§9有限群的分類1.凱萊定理:設(shè)G是n階群，則G一定與對(duì)稱群S的某個(gè)子群同構(gòu)。 n凱萊定理表明，理論上講，研究有限群只需把對(duì)稱群S研究透就夠了，但由于S的階數(shù)（n!）非常大，很難找出G具體與5的哪n個(gè)子群同構(gòu)。實(shí)際當(dāng)中采用具體研究的方式。，2。群的直和分解概念定義設(shè)N1N2,K,N是群G的正規(guī)子群。如果Vx￡G，都存在唯一的x￡N,使得x=x1x2Lxs；同時(shí)當(dāng)i牛）時(shí)，N中的元素與N.中的元素可交換，則稱G為N1N公K,N的直和，記為 ,G三N1十N2十L十N.例如，以克萊茵四元群為例，K4={e,a,b,c}，取N廣{e,a},N2={e,b},則n,N<K,且有e=ee,e￡N1,e￡N2, a=ae,a￡N1,e￡N2,b-eb,e￡N,b￡N, c=ab,a￡N,b￡N,從而根據(jù)定義有K4=N1十N2.再比如，6階循環(huán)群G=<a>=^e,a,a2,a3,a4,a5}，a6-e。取N-{e,a3}-<a3>，N-{e,a2,a4}-<a2>，則不難驗(yàn)證有g(shù)=N十N。3.有限群的結(jié)構(gòu)定理群的分類思想就是把復(fù)雜的群分解成簡單的、結(jié)構(gòu)完全已知的群的直和，而循環(huán)群的結(jié)構(gòu)最簡單、完全清楚，因此，總是將一般的群分解成循環(huán)群的直和。以下將n階循環(huán)群記為cn0情形1:有限交換群的情形定理1每個(gè)有限交換群都同構(gòu)于一些循環(huán)群的直和，這些循環(huán)群的階數(shù)分別為m1,m2,L,mj滿足m1|m2,m2|叱L,m1lmj即G=C十C十L十C。TOC\o"1-5"\h\zml m2 叫通常稱m,m,L,m為g的不變因子(Invariantfactors)。定理2設(shè)正整數(shù)m=pnpn2Lp小其中p,p,L,p為互不相同的 1 2 t 1 2 t素?cái)?shù)，y0，則C=C十C十L十C.mpnpn2 p>(即循環(huán)群還可以進(jìn)一步分解為更小的循環(huán)群的直和)結(jié)合定理1和定理2得定理3任何有限交換群都可以寫成一些有限循環(huán)群的直和，其中每個(gè)循環(huán)群的階都是素?cái)?shù)的方冪。定理4素幕階循環(huán)群z不可能再分解成階數(shù)更小的循環(huán)群 pn的直和。定理5若m與n互素，則C十C=C。將m「m2,L,ms在整數(shù)范圍內(nèi)作因式分解，由于mlm,mlm,L,mlm，因此m「m；L,m,必有相同的素因子，把它們按從高到低的次序排列如下：m=PnnPni2Lpnt,1 1 2 tm2=pi"21P222LPP21，LLLLLLLm=pins1PP2LP>，其中有些%可以為0,且0<pj<n2j<L<nsj.稱以上分解出的真因子pnij（n豐0）都叫G的一個(gè)初等因子（elementaryfactor）.jij 定理1，2，3可以簡寫成形式G二十Zc二十ZZci=1m i=1j=1P例1確定所有4階和6階交換群。解。（1）n=4=2義2=22，全部初等因子組為｛2,2｝，｛22｝，因此只有兩種4階交換群：^十C2，c4。其中C2十C2就是克萊茵四元群K4（見前面例子）。（2）n=6=2x3,初等因子組只有｛2,3｝，因此6階交換群只有一個(gè)：C2十C3=C6。但要注意，這里給出的僅僅是交換群的情形，還有6階非交換群存在：s3。例2列出所有1500階的有限交換群解。n=1500=22x3x53,全部初等因子組為（22,3,5,5,5｝， 也,3,5,5J，顯3,53｝｛2,2,3,555 ｝， （z,2,3,5,5 2｝， 1,2,3,5 3｝，因此共有6種1500階的交換群，分別為q=C4十C3十C5十C5十C5,G2=C4十C3十C5十C25,G3=C4十C3十C125,TOC\o"1-5"\h\zG=C十C十C十C十C十C,4 2 2 3 5 5 5G=C十C十C十C十C,5 2 2 3 5 25G=C十C十C十C.6 2 2 3 125注意：利用定理5可以將q,G2G3G4,G5G6重新改寫成q二C5十C5 十C60，G2=C5十C300, G3=Ci5oo,G=C 十C 十Cg G=C 十Cg G=C十C,4 5 10 30 5 10 150 6 2 750最后得到G,G2，G3，G4,G5G6的不變因子分別為：{5,5,60},{5,300},{1500},{5,10,30},{10,150},{2,750}。作業(yè)：（1）決定20及20階以下交換群的結(jié)構(gòu)；（2）給出2250階交換群的所有結(jié)構(gòu)，并求出相應(yīng)的不變因子。再給出兩個(gè)關(guān)于交換群的結(jié)論定理6素?cái)?shù)階的群總是交換群而且只有一個(gè)，即素?cái)?shù)階的循環(huán)群。定理7設(shè)G是”階交換群，m是n的任何一個(gè)正因子，則G總存在m階的子群。注意：定理7對(duì)非交換群不成立。如取G為§的全部偶置換作4成的群（即交錯(cuò)群A），它是一個(gè)12階非交換群，但可以驗(yàn)證4A沒有6階子群。4情形2：非交換群的情形正n邊形的對(duì)稱群概念：令T為正n邊形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)生的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，S為關(guān)于過中心的對(duì)稱軸的鏡面對(duì)稱，則正n邊形總共有2n個(gè)對(duì)稱，正n邊形的對(duì)稱群表示為:D={I,T,K,Tn-i,S,ST,K,STn-1}，n其中，Tn=I,S2=I,ST=T1S,I為恒等變換。定理5設(shè)|G1=pq,p,q為素?cái)?shù)，且不妨設(shè)p>q。若q不整除p-1，則G若qlp-1，則G同構(gòu)于由:和d生成的非交換群:Cp=e, dq=e, dc=csd其中，p不整除S-1， p|(Sq-1)。例子：15=5X3，p=5,q=3,q不整除p-1，所以15階的群只有循環(huán)群%。推論設(shè)p是奇素?cái)?shù)，則2p階的群要么是循環(huán)群C，要么是正2pp邊形的對(duì)稱群D。例如，6=2x3階群只有C和D(=S)；6 3 310二2x5階群只有C和D；10 51”2x7階群只有C和D。14 7定理68階非交換群只有兩個(gè)：一個(gè)是正四邊形的對(duì)稱群°；4另一個(gè)是四元數(shù)群08定理712階非交換群有三個(gè)：一個(gè)是正六邊形的對(duì)稱群°；6一個(gè)是交錯(cuò)群A；一個(gè)是由兩個(gè)元素代生成的群，記為尺4 ，a6—e, b2=a2, ba=a-1b=a5b.總結(jié)：15及15階以下交換和非交換群列表n群個(gè)數(shù)1{e}12C213C314C2十C2, C425C16C,D（即S3，非交換）27C718C2十C2十C2,C2十C4，C8,D4，08（非交換）59C十C,C210C10,D5（非交換）211J1

12C2十C6, C12, A4