求不規則圖形面積的三種方法方法一用割補法求圖形的面積1．如圖1，已知⊙O的半徑是2，點A，B，C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分的面積為()A.eq\f(2,3)π－2eq\r(3)B.eq\f(2,3)π－eq\r(3)C.eq\f(4,3)π－2eq\r(3)D.eq\f(4,3)π－eq\r(3)圖1圖22．如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A′B′C′，其中點B的運動路徑為eq\o(BB′,\s\up8(︵))，則圖中陰影部分的面積為________．3．如圖3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC繞點A按順時針方向旋轉45°后得到△AB′C′，則線段BC在上述旋轉過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是________．圖34．如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，點O在AB上，⊙O經過A，D兩點，交AC于點E，交AB于點F.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑是2cm，E是eq\o(AD,\s\up8(︵))的中點，求陰影部分的面積(結果保留π和根號)．圖4方法二用平移、旋轉、對稱轉化求圖形的面積5．如圖5，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為()A．4π－4B．4π－8C．8π－4D．8π－8圖5圖66．[如圖6，CD為大半圓的直徑，小半圓的圓心O1在線段CD上，大半圓O的弦AB與小半圓O1交于點E，F，AB＝6cm，EF＝2cm，且AB∥CD，則陰影部分的面積為________cm2.7．當汽車在雨天行駛時，司機為了看清楚道路，要啟動前方擋風玻璃上的雨刷．圖7是某汽車的一個雨刷的轉動示意圖，雨刷桿AB與雨刷CD在B處固定連接(不能轉動)，當桿AB繞點A轉動90°時，雨刷CD掃過的面積是圖中陰影部分的面積，現量得CD＝80cm，∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA＝35cm，試從以上信息中選擇所需要的數據，求出雨刷掃過的面積．圖78．如圖8，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延長線上的點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG.(1)求證：EF∥CG；(2)求點C，A在旋轉過程中形成的eq\o(AC,\s\up8(︵))，eq\o(AG,\s\up8(︵))與線段CG所圍成的陰影部分的面積．圖8方法三用等積變形求圖形的面積9．如圖9，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∠CDB＝30°，CD＝2eq\r(3)，則圖中陰影部分的面積為()圖9A．4πB．2πC．πD.eq\f(2π,3)10．如圖10，點A，B，C，D均在圓上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四邊形ABCD的周長為15.(1)求此圓的半徑；(2)求圖中陰影部分的面積．圖1011．如圖11，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交半圓O于點E，連接CE.(1)判斷CD與半圓O的位置關系，并證明你的結論；(2)若E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，半圓O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．圖11詳解詳析1．[解析]C如圖所示，連接OB和AC交于點D.∵圓的半徑為2，∴OB＝OA＝OC＝2.又∵四邊形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD＝eq\f(1,2)OB＝1.在Rt△COD中，利用勾股定理可知CD＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，∴AC＝2CD＝2eq\r(3)，∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，∴S菱形ABCO＝eq\f(1,2)OB·AC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，S扇形AOC＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4π,3)，∴圖中陰影部分的面積為S扇形AOC－S菱形ABCO＝eq\f(4,3)π－2eq\r(3).故選C.2．[答案]eq\f(5,4)π－eq\f(3,2)[解析]連接DB，DB′，過點D作DE⊥A′B′.△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉90°得到△A′B′C′，此時點A′在斜邊AB上，CA′⊥AB，DB′＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，A′B′＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，DE＝eq\f(\r(2),2)，∴S陰＝eq\f(90π×5,360)－1×2÷2－(2eq\r(2)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)÷2＝eq\f(5,4)π－eq\f(3,2).3．[答案]eq\f(1,2)π[解析]∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，AB＝eq\r(2)AC＝2eq\r(2).∵△ABC繞點A按順時針方向旋轉45°后得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°，∴點B′，C，A共線，∴線段BC在上述旋轉過程中所掃過部分(陰影部分)的面積為S扇形BAB′＋S△AB′C′－S扇形CAC′－S△ABC＝S扇形BAB′－S扇形CAC′＝eq\f(45×π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(45×π×22,360)＝eq\f(1,2)π.4．解：(1)證明：如圖，連接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC.∵OD是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線．(2)連接OE，OE交AD于點K.∵E是eq\o(AD,\s\up8(︵))的中點，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∴OE⊥AD.∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AOE＝60°，∴S陰＝S扇形OAE－S△AOE＝eq\f(60×π×22,360)－eq\f(\r(3),4)×22＝eq\f(2π,3)－eq\r(3).5．[解析]A利用對稱性可知：陰影部分的面積＝扇形AEF的面積－△ABD的面積＝eq\f(90×π×42,360)－eq\f(1,2)×4×2＝4π－4.故選A.6．[答案]4π[解析]如圖，將兩個半圓變為同心半圓．過點O作OM⊥AB于點M，連接OB，OF，則MF＝eq\f(1,2)EF＝1，BM＝eq\f(1,2)AB＝3，∴S陰影＝eq\f(1,2)πOB2－eq\f(1,2)πOF2＝eq\f(1,2)π(OB2－OF2)＝eq\f(1,2)π[OM2＋32－(OM2＋12)]＝4π(cm2)．7．解：由題意可知△ACD≌△AC′D′，所以可將△AC′D′旋轉到△ACD處，使陰影部分的面積成為一部分環形的面積，可通過兩扇形面積之差求得，所以雨刷CD掃過的面積S陰影＝S扇形ACC′－S扇形ADD′＝eq\f(90π×1152,360)－eq\f(90π×352,360)＝eq\f(π,4)×(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)．答：雨刷掃過的面積為3000πcm2.8．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.∵△BEC繞點B逆時針旋轉90°得△BFA，∴△BFA≌△BEC，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG.(2)∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝eq\f(1,2)AB＝1，∴AF＝eq\r(AB2＋BF2)＝eq\r(5).由(1)知四邊形EFGC是平行四邊形，FC為其對角線，∴點G到FC的距離等于點E到FC的距離，即BE，∴S陰影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝eq\f(90π×22,360)＋eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×(1＋2)×1－eq\f(90π×（\r(5)）2,360)＝eq\f(5,2)－eq\f(π,4)(或eq\f(10－π,4))，∴陰影部分的面積為eq\f(5,2)－eq\f(π,4)(或eq\f(10－π,4))．9．[解析]D如圖，連接OD.∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO＝90°.又∵OE＝OE，∴△COE≌△DOE，故S△COE＝S△DOE，即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積．∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠OCD＝30°，∴OE＝eq\f(1,2)OC.由勾股定理可求得OC＝2，故S扇形OBD＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2,3)π，即陰影部分的面積為eq\f(2π,3).故選D.10．解：(1)∵AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝30°，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵))，∠BCD＝60°，∴AB＝AD＝DC，∠BDC＝90°，∴BC是圓的直徑，BC＝2DC，∴BC＋eq\f(3,2)BC＝15，解得BC＝6，∴此圓的半徑為3.(2)設BC的中點為O，由(1)可知點O為圓心，連接OA，OD.∵∠ABD＝30°，∴∠AOD＝60°.根據同底等高的三角形面積相等可得S△ABD＝S△AOD，∴S陰影＝S扇形OAD＝eq\f(60×π×32,360)＝eq\f(3,2)π.∴圖中陰影部分的面積為eq\f(3,2)π.11．解：(1)CD與半圓O相切．證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.又∵OC為半圓O的半徑，∴CD與半圓O相切．(2)連接OE.∵AC平分∠DAB，∴∠EAC＝∠BAC，∴eq\o(EC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).又∵E是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\