學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精遼寧省錦州市2020屆高三4月質(zhì)量檢測(cè)（一模考試）數(shù)學(xué)（理）試題含解析2020年高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理科）本試卷共23題，共6頁(yè).全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前,考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0。5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、字跡清楚。3。請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4。作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，則（)A。 B. C。 D.【答案】C【解析】試題分析：，選C考點(diǎn)：集合的運(yùn)算2.若復(fù)數(shù)z滿足z（i—1)=2i（i為虛數(shù)單位)，則為（）A. B. C. D。【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【詳解】z（i-1）=2i（i為虛數(shù)單位)，∴-z(1-i）(1+i）=2i(1+i)，∴—2z=2（i-1）,解得z=1—i．則=1+i．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．3。已知向量,若，則()A。1 B。 C.2 D。3【答案】B【解析】【分析】可求出，根據(jù)即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x．【詳解】；∵；∴；解得．故選B。【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的減法和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4.數(shù)據(jù)5,7，7，8，10，11的中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（）A。中位數(shù)為7，標(biāo)準(zhǔn)差為2 B.中位數(shù)為7，標(biāo)準(zhǔn)差為4C.中位數(shù)為7。5,標(biāo)準(zhǔn)差為4 D.中位數(shù)為7。5,標(biāo)準(zhǔn)差為2【答案】D【解析】【分析】將數(shù)據(jù)按順序排列，偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)是中間兩個(gè)數(shù)之和除以2，然后求得平均數(shù)，再代入標(biāo)準(zhǔn)差公式求解。【詳解】數(shù)據(jù)按順序排列5，7,7，8,10，11，所以中位數(shù)是，平均數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差是。故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體中中位數(shù)，平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分不必要條件是（)A。 B。C。∥ D.∥【答案】C【解析】【分析】A.用垂直同一直線的兩平面平行判斷.B.面面關(guān)系的定義判斷。C。面面垂直的判定定理判斷.D.用垂直同一直線的兩平面平行判斷.【詳解】A。,則，故錯(cuò)誤.B.，可以平行，故錯(cuò)誤。C.∥，得,故正確.D.∥，則，故錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件以及線面，面面關(guān)系，還考查了空間想象理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題。6.已知，，，則（)A. B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的性質(zhì)與0，1比較即可【詳解】，，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的單調(diào)性,插入中間值與0,1比較是常用方法，是基礎(chǔ)題7.已知等比數(shù)列中,若,則的值為(）。A.128 B.64 C.16 D.8【答案】B【解析】【分析】首先將化簡(jiǎn)為，再計(jì)算即可.【詳解】。故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題.8。在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（)A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，然后表示出向量的坐標(biāo)，代入已知條件，整理后得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，，,因?yàn)樗哉淼霉蔬xA項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于簡(jiǎn)單題.9.函數(shù)圖象的大致形狀是（）。A。 B. C. D。【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，故排除B，D.再根據(jù)，排除A，即可得到答案.【詳解】的定義域?yàn)椋耘己瘮?shù)，故排除B,D。，故排除A.故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)函數(shù)解析式找函數(shù)圖象,利用函數(shù)奇偶性和特值為解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：（）①的最小正周期為②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱③在區(qū)間上單調(diào)遞增④的值域?yàn)槠渲兴姓_的編號(hào)是（）A.②④ B.①③④ C。③④ D。②③【答案】C【解析】【分析】舉反例判斷①②；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷③;討論,時(shí),對(duì)應(yīng)的最值,即可得出的值域.【詳解】函數(shù)，,，故函數(shù)的最小正周期不是，故①錯(cuò)誤．由于，，∴,故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故排除②．在區(qū)間上，，,單調(diào)遞增，故③正確．當(dāng)時(shí)，故它的最大值為，最小值為當(dāng)時(shí),，綜合可得，函數(shù)的最大值為,最小值為,故④正確．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正弦型函數(shù)的單調(diào)性以及值域,屬于中檔題.11。圓上有且僅有兩點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B. C。 D.【答案】A【解析】【分析】圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓上有且僅有兩點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則圓心到直線的距離求解。【詳解】圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線距離，因?yàn)閳A上有且僅有兩點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，所以，所以，即,解得。所以該雙曲線離心率的取值范圍是。故選:A。【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12。已知是定義在上的增函數(shù)，且恒有，若，,則的最小值為（)A。 B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)是定義在上的增函數(shù)，解得,得到,再由,，轉(zhuǎn)化為,，令求其最大值即可。【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù),故存在唯一的使得，，故,所以，因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)且,故，所以，因?yàn)椋?所以，,令，，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以,所以的最小值為。故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用單調(diào)性求解析式以及導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。第Ⅱ卷二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，滿分20分,將答案填在答題紙上.13.某校期末考試后，隨機(jī)抽取200名高三學(xué)生某科的成績(jī)，成績(jī)?nèi)吭?0分至100分之間，將成績(jī)按如下方式分成5組:。據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)該校高三學(xué)生該門學(xué)科成績(jī)的及格率約為____________（60分以上為及格），這200名學(xué)生中成績(jī)?cè)谥械膶W(xué)生有_____名。【答案】(1）.(2)。【解析】【分析】先由頻率直方圖得到60分以下的頻率,再用對(duì)立事件的概率得到60分以上的頻率.先通過頻率直方圖計(jì)算中的頻率，再乘以樣本容量得到人數(shù)。【詳解】由頻率直方圖知,60分以下的頻率為,所以60分以上的頻率為。因?yàn)橹械念l率，所以中的學(xué)生有。故答案為：（1）.（2）.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體中的頻率直方圖的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.14。若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用方程組法解得.再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】因?yàn)椋裕瑑墒铰?lián)立解得。所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查方程組法求函數(shù)解析式以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15。《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一。書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得份量成等差數(shù)列,且較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小一份的量為___.【答案】【解析】【詳解】設(shè)此等差數(shù)列為｛an｝，公差為d,則(a3+a4+a5）×=a1+a2，即,解得a1=，d=．最小一份為a1，故答案為．16。如圖，在長(zhǎng)方體中，，為中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為_______.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系：取的中點(diǎn),，，根據(jù)是直角三角形,其外接圓的圓心為,則球心在過平面的垂線上，再利用半徑相等求解。【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：取的中點(diǎn)，，，因?yàn)槭侵苯侨切危云渫饨訄A的圓心為，所以球心在過平面的垂線上，設(shè)球心為,則,即,解得，則，所以三棱錐外接球的表面積為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查球的外接問題，球的截面性質(zhì)以及向量法球距離，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17。已知在中,角所對(duì)的邊分別為,且.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范圍。【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，根據(jù)余弦定理可求的值，結(jié)合范圍，可求的值.

(2）由余弦定理，基本不等式可求，又根據(jù)兩邊之和大于第三邊可得，即可求解的取值范圍.【詳解】（1）由則,,所以，而，故。（2)由且，所以，又,所以的取值范圍是。【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理,基本不等式等在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題。18。某學(xué)校開設(shè)了射擊選修課，規(guī)定向、兩個(gè)靶進(jìn)行射擊：先向靶射擊一次，命中得1分,沒有命中得0分，向靶連續(xù)射擊兩次，每命中一次得2分，沒命中得0分；小明同學(xué)經(jīng)訓(xùn)練可知：向靶射擊，命中的概率為，向靶射擊，命中的概率為，假設(shè)小明同學(xué)每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.現(xiàn)對(duì)小明同學(xué)進(jìn)行以上三次射擊的考核.(1）求小明同學(xué)恰好命中一次的概率;（2）求小明同學(xué)獲得總分的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1）；（2）分布列見解析，【解析】【分析】(1)根據(jù)事件的獨(dú)立性以及互斥事件的性質(zhì)，求解即可;(2)得出的可能取值,并得出相應(yīng)的概率，得出分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望。【詳解】（1）記：“小明恰好命中一次"為事件C,“小明射擊靶命中”為事件,“該射手第一次射擊靶命中”為事件，“該射手第二次射擊靶命中”為事件，由題意可知，由于；(2）可取,，,012345.【點(diǎn)睛】本題主要考查了事件獨(dú)立性的應(yīng)用以及求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題。19.已知直三棱柱中，，,是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn),且。（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角余弦值的大小。【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】(Ⅰ）在中，由面積相等得到，直角三角形中,得到，由得，易得，從而得到平面。以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出面法向量為，面法向量為，從而得到二面角的余弦值.【詳解】連接，在中，故.由于三棱柱是直三棱柱，故平面，直角三角形中，因?yàn)椋运裕忠驗(yàn)橹苯?即.再由為中點(diǎn)并且為等腰三角形可知，結(jié)合，得平面，。綜合，，,得到平面。由于，如圖以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，故，,，，,,設(shè)面法向量為,面法向量為，，取,得，,取,得,則二面角的余弦值。【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，通過法向量求二面角的余弦值,屬于中檔題。20。已知橢圓的焦距為2，過點(diǎn)。(1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，定點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，試探究在軸上是否存在一定點(diǎn),使直線恒過該定點(diǎn),若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說明理由。【答案】(1）(2）存在；定點(diǎn)為【解析】【分析】（1)首先根據(jù)題意列出方程組，再解方程組即可.（2）首先設(shè)，，的方程為：。聯(lián)立,利用韋達(dá)定理，結(jié)合求出直線，再令即可得到直線恒過的定點(diǎn)。【詳解】（1)由題知,解得，，所以橢圓的方程為。（2）設(shè),，因?yàn)橹本€的斜率不為零，令的方程為:由得則，，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，所以，則.則，故的方程為：。令，則而，，所以,所以.故直線恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為【點(diǎn)睛】本題第一問考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（Ⅰ）討論在上的單調(diào)性；(Ⅱ）設(shè)，若的最大值為0,求的值；【答案】(Ⅰ）見解析（Ⅱ)1【解析】【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，由，分和兩種情況討論求解.（Ⅱ），易得是上的減函數(shù)，存在唯一正實(shí)數(shù)滿足，，則，再根據(jù)的最大值為0建立方程求解.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減且①若,即，則當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞減；②若，即,則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞減.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。(Ⅱ)根據(jù)題意所以，因?yàn)椋栽谏鲜菧p函數(shù),因?yàn)椋?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí)，，所以,即.因?yàn)椋?dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，,所以，即。所以，又因?yàn)?，所以存在唯一正實(shí)數(shù)滿足，即（＊)當(dāng)時(shí)，,是上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是上的減函數(shù)；所以，將（＊)式代入整理得，由題設(shè)而,所以，即，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值,還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22。在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)),直線的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；(Ⅱ）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（Ⅰ）(Ⅱ)3【解析】【分析】(Ⅰ）先把曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）把直線方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）曲線的普通方程為，則的極坐標(biāo)方程為（Ⅱ）設(shè),，將代入，得所以，所以。【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,一元二次方程根的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．選修4-5:不等式選講23。已知函數(shù)