=1-P(X<5800)近似正態分布N(0,1).第36頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五

例2

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?解:設車門高度為hcm,按設計要求P(X≥h)≤0.01或P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.再看一個應用正態分布的例子:第37頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五因為X～N(170,62),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即h=170+13.98