2022年新高考數學模擬試卷（10）一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合，，滿足：，且每個集合恰有3個元素，記，2，中元素的最大值與最小值之和為，2，，則的最小值為A．21 B．24 C．27 D．302．（5分）2016里約奧運會期間，小趙常看的4個電視頻道中有2個頻道在轉播奧運比賽，若小趙這時打開電視，隨機打開其中兩個頻道試看，那么，小趙所看到的第一個電視臺恰好沒有轉播奧運比賽，而第二個電視臺恰好在轉播奧運比賽的概率為A． B． C． D．3．（5分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是A． B． C． D．4．（5分）已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則的方程為A． B． C． D．5．（5分）已知為所在平面內一點，，則A． B． C． D．6．（5分）的展開式中，的系數是A． B． C．50 D．307．（5分）已知過點，向圓引一條切線，切點為，且，為坐標原點，則的最小值為A． B． C． D．18．（5分）已知函數的定義域為，且（2），對任意，，則的解集為A． B． C． D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）已知是函數的導函數，，有，在上有，（1），下列說法正確的是A．當時，恒成立 B．當時， C．當時， D．是函數的其中一個零點10．（5分）已知復數為虛數單位）在復平面內對應的點為，復數滿足，則下列結論正確的是A．點的坐標為 B． C．的最大值為 D．的最小值為11．（5分）下面關于空間幾何體敘述不正確的是A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 B．棱柱的側面都是平行四邊形 C．直平行六面體是長方體 D．直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐12．（5分）下列等式成立的是A． B． C． D．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）圓錐的高為1，它的側面展開圖中母線的夾角為，則底面半徑為．14．（5分）經過，兩點的直線的斜率．15．（5分）設是定義在上的奇函數，且滿足；又當時，，則方程的解集為．16．（5分）春節臨近，某火車站三個安檢入口每天通過的旅客人數（單位：人）均服從正態分布，若，假設三個安檢入口均能正常工作，則這三個安檢入口每天至少有兩個超過1100人的概率為．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在①點，在直線上，②，，③，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解．問題：已知數列的前項和為，____．（1）求的通項公式；（2）求，并判斷，，是否成等差數列，并說明理由．18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．19．（12分）為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如表：天數日光燈數1111820251672（1）試估計這種日光燈的平均使用壽命；（2）若定期更換，可選擇多長時間統一更換合適？20．（12分）隨著炎炎夏日的高溫攀升和國內疫情的穩定好轉，大家逐漸開始不滿于口罩的“束縛”，街頭巷尾，不戴口罩的人越來越多．不戴口罩固然能讓人“呼吸順暢”倍感輕松，但是戴口罩，對于新冠肺炎、流感、肺結核等呼吸道傳染病具有很好的預防作用，既保護了自己，又有益于公眾健康．尤其在新冠肺炎疫情防控工作中，口罩發揮了重要的作用．下面是2020年8月1日口罩市場的價格表（單位：元）型號價格廠家一次性普通口罩一次性醫用口罩民用口罩醫用口罩0.310.861.989.380.550.721.849.050.390.762.718.31（1）根據、、三個廠家的數據，分別求一次性普通口罩、一次性醫用口罩、民用口罩、醫用口罩的平均價格（結果保留三位小數）；（2）若某藥店要進一批口罩銷售，這四種型號的口罩各進貨1000只，一次性普通口罩以1元錢銷售，一次性醫用口罩以2元錢銷售，民用口罩以3元錢銷售，醫用口罩以10元錢銷售，若這批口罩將全部出售，請問該藥店在哪一個廠家進貨利潤更大（四種類型的口罩都在同一廠家進貨）？21．（12分）直線上的動點到點的距離是它到點的距離的3倍．（1）求點的坐標；（2）設雙曲線的右焦點是，雙曲線經過動點，且，求雙曲線的方程；（3）點關于直線的對稱點為，試問能否找到一條斜率為的直線與（2）中的雙曲線交于不同的兩點、，且滿足，若存在，求出斜率的取值范圍，若不存在，請說明理由．22．（12分）已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）若時，求證：對任意的，有．

2022年新高考數學模擬試卷（10）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）已知集合，，滿足：，且每個集合恰有3個元素，記，2，中元素的最大值與最小值之和為，2，，則的最小值為A．21 B．24 C．27 D．30【解答】解：由題意集合，2，3，4，5，6，7，8，，當，4，，，6，，，8，時，取最小值：，當，4，，，5，，，6，時，，當，2，，，4，，，6，時，取最大值：，最小值為：27．故選：．2．（5分）2016里約奧運會期間，小趙常看的4個電視頻道中有2個頻道在轉播奧運比賽，若小趙這時打開電視，隨機打開其中兩個頻道試看，那么，小趙所看到的第一個電視臺恰好沒有轉播奧運比賽，而第二個電視臺恰好在轉播奧運比賽的概率為A． B． C． D．【解答】解：設正在轉播奧運比賽的電視臺為，，沒有轉播奧運比賽的電視臺為，，則前兩個節目出現的不同情況有：，，，，，，，，，，，共12種不同情況，第二個電視臺在轉播奧運比賽的情況有，，，，共4種不同情況，故所求概率為．故選：．3．（5分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為，頭頂至脖子下端的長度為，則其身高可能是A． B． C． D．【解答】解：頭頂至脖子下端的長度為，說明頭頂到咽喉的長度小于，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是，可得咽喉至肚臍的長度小于，由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，可得肚臍至足底的長度小于，即有該人的身高小于，又肚臍至足底的長度大于，可得頭頂至肚臍的長度大于，即該人的身高大于，故選：．4．（5分）已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點．若，，則的方程為A． B． C． D．【解答】解：，，又，，又，，，，，，，在軸上．在△中，，在△中，由余弦定理可得．，可得，解得．．橢圓的方程為：．故選：．5．（5分）已知為所在平面內一點，，則A． B． C． D．【解答】解：根據題意，如圖，設的中點為，連接，則有，又由，則有，是線段的中點，則到的距離是到距離的，故，故選：．6．（5分）的展開式中，的系數是A． B． C．50 D．30【解答】解：原式．故展開式含的項為：．故所求系數為30．故選：．7．（5分）已知過點，向圓引一條切線，切點為，且，為坐標原點，則的最小值為A． B． C． D．1【解答】解：圓的圓心，半徑為1，，，又，，整理得：．即動點在直線上，所以的最小值就是的最小值，過點作直線的垂線，垂足為，可得，故選：．8．（5分）已知函數的定義域為，且（2），對任意，，則的解集為A． B． C． D．【解答】解：根據題意，設，其導數，若對任意，，則，即函數在上為增函數，又由（2），則（2）（2），（2），即不等式的解集為，故選：．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）已知是函數的導函數，，有，在上有，（1），下列說法正確的是A．當時，恒成立 B．當時， C．當時， D．是函數的其中一個零點【解答】解：設，，，故為奇函數，當時，，，在上單調遞增，由為奇函數可知在上單調遞增，由（1）可得（1），所以（1），所以時，，，正確；當時，，，不正確；由等價于即，當時，函數在上單調遞增，，恒成立，正確；（1），為奇函數，，，，正確．故選：．10．（5分）已知復數為虛數單位）在復平面內對應的點為，復數滿足，則下列結論正確的是A．點的坐標為 B． C．的最大值為 D．的最小值為【解答】解：．復數在復平面內對應的點為，故正確；．復數，所以復數，故正確；．．設，所以，所以，表示的是復數和在復平面內對應的點的距離，故的最大值為，最小值為，故正確，錯誤．故選：．11．（5分）下面關于空間幾何體敘述不正確的是A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 B．棱柱的側面都是平行四邊形 C．直平行六面體是長方體 D．直角三角形以其一邊所在直線為軸旋轉一周形成的幾何體是圓錐【解答】解：對于，底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐，故錯誤；對于，由棱柱的性質可得棱柱的側面都是平行四邊形，故正確；對于，直平行六面體是平行六面體的側棱與底面垂直，底面可以是平行四邊形，它不是長方體，故錯誤；對于，直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉軸旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，故錯誤．故選：．12．（5分）下列等式成立的是A． B． C． D．【解答】解：，故正確；，故錯誤；，故正確；，故正確．故選：．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）圓錐的高為1，它的側面展開圖中母線的夾角為，則底面半徑為．【解答】解：設底面半徑為，母線長為，則，它的側面展開圖中母線的夾角為，，，，，故答案為：．14．（5分）經過，兩點的直線的斜率．【解答】解：經過，兩點的直線的斜率，故答案為：．15．（5分）設是定義在上的奇函數，且滿足；又當時，，則方程的解集為，．【解答】解：是奇函數且，則當時，，是奇函數當時，，令解得：而函數是以4為周期的周期函數方程的解集為，故答案為：，16．（5分）春節臨近，某火車站三個安檢入口每天通過的旅客人數（單位：人）均服從正態分布，若，假設三個安檢入口均能正常工作，則這三個安檢入口每天至少有兩個超過1100人的概率為0.102．【解答】解：由題意：．令，則三個入口每天至少有兩個超過1100人的概率為：．故答案為：0.102．四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）在①點，在直線上，②，，③，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解．問題：已知數列的前項和為，____．（1）求的通項公式；（2）求，并判斷，，是否成等差數列，并說明理由．【解答】解：選條件①：（1）由題設可得：，即，當時，有，兩式相減得：，即，，又當時，，即，數列是首項為1，公比為2的等比數列，；（2）由（1）可得：，，，，成等差數列．選條件②：（1），，，，兩式相減得：，，又當時，有，可解得：，，數列是首項、公比均為2的等比數列，；（2）由（1）可得：，，，，成等差數列．選條件③：（1），，，，即，又，數列是首項為1，公比為的等比數列，；（2）由（1）可得：，，，，不成等差數列．18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）若，，成等差數列，所以，由于．所以，由于，所以．（2）假設為直角，則，，由于，根據正弦定理，即，上式兩邊平方得：，所以，由于，所以，，與矛盾，故不存在滿足為直角．19．（12分）為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如表：天數日光燈數1111820251672（1）試估計這種日光燈的平均使用壽命；（2）若定期更換，可選擇多長時間統一更換合適？【解答】解：（1）各組的組中值分別為：165，195，225，255，285，315，345，375，由此可算得這種日光燈的平均使用壽命約為：（天．（2）將各組的組中值對比平均數求方差：，故標準差為，估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標準差約為46天，故在222天到314天之間統一更換較合適．20．（12分）隨著炎炎夏日的高溫攀升和國內疫情的穩定好轉，大家逐漸開始不滿于口罩的“束縛”，街頭巷尾，不戴口罩的人越來越多．不戴口罩固然能讓人“呼吸順暢”倍感輕松，但是戴口罩，對于新冠肺炎、流感、肺結核等呼吸道傳染病具有很好的預防作用，既保護了自己，又有益于公眾健康．尤其在新冠肺炎疫情防控工作中，口罩發揮了重要的作用．下面是2020年8月1日口罩市場的價格表（單位：元）型號價格廠家一次性普通口罩一次性醫用口罩民用口罩醫用口罩0.310.861.989.380.550.721.849.050.390.762.718.31（1）根據、、三個廠家的數據，分別求一次性普通口罩、一次性醫用口罩、民用口罩、醫用口罩的平均價格（結果保留三位小數）；（2）若某藥店要進一批口罩銷售，這四種型號的口罩各進貨1000只，一次性普通口罩以1元錢銷售，一次性醫用口罩以2元錢銷售，民用口罩以3元錢銷售，醫用口罩以10元錢銷售，若這批口罩將全部出售，請