概率學中的基本使用第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五熟練掌握MATLAB軟件的基本操作;(2)熟練掌握MATLAB中數據輸入的基本方法;(3)熟練掌握數據加、減、乘和除四則運算的基本方法;(4)熟練掌握函數求導數、求微分和積分運算的基本方法;(5)熟悉與排列、組合有關的操作命令．

二.實驗目的與要求第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五1、啟動與退出

;2、MATLAB的常用命令有：help,clc,clear.3、數據的輸入

（1）標量的輸入對于標量數據,只要在命令窗口中直接輸入即可.例1-1

在命令窗口中輸入:a=4%將數值4賦給變量a.回車后顯示:a=4三.實驗操作過程第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)行向量的輸入(a)直接輸入:數據放在方括號“[]”內，其間加逗號“,”或空格分開.例1-2在命令窗口中輸入:a1=[1,3,6,8]%將行向量(1368)賦給變量a1.回車后顯示:a1=1368

第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(b)等差數列:以確定的步長等分區間,得到等差數列.如果向量中的數據構成等差數列,則可以用冒號算符來創建.例1-3

在命令窗口中輸入:a2=1:0.5:3%將區間[1,3]以0.5為步長等分,賦給變量a2.回車后顯示:a2=1.00001.50002.00002.50003.0000當步長為1時,還可以省略步長.第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(3)列向量的輸入(a)直接輸入:

數據放在方括號“[]”內，其間加分號“;”分行.例1-4在命令窗口中輸入:b1=[1;3;6;8]%將列向量(1368)'賦給變量b1.回車后顯示:b1=1368

第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(b)把行向量轉置成列向量:加轉置運算符號“'”.例1-5在命令窗口中輸入:b2=[1,3,6,8]'%將行向量(1368)轉置后賦給變量b2.

回車后顯示:b2=1368

第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(4)矩陣的直接輸入簡單的矩陣可以直接輸入.其行間數據用逗號“,”或空格分隔，用分號“；”分行.例1-6

在命令窗口中輸入:A=[1,2,3;4,5,7]回車后顯示:A=123457注意:在MATLAB中,無論是向量,還是矩陣,直接輸入的時候都是用方括號“[]”括了進來.在方括號中的數據,如果是用逗號“,”分隔的,則數據在同一行中;如果是用分號“；”分隔的,則數據在不同行中.第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(5)生成矩陣的函數在MATLAB中,有許多的函數可以生成矩陣,常用的有ones,zeros,eye.這三個函數的調用方式類似.(a)全1陣函數用函數ones(n,m),可以生成n行m列元素全是1的矩陣.例1-7在命令窗口中輸入:A1=ones(3)%生成3行3列的元素都是1的矩陣.

回車后顯示:A1=111111111

第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(b)全0陣函數用函數zeros(n,m),可以生成n行m列元素全是0的矩陣.例1-8在命令窗口中輸入:A2=zeros(2,3)%生成2行3列的元素都是0的矩陣.回車后顯示:A2=000000

第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(c)單位陣函數用函數eye(n,m),可以生成n行m列單位矩陣.它和線性代數中講的單位矩陣(要求方陣)含義不同.例1-9在命令窗口中輸入:A3=eye(2,3)%生成2行3列的單位矩陣.

回車后顯示:A3=100010注意:MATLAB中的單位陣的意義更廣泛,不一定是方陣.第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五3.數組加、減、乘、除四則運算及其冪、開方、指數與對數運算(1)數組運算①數組與標量的四則運算數組與標量之間的四則運算是指數組中的每個元素與標量進行加、減、乘、除運算.例1-10

對數組進行乘、除與加、減一個數的運算.在命令窗口中輸入:x=[134;265;324];a=2*x-2c=x/2第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五回車后顯示:a=0462108426c=0.50001.50002.00001.00003.00002.50001.50001.00002.0000第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-11

進行數組間的加、減法、乘法與除法運算.在命令窗口中輸入:a=[134;265;324];b=[231;412;453];c=a+bd=a./b%注意比較沒有小點號時的d=a/b矩陣運算.回車后顯示:c=365677777d=0.50001.00004.00000.50006.00002.50000.75000.40001.3333第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五由于數組的除法運算有點特殊,為了便于讀者使用,我們對數組的除法運算規則總結如下:(a)數組間的除法運算為參與運算的數組中對應元素相除,結果數組與參與運算的數組大小相同.(b)數組與標量的除法運算為數組中的每個元素與標量相除,結果數組與參與運算的數組大小相同.(c)數組的除法運算符號有兩個,即左除號“./”與右除號“.\”,它們的關系是:a./b=b.\a.第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五③數組的冪運算在MATLAB中,數組的冪運算與矩陣的冪運算完全不同.數組的冪運算符號為“.^”(注意運算符中的小點號),用來表示元素對元素的冪運算.而矩陣的冪運算符號為“^”.例1-12

進行數組與數的冪運算.在命令窗口中輸入:a=[134;265;324];c=a.^2回車后顯示:c=1916436259416為了便于比較,下面列出矩陣的冪運算.第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-13與數組冪運算比較,進行矩陣的冪運算.a=[134;265;324];c=a^2c=192935295258192938例1-14

進行數組與數組的冪運算.在命令窗口中輸入:a=[134;2,6,5;32,4];b=[231;412;453];c=a.^b回車后顯示:c=127416625813264上面兩數組的冪運算為數組中各對元素間的運算.第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五④數組的開方運算、指數運算與對數運算由于在MATLAB中,數組的運算實質上是數組內部每個元素的運算,因此數組的開方運算、指數運算與對數運算與標量運算完全一樣,運算函數分別為“sqrt”,“exp”,“log”等.例1-15

進行數組的開方運算.在命令窗口中輸入:a=[194;251636];c=sqrt(a)回車后顯示:c=132546數組的對數運算、指數運算與數組的開方運算形式完全一樣.第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五4.矩陣的基本運算矩陣的基本運算包括矩陣的四則運算、矩陣與標量的運算、矩陣的冪運算、指數運算、對數運算、開方運算以及矩陣的逆運算、行列式運算等.下面僅對矩陣的四則運算、矩陣與標量的運算進行說明.(1)矩陣的四則運算矩陣的四則運算與前面講的數組運算基本相同,但也有一些差別.其中,矩陣的加、減運算與數組的加、減運算完全相同,要求進行運算的兩個矩陣的大小完全相同,使用的運算符號也是“+”與“-”.第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-16

進行矩陣加減運算.在命令窗口中輸入:a=[12;35;26];b=[24;18;90];c=a+b回車后顯示:c=36413116第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五設矩陣A是一個i×j大小的矩陣,則要求與之相乘的矩陣B必須是一個j×k大小的矩陣,此時A與B矩陣才能進行相乘.矩陣的乘法運算使用的運算符號是“*”.例1-17

進行矩陣乘法運算.在命令窗口中輸入:a=[12;35;26];b=[241;890];c=a*b%注意比較d=b*a,可見a*b≠b*a.d=b*a回車后顯示:c=182214657352622d=16303561第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五當然,矩陣乘法也可以像數組乘法那樣,進行矩陣元素的相乘,此時要求進行相乘的兩矩陣大小完全相同,用的運算符號為“.*”.

例1-18

進行矩陣乘法“*”運算,比較矩陣元素間乘法“.*”運算.在命令窗口中輸入:a=[120;25-1;410-1];c=[124;2510;0-1-1];d=c.*a%注意比較e=a.*c,可見a.*c=c.*a.e=a.*c回車后顯示:d=140425-100-101e=140425-100-101第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五在MATLAB中,矩陣的除法運算有兩個運算符號,分別為左除“\”與右除“/”.

矩陣的右除運算速度要慢一點,而左除運算可以避免奇異矩陣的影響.對于方程Ax=b,若此方程為超定方程,則使用除法運算符“\”與“/”可以自動找到使誤差Ax-b的平方和最小的解.若此方程為不定方程,則使用除法運算符“\”與“/”求得的解至多有Rank(A)(矩陣A的秩)個非零元素,而且求得的解是這種類型的解中范數最小的一個.例1-19進行矩陣除法運算:解矩陣方程Ax=b.在命令窗口中輸入:a=[213420;57820;211417;343138];b=[10203040]';x=b\a%方程x=A-1b,A存在逆矩陣.回車后顯示:x=0.76671.18670.8767上例的方程Ax=b為超定情況.注意,結果矩陣X是列向量形式.第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-20

進行矩陣除法運算:解矩陣方程Ax=b.在命令窗口中輸入:a=[2134205;78202114;17343138];%A為3行4列矩陣.b=[102030]';x=b\a%對于方程Ax=b,A不存在逆矩陣.回車后顯示:x=1.62861.25711.10711.0500上例的方程Ax=b為不定情況.它有三個方程、四個未知量,理論上有無窮多解.這里的解是使解中范數最小的一個.第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)矩陣與標量的四則運算矩陣與標量間的四則運算和數組與標量間的四則運算完全相同,即矩陣中的每個元素與標量進行加、減、乘、除四則運算.需要說明的是,當進行除法運算時,標量只能做除數.例1-21進行矩陣與標量的四則運算.在命令窗口中輸入:b=[213420;782021;173431];c=b+2d=b/2回車后顯示:c=233622802223193633d=10.500017.000010.000039.000010.000010.50008.500017.000015.5000第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五5.函數求導數、微分和積分

(1)數值微分與符號微分微分是高等數學中最基礎的內容之一.在MATLAB中,符號微分由函數“diff”來實現.diff函數可同時計算數值微分和符號微分.當輸入的參數是數值時,MATLAB能非常巧妙地對其進行數值微分;當輸入的參數是符號字符串時,MATLAB同樣能非常巧妙地對其進行符號微分.diff函數的調用格式如下:·diff(f)%對findsym函數返回的獨立變量求微分,f為符號表達式;·diff(f,'a')%對a變量求微分,f為符號表達式;·diff(f,n)%對findsym函數返回的獨立變量求n次微分,f為符號表達式;·diff(f,'a',n)或diff(f,n,'a')%對變量a求n次微分,f為符號表達式.

第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-22

對函數求一階導數和.

在命令窗口中輸入:symsx;%syms創建變量x.f=sym('(x-1)^3/(x-1)');%sym和單引號創建變量符號表達式.b=diff(f);c=diff(f,'2')回車后顯示:b=2*x-2c=2.0000第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五同樣地,函數diff也可對符號矩陣進行運算.此時,它是對符號矩陣中的每個元素進行微分.例1-23

對符號矩陣進行微分運算:求矩陣函數的導數.在命令窗口中輸入:f=sym('[cos(x),sin(x);x^2+x+1tan(x)]');b=diff(f)回車后顯示:b=[-sin(x),cos(x)][2*x+1,1+tan(x)^2]第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)數值積分與符號積分由高等數學可知,積分比微分復雜得多,很多情況下,積分不一定能成功.當在MATLAB中進行符號積分找不到原函數時,它將返回未經計算的命令.符號積分由函數“int”來實現.int函數的調用格式如下表示:·int(f)%對findsym函數返回的獨立變量求不定積分,f為符號表達式;·int(f,v)%對v變量求不定積分,f為符號表達式;·int(f,a,b)%對findsym函數返回的獨立變量求從a到b的定積分,f為符號表達式;·int(f,v,a,b)%對v變量求從a到b的定積分,f為符號表達式.

第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-24

計算含參變量的不定積分在命令窗口中輸入:symsualpha;%syms創建變量(sin(alpha*u),alpha)回車后顯示:ans=-1/u*cos(alpha*u)例1-25計算不定積分在命令窗口中輸入:symsxint(1/(1+x^2))回車后顯示:ans=actan(x)第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-26計算不定積分在命令窗口中輸入:int('log(x)/exp(x^2)')回車后顯示:Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.InC:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.matline58ans=int(log(x)/exp(x^2),x)上例中,當找不到原函數時,返回未經計算的函數.與函數diff一樣,函數int也可對符號矩陣進行運算.此時,它是對符號矩陣中的每個元素進行積分.第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例1-27對符號矩陣進行積分運算.在命令窗口中輸入:symstalpha;int([exp(t),exp(alpha*t)],t)回車后顯示:ans=[exp(t),1/alpha*exp(alpha*t)]第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五5.概率計算中常用的函數

在古典概型中,計算概率時,經常要用到階乘、組合數等,在MATLAB中,有相應的函數可以計算階乘、組合.(1)計算階乘在MATLAB中,用函數factorial計算階乘.基本調用格式:·N=factorial(n)%計算出n的階乘,并賦給N.例1-28

計算階乘3!.在命令窗口中輸入:N=factorial(3)%計算3!,賦給變量N.回車后顯示:N=6在使用這一函數時,要注意,當n不超過170時,可以正確地計算出n的階乘;當n超過170后,因為超過了計算機中整數的表示范圍,所以顯示為Inf(即無窮大).第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(2)雙階乘的計算在MATLAB沒有直接計算雙階乘的函數,但可以用連乘積函數prod來計算.當n是偶數時,雙階乘n!!=2*4*…*n.計算雙階乘用N=prod(2:2:n).例1-29

計算偶數雙階乘8!!.在命令窗口中輸入:N=prod(2:2:8)%計算偶數雙階乘8!!.回車后顯示:N=384當n是奇數時,雙階乘n!!=1*3*…*n.計算雙階乘用N=prod(1:2:n).例1-30

計算奇數雙階乘9!!.在命令窗口中輸入:N=prod(1:2:9)%計算奇數雙階乘9!!.回車后顯示:N=945也可以用prod函數計算階乘.比如計算n的階乘,只要在命令窗口中輸入:N=prod(1:n),回車后就得到了n的階乘.使用這個函數也要注意n不能過大.第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(3)計算組合數計算組合