解密07三角恒等變換

解噂高壽命題分析三年高考探源考查頻率

高考考點

2018課標全國n15

高考中，對于三角恒等

2018課標全國m4

利用兩角和與差的公式與二倍變換的考查有兩種：(1)直★★★★

2017課標全國IH4

角公式化簡求值接利用三角恒等變換求值；★

2017課標全國I15

(2)以解三角形為背景，在

2016課標全國HI6

應用正弦定理、余弦定理的

2018課標全國I8

同時，應用三角恒等變換進

2018課標全國II7,10

行化簡，綜合性比較強，但★★★★

三角恒等變換的綜合應用2018課標全國HI6

難度不大.也可能與三角函數★

2017課標全國I11

等其他知識相結合.

2016課標全國II15

對點解害

考點1利用兩角和與差的公式與二倍角公式化簡求值

題組一利用兩角和與差的正、余弦公式化簡求值

3聲Y

1兀一一兀

T--<?<-

調研1若、2且22,則sin2a的值為

4夜272

A.

~9~~9~

r2夜N4A/2

99

【答案】A

/3兀1.1.1

【解析】由題意，根據誘導公式得【2J33

20

cosa=——

又因為sina<0,所以——<a<0,所以3

2

sin2a=2sinacosa=2x

所以

故選A.

Jl+cos64/1-cos^,6

,則

調研2已知3兀W8<4冗，旦,12V22e

1071?117137兀?47TI

A.——或一B.——或——

331212

1371f15TI1971川2371

C.—或一D.——或——

4466

【答案】D

【解析］3n<0<An—<2n,cos—>0,sin，。,

>2222

l+cos8/l-cos^/To/.260.0R\0n\y/6

={cos-+^sin-=cos--sm-=V2cost-+-J=T,

.j6兀1.8兀n2o6兀JTY_

..cos.—+—=—>..—k—=—1~2An或—F—=——I-Ikai.KeL,

4)2246'246

jr5冗1Qjr23冗

即8=+4加或8=—二+4far：kwZ,???3瓦“6V4兀，??.6=3或上.

6666

故選D

【名師點睛】此題考查了三角函數的化簡求值，涉及的知識有：二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正

弦函數公式，以及絕對值的代數意義，熟練掌握公式是解本題的關鍵；根據a的范圍求出區的范圍，確定

2

Hicos->0,sin-<0,所求式子利用二倍角的余弦函數公式及絕對值的代數意義化簡，再利用兩角和與

22

差的余弦函數，結合角的范圍即可求出.

且T/￡?運.。?：：：運?€.第;??旦1

☆技巧點撥☆

三角恒等變換的“四大策略”：

(1)常值代換：特別是“1”的代換，I=sin2?+cos2?=tan45。等;

(2)項的分拆與角的配湊：如sin2a+2cos2?=(sin2a+cos2a)+cos2a,a=(a—份+￡等;

(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

?**<€is.?><1."??,.<e.”?：超：：一?

題組二利用兩角和與差的正切公式化簡求值

調研3若2tana=l,tan〃=-2,則tan|'a+￡l=.

3

【答案】一:

4

【解析】?.?2tana=l,，tana=(,，tan(a+/5)=_J2___2

1-權(-2)=4

(1)求tan[a+：J的值.

(2)求sin2a+cos2a的值.

17

【答案】(1)—；(2)--

35

[解析】(1)Vtana=-2,

71

;&*父=tana+t/=13n1=-2+11

I1-tanatan-1-tana1-(-2)3

4

(jiA

(2)由aw|一,兀，tana--2,

(2)

1

2cosa=--=

得sine=-j=.第

437

sin2a+cos2a=2sinacosa+cos2a-sin2a=———-—

555

【思路點撥】(1)利用兩角和的正切公式可得結果:

21

(2)根據角a的范圍，由正切求出sma=不，cosa=--j=,再利用二倍角公式即可得結果.

二冬??#。，，「??：：：運?1：S.寓，一」。

☆技巧點撥☆

公式的常見變形：

c.tana+tanBtana-tanB.

八,I—.ftanatan尸=1----------------=-----------------1

0)tana±tan￡=tan(a±/3)(ktanatan￡).tan(a+￡)tan(a-￡)

.21-cos2an1+cos2a.1.?

sin*a-------------cos*a=------------sinacosa=—sin2a

(2)降基公式：2；2.2

(3)升塞公式：l+cos2a=2cos'a；l-cos2a=2sin:a.1+sin2a=(sina+cosa)，；

1-sin2a=(sina-cosa)：

ab

(4)輔助角公式：asinx+6cosx="a'+"sin(x+0),其中6+b：插+b：,

b

tan0=-.

a

產電：?.<?.*35.?<-.?€?"u：?.^：■?,?。培?：：一?8

考點2三角恒等變換的綜合應用

題組一與三角函數的圖象及性質相結合

調研1將函數/(x)=sinx的圖象向右平移g個單位后得到函數y=g(x)的圖象，則函數

y=/(x)+g(x),xe]兀的最小值為.

【答案】昱

2

【解析】由題意得g(x)=sin；x-g)

y-/|x)+g(x)=sinx+sin'x-：[=sinx+sinxcos-^-—cosxsin-^=—sinx-^-cosx=

7171幾5冗

vxe

3~6

715K,也

'Ix---=—時，y.=---.

66,nn2

調研2(安徽省A10聯盟2019屆高三11月段考數學試題)已知函數/E=J^sin"+5sin-x-cosF

(1)求函數“X)的單調遞增區間；

(2)求函數產/⑴一，在艮回上的零點.

66

兀571

——FAn.—4-far(左eZi

【答案】⑴L1212J,[⑵工o空衛n

636

【解析】⑴/(^)=^sm2x+5sin2x-cos2x

=^/3sin2x+—2(\1-cos2x)/--2\11+cos2x)/

=道sin2x-3cos2x+2

--+2fer<2x--<—+2An.A,eZ--^kji<x<—^kn.keZ

令232，得1212

jrSTT

--FAn.—4-far[keZI

???函數的單調遞增區間為L1212-

2x-二=kji(keZ)

x=—+—(JceZl

??.26

兀/,7兀

一?xW—，

66

7i2n7兀

x=—.一.一

6'36,

即函數)"岡-2在艮馬上的零點是F，瑪？.

66J636

【名師點睛】本題考查了三角函數的恒等變換，考查了正弦型三角函數丫=人訪(sx+0)的圖象和性質，解

答本題的關鍵是靈活應用二倍角的余弦公式和兩角差的正弦公式將函數式化簡為尸Asin(3X+0)+8的形式.

?得f(x)=2Wsin；2x-：；+2

(1)利用三角函數關系式的恒等變換I，進而利用正弦函數的單調性，求

出函數的單調遞增區間;

(2)將求函數y=/(x)-2在上的零點轉化為求正弦型函數圖象在內與x軸的交點，再

66J|_66

根據正弦函數的性質求解.

題組二與向量相結合

調研3已知a=(l+cos?x「l),5=(JIsin0x)(3>0),函數/(x)=a也函數/(x)的最小正周期

為2兀.

⑴求函數“X)的表達式；

(2)設6e(0,5)，且〃6)=4+(，求85。的值.

【解析】⑴/(可=。1=指(1+(:(?切)-5指如=y/3-2sinax-^-

因為函數/(x)的最小正周期為2兀，

2兀

所以一=271，解得69=1,

所以cos9=cos：6----1=cos：3--:cos——sin：d--:sin—=—x——*—x-f—=-------

33JI3J3I.3J352!、5J210

題組三與解三角形相結合

調研4在ZSABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3ad=跖"osB+bcosCI

(1)求tan2A的值；

sin'-+5^|=^-:c=272

(2)若‘「'3，求△ABC的面積.

【答案】(1)2及；(2)巫.

3

【解析】(D由3a8sz1=#("。58+兒。5。)及正弦定理得

3sirL4cos.4=^6(sinCcos5+siaffcosC)=V6sin(5+C)=Vdsim-l,

VsinAw0,

」加

/.cos.4=——,

3

vAeHl

/.tanA=也

2taiu4

/.tan2^4=20

1-tan\4

丁BG(0,7T),

sinB=-.

3

sinC=sin(X+3)=sin-4cos5+co,4sin5￡

3,

a_c

由正弦定理得sinJsinC,

J-----------------------==---------

sinCV6

1.1__12V2

Sc=-acsiaDS=-x2x2JF2x—=———

.?.△ABC的面積2233.

【思路點撥】(1)由條件及正弦定理可得3sinJcosJ=J^sinzl,故c。4=亞，所以

3

sinJ=——,tanJ=——廠

32,由倍角公式可得tan2,4=2V2.

cosB=-----

(2)由條件得3,故得Sin8=§,由正弦定理得a=2,從而可得AABC的面積

C1.A20

S=—acsinB=-----

23.

【名師點睛】利用正、余弦定理求解三角形面積問題的題型與方法：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各個邊、角后，直接求三角形的面積.

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他各量.

(3)求三角形面積的最值或范圍時，一般要先得到面積的表達式，再通過基本不等式、三角函數的求最值的

方法求得面積的最值或范圍.

6??，德?：:€?.：::痘.:

☆技巧點撥☆

此類題中的角是在三角形中，每個角的范圍限制在(0,兀)內，如果是銳角三角形，則需要限制各個角均在

TT

（0,3）內.角的范圍在解題中至關重要，做題時要特別注意.

。?8??Y寓.,。運德。，?8?<

強化集訓

sin（n:-a）=-

1.（內蒙古呼和浩特市2018屆高三年級質量普查調研考試數學試題）若3,且上〈。〈加，

2

則sin2a的值為

2724A/2

A.一——B.一——

99

「2aC4忘

99

【答案】B

故選B.

2.（四川省資陽市2018-2019學年高三第一次診斷性考試數學試題）在直角坐標系xOy中，角a的始邊為

x軸的非負半軸，其終邊上的一點尸的坐標為（2加，ni）（其中m<0）,則cos2a=

【答案】B

【解析】：加<°，二尸在第三象限，且'=后天嬴=一、5加，

.m\/5.23

sina=-cos2a=1—2sin*a=1—=—

由正弦函數的定義可得75次5,55

故選B.

【名師點睛】本題主要考查三角函數的定義以及二倍角的余弦公式，意在考查綜合運用所學知識解決問

題的能力，屬于中檔題.利用三角函數的定義求出sina的值，由二倍角的余弦公式可得結果.

2

3.（河南省八市學評2018屆高三下學期第?次測評數學）已知sin28=—,則

3

15

A.-B.-

56

C.5D.6

【答案】A

sin2^=cos

【解析】由題意可知

51

則66

tan*9--

l4

所以

故選A.

4.（江西省吉安一中、九江一中等八所重點中學2018屆高三4月聯考數學試題）若點（。0）是函數

/lx|=sinx+2cos.r的圖象的一個對稱中心，則cos2e+sin8cose=

1111

A.—B.——

1010

C.1D.-1

【答案】D

【解析】?.?點（40）是函數x）=sinx+2cosx的圖象的一個對稱中心,

.二sin8+2cos6=0,即tan8=—2.

cos28-sin冶+sin6cos61—tanU+tan61-4-2

cos28+sin8cos6=-1

sin,8+cos'8tan'6+14+1

故選D.

5.（湖北省八校2018屆高三上學期第一次聯考（12月）數學試題）若c,￡eR且

如"+*'版+抑⑺2兀（瘋ana-l）（限切-1）=4

■.，火!ja十夕—§-'，刑

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

[解析]不=4,即3tanatan/5_J5tana—J5tan尸+1=4

tana+tan/?_不

即Wtanatan/?-tana-tan/?=J即l-tanatan戶即tan(a+/5)=-、

行2n.

a+￡=---FkuOJJ.

所以3,當出=0時，?+/?=—,

3

所以“a+/=與”是“(病00-1)(.an?-1)=4”的充分不必要條件

故選A.

【名師點睛】本題考查切化弦公式，兩角和的正余弦公式，充分不必要條件的概念，已知三角函數值求

角，屬于中檔題.根據切化弦公式，兩角和的正余弦公式將原等式化成：13nl0+￡1=一/,這便可求

27r

a+￡=—+E2jTJtana—lll氐叫5T=4

出3,這樣便會得到&+￡=竽是1丫八'"1充分不必要條件.

6.（福建省寧德市2018屆高三下學期第二次（5月）質量檢查數學試題）將周期為兀的函數

f(x)=%sin（G>0）

的圖象向右平移三個單位長度后，所得的函數解析式

3

為

y=2sin2x-1

A.

C.y=2sin2xD.

【答案】A

/(X)=2sina)x+—+—[=2sina)x+—[

【解析】由題得''66>I3人

e=jt”=2/(x)=2sin(2x+—

因為函數的周期是兀，所以◎.所以13

71

y=2sin2；+=2sin；2X-￡

將函數火X)向右平移］個單位長度后，所得的函數解析式為3

故答案為A.

【名師點睛】(1)本題主要考查三角函數解析式的求法，考查函數圖象的變換，意在考查學生對這些基

礎知識的掌握能力.先化簡於)，再求出0的值，再求平移后的函數解析式得解.

(2)把函數的圖象向右平移a(a>0)個單位，得到函數/(X—a)的圖象，把函數的圖象向

左平移a(a>0)個單位，得到函數/(尤+a)的圖象，簡記為“左加右減”.

4

7.(江西省上饒市2018屆高三下學期第三次高考模擬考試數學試題)由射線y=(x>0)逆時針旋轉

到射線y=(x<0)的位置所成角為。，則cos6=

16,16

A.---B.i—

6565

56156

C.---D.±—

6565

【答案】A

43

Asina—,cosa=—

【解析】設'=—尤(x>0)的傾斜角為a,則

3

512

5sinJ3=—COSP=--

射線y=—三工(x<0)的傾斜角為夕，貝ij13913,

3124516

cos8=cos(￡—a)=cosacos月+sinasin0=—x(-+—x=--

故選A.

【名師點睛】本題主要考查/三角函數的定義及兩角差的余弦函數公式，考查了邏輯推理能力與運算求

解能力，屬于中檔題.

71

f(x)=sinxcos(x-

8.(四川省涼山州2019屆高三第一次診斷性檢測數學試題)設函數4,對任

意XeR都滿足了(c+x)=〃c-X),則c的值可以是

兀3兀

A.B.—

88

TC57r

C.D.—

28

【答案】B

對任意xeR都滿足,即％=c為函數圖象的對稱軸.

2x--=—+2fai,keZx=—+far.A,eZ

令42，解得8

3兀

當上=0時，x=—.

8

故選B.

【名師點睛】本題主要考查了兩角差的余弦展開公式、二倍角公式、輔助角公式及三角函數的對稱性，

/(x)=—sinlx--'_X

屬于中檔題.化簡函數得''214人由八c+x尸八c—x人得％為函數圖象的對稱

2x--=—+2An.keZ

軸，令42；解出對稱軸即可得解.

9.(華大新高考聯盟2018屆高三4月教學質量檢測試卷數學試題)銳角△ABC的外接圓半徑為1,

>/3—1

AC=?BC>AB,且滿足cos""'。

4,則C

71兀

A.—B.

12

5兀

C.-D.

4T7

【答案】C

…吟.

【解析】因為2r2、

cosJcosC=^

因為4所以

2C--=—c

因此2c--=一或63,即。=一或。=一,

63412

因為BC>AB,所以。<上TT，即。=TT勺.

34

故選C.

10.(山西省孝義市2018屆高三下學期一模考試數學試題)已知函數

、門.8XOX,_2O)X..c、

/(x)=2V3sin—cos—+2cos--l(<y>0)「]

222的周期為兀，當xe0,y時，方程/(x)=m恰有

兩個不同的實數解玉，%,則A再=

A.2B.1

C.—1D.-2

【答案】B

/(x)=2>/3sin—cos—+2cos2-^―1=出sinGX+COSa)x=2sin—

【解析】函數22216

27r0=(x)=2sin；2x+g

由周期T=」=兀，可得6

co

八兀］nn7n

*.*X€0.——K2x+—V--.、,

「2」，666,-T-/(rix)--，且〃x)的對稱軸為x

..+二

方程〃力=加恰有兩個不同的實數解AW，'3,

/(再+七)=/；:；=2sin；；=2si卓=1

則\.3J136/6

故選B.

11.(河北省唐山市2018-2019學年高三上學期第一次摸底考試數學試題)已知函數

/(x)=sinx-sin3x:xe[0:2rt])則/⑴的所有零點之和等于

A.8兀B.7兀

C.6兀D.5兀

【答案】B

/(x)=sinx-sin3xxe[O2n]

【解析】由已知函數ss

令〃x)=0,即sinx-sin3x=0,

即sinx=sin3x=sinxcos2x+cosxsin2x=sinxcos2x+2sinxcos2x,

B|isiQ.r(cos2x+2corx-l)=0解得‘加或cgx+Zcosl-JO,

當sinx=0.xe[0,2司時，x=o或％=兀或*=2元;

8立=±立

當cos2x+2cos，-l=0時，即2cos'x+2cos，-2=0,解得2,

,「八_-I7T—3兀..5兀7兀

乂由xe10,2兀],解得x=—或一或'—或^一，

*■」4444

_,JI3兀，5n7n__

0H—I-—+兀H---1----1-2it=7K

所以函數/(x)的所有零點之和為4444.

故選B.

【名師點睛】本題主要考查了函數的零點問題的綜合應用，其中解答中熟記函數的零點的概念，以及

熟練應用三角函數恒等變換的公式，求解方程的根是解得關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題，

，：萌4二分析間也札解各何法的能力,以及玉理工心口沖力.根據兇效四零點的壯21./'(.v)=0.

得sinx-sin3x=°,根據三角恒等變換的公式，求解方程的根，即可得到所有的零點之和，得到答案.

3

sin(x-vIcosx—cos(x—v)sinx=—

12.(上海市楊浦區2018屆高三下學期質量調研(二模)數學試題)若5

則tan2y的值為.

【答案】土2上4

7

sin|(x-v)-xl=-Q

【解析】由已知有"5,即siny=-1,.,.y為第三或第四象限的角.

2tany24

?tan2v=

1-tan2y7

當y為第三象限的角時，tan”1則

r2tanv24

§tan2y=----；-=——

當y為第四象限的角時，tany=--,則1-tan*>'一

4

24

4sin；a+；

5，則

13.(四川省廣安、眉山2018屆畢業班第一次診斷性考試數學試題)已知

4

【答案】-

5

兀[*7X4,'兀:y/2/.、4

vcos■a.——=——(cosa+sinc?)=-sina+—=——?sina+cosa)=—

【解析】I4J25,所以I25

故答案為.4.

14.(黑龍江省大慶實驗中學2019屆高三上學期第一次月考數學試題)已知mb,c分別是AABC的三個內

的取值范圍是

角A,B,。所對的邊，若csirb4=-qcosC,則GsinA—COS[B+

；#+&、

【答案】〈21

3

【解析】因為csinA=—acosC,所以sinCsin/4=-sinAcosC,所以tanC=-l,即C=—兀.

4

y/3sirtA-cos|B+—|=A/3sinA+cosA=2sin(A4--)?

I4)6

八，冗冗11.J.7T

0<X<一,一s..一<sinX+一

因為46264

所以

故答案為'

【名師點睛】(1)本題主要考查正弦定理，考查三角恒等變換和三角函數的圖象和性質，意在考查學生對

這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.先利用正弦定理求出NC,再化簡GsinA-cos[5+￡j得

2sin(A+N),再利用三角函數的圖象和性質求解.

6

(2)對于復合函數的問題自然是利用復合函數的性質解答，求復合函數的最值，一般從復合函數的定義域

入手，結合三角函數的圖象-步一步地推出函數k及皿.+0)+”的最值.

/(x)=>\^cos2x—2cos*,x+—[+1

15.(天津市靜海區2019屆高三上學期三校聯考數學試題)已知函數I4J

(1)求〃x)的單調遞增區間；

(2)求〃x)在區間0片上的最值.

E-九

+—(keZ)

【答案】(1)L1212」；(2)最大值為2,最小值為一招.

【解析】(1)函數"X)=VJcos2x_2cos，2

I4l)

=^/3cos2x+sin2x=2sin；2x+—'

I3j

^-2/at--<2x+—<2/at+—./ceZ,kn——<x<kn+—.keZ,

232'1212'

???/(x)的單調遞增區間為(左eZ).

■JT

(2)當xe0,-時,

2

.../(x)在區間0段上的最大值為2,最小值為一百.

且x=限時/(x)取得最大值2,x=時/(力取得最小值_布.

【名師點睛】本題主要考查輔助角公式、二倍角的余弦公式以及正弦函數的單調性，屬于中檔題.函數

j="sin(<yx+°)(A>0,<y>0)的單調區間的求法：把。x+0看作是一個整體，由

—+2kn<a)x+<p<—+2AJT(/CeZI--+2kjt<a)x+<p<—+2kn

22求得函數的減區間；由22求得函數

的增區間.

2sin'2x+—!

（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦公式將函數/（x）化為、3,1,利用正弦函數的單調

性解不等式，可得到函數f（x）的遞增區間；

「12x+具￡蘭sinRx+gjeJ

（2）當xe0,-時，3L33」，由正弦函數的單調性可得7L」，從

_2_

而可得結果.

16.（云南省曲靖市第一中學2019屆高三高考復習質量監測三數學試題）已知

sin；6一:：=icos（a+j0）=-i0<a<-.0<j0<-

L4J53,其中2-2.

（1）求sin26的值;

(2)求cosa+生］的值.

I4

2(72-76)

24------

【答案】(1)—；⑵15

25

.f0。°、1

sin,P--=—(sin/?-cos/?)=-

【解析】(1)因為I25

s.in"/?-cosap=——母

所以5,

IsinX?-cos/?r=sin“尸+cos二/一2sin/?cos/?=1—sin2￡二三

所以

所以sin2/?=—.

An；6一匚；=7cos(a+y5)=--

⑵因為、打5,3TTJT

其中0<a<—,0<￡<一,

22

=cos(a+J3)cos￡-Wj+sin(a+尸)sin

所以