本文格式為Word版，下載可任意編輯——磁場(chǎng)典型例題1、（2023年全國(guó)I卷第26題）如圖1所示，在0≤x≤3a區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在t?0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小一致，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在

t?t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P(3a,a)點(diǎn)離開磁場(chǎng)。求：

(1)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷q/m；

(2)此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間。

2、（全國(guó)新課標(biāo)卷第25題）(半徑一致)如圖6所示，在0≤x≤a、0≤y≤

a范圍內(nèi)有垂2直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小一致，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于

a到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全2部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最終離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的(1)速度大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角正弦。

q

3、如圖6甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，現(xiàn)將一重力不計(jì)、比荷＝106

m

π－

C/kg的正電荷置于電場(chǎng)中的O點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)過×105s后，電荷以v0＝1.5×104m/s

15的速度通過MN進(jìn)入其上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與紙面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B按圖乙所示規(guī)律周期性變化(圖乙中磁場(chǎng)以垂直紙面向外為正，以電荷第一次通過MN時(shí)為t＝0時(shí)刻)．求：

(1)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；

4π－

(2)圖乙中t＝×105s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離；

5

(3)假使在O點(diǎn)右方d＝68cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板，求電荷從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到擋板所需的時(shí)間．(sin37°＝0.60，cos37°＝0.80)

4、如圖11所示，在坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)充滿著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)a和b，OP為分界限，在區(qū)域a中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直紙面向里；在區(qū)域b中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4l,3l)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從P點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域b，經(jīng)過一段時(shí)間后，粒子恰能經(jīng)過原點(diǎn)O，不計(jì)粒子重力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．求：(1)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間最少是多少？

(2)粒子運(yùn)動(dòng)的速度可能是多少？

5、如圖13所示，在光滑絕緣的水平桌面上建立一xOy坐標(biāo)系，平面處在周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化規(guī)律如圖14所示(規(guī)定沿＋y方向?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度的正方向，豎直向下為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向)．在t＝0時(shí)刻，一質(zhì)量為10g、電荷量為0.1C且不計(jì)重力的帶電金屬小球自坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以v0＝2m/s的速度沿x軸正方向射出．已知E0＝0.2N/C、B0＝0.2πT．求：

(1)t＝1s末時(shí)，小球速度的大小和方向；

(2)1s～2s內(nèi)，金屬小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期；

(3)(2n－1)s～2ns(n＝1,2,3，…)內(nèi)金屬小球運(yùn)動(dòng)至離x軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的位置坐標(biāo)．

圖14

6、[2023·XX卷]某裝置用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，工作原理如下圖．裝置的長(zhǎng)為L(zhǎng)，上下兩個(gè)一致的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向與紙面垂直且相反，兩磁場(chǎng)的間距為d.裝置右端有一收集板，M、N、P為板上的三點(diǎn)，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下方磁場(chǎng)的上、下邊界上．在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子以某一速度從裝置左端的中點(diǎn)射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過上方的磁場(chǎng)區(qū)域一次，恰好到達(dá)P點(diǎn)．改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達(dá)收集板上的位置．不計(jì)粒子的重力．

(1)求磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h；

(2)欲使粒子到達(dá)收集板的位置從P點(diǎn)移到N點(diǎn)，求粒子入射速度的最小變化量Δv；(3)欲使粒子到達(dá)M點(diǎn)，求粒子入射速度大小的可能值．

答案

1、(1)具體思路是做出從P點(diǎn)離開磁場(chǎng)的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示，由幾何關(guān)系求出半徑R?23a，對(duì)應(yīng)的圓心角為??120?，周期T?3t0，在由周期3T?2?mq2?得，也簡(jiǎn)單得弦OP與y軸正方向夾角為60°。?Bqm3Bt0

(2)下面重點(diǎn)分析此問，由于帶電粒子的初速度大小一致，可見半徑R一致，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，其動(dòng)態(tài)圓如圖3所示的。結(jié)合帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周速度的特點(diǎn)，可知同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離一致。在t0時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的圓弧MN上，如圖4所示。設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子初速度分別為vP、vM、vN。由幾何關(guān)系可知，vP與OP、vM與OM、vN與ON的夾角均為60°，故所求答案為60°～120°。

(3)由上面的分析也易得在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，如圖5所示，由幾何關(guān)系可知OP=OM=MF，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為240°，故所求答案為2t0。

2、與上題分析類似，做出從不同方向射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，動(dòng)態(tài)圓如圖7所示的。設(shè)初速度與y軸正向的夾角為θ，當(dāng)θ較小時(shí)，粒子從磁場(chǎng)上邊界離開，θ越大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)；當(dāng)θ較大時(shí)，粒子從磁場(chǎng)右邊界或x軸正向離開，θ越大，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短。可見最終離開磁場(chǎng)的粒子即在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡圓應(yīng)與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖8所示。具體的求解是設(shè)粒子的發(fā)射速度大小為v，則做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R?mv，Bq由該粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為T/4得：∠OCA=90°

由幾何關(guān)系可得：Rsin??R?a2Rsin??a?Rcos?

又sin聯(lián)立解得：R?(2?2??cos2??1

66?66aqB、sin??。)a、v?(2?)2102m3、解析(1)電荷在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，有：v0＝at1，

mv0Eq＝ma解得：E＝＝7.2×103N/C

qt1

(2)當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向外時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：

mv0r1＝＝5cm

B1q

2πm2π－

周期T1＝＝×105s

B1q3當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向里時(shí)，電荷運(yùn)動(dòng)的半徑：

mv0r2＝＝3cm

B2q

2πm2π－

周期T2＝＝×105s

B2q5

故電荷從t＝0時(shí)刻開始做周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖．4π－

t＝×105s時(shí)刻電荷與O點(diǎn)的水平距離：Δd＝2(r1－r2)＝4cm

5

4π－

(3)電荷從第一次通過MN開始，其運(yùn)動(dòng)的周期為：T＝×105s，根據(jù)電荷的運(yùn)動(dòng)狀況

5可知，電荷到達(dá)擋板前運(yùn)動(dòng)的完整周期數(shù)為15個(gè)，此時(shí)電荷沿MN運(yùn)動(dòng)的距離：s＝15Δd＝60cm

則最終8cm的距離如下圖，有：r1＋r1cosα＝8cm解得：cosα＝0.6，則α＝53°

153°－

故電荷運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t總＝t1＋15T＋T1－T1＝3.86×104s

2360°4、解析(1)設(shè)粒子的入射速度為v，用Ra、Rb、Ta、Tb分別表示粒子在磁場(chǎng)a區(qū)和b區(qū)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，則：

mvmv2πmπm2πmRa＝，Rb＝，Ta＝＝，Tb＝

2qBqB2qBqBqB粒子先從b區(qū)運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入a區(qū)運(yùn)動(dòng)，然后從O點(diǎn)射出時(shí)，粒

子從P運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用時(shí)間最短．如下圖．3l3

tanα＝＝，得α＝37°

4l4

2?90°－α?2?90°－α?

粒子在b區(qū)和a區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為：tb＝Tb，ta＝T

360°360°a

53πm

故從P到O時(shí)間為t＝ta＋tb＝.

60qB

(2)由題意及圖可知n(2Racosα＋2Rbcosα)＝?3l?2＋?4l?2

25qBl

解得：v＝(n＝1,2,3，…)．

12nm

5、解析(3)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，(2n－1)s末粒子的坐標(biāo)為x＝v0n＝2n(m)11qE022y＝an2＝··n＝n(m)22m

qE0·n

vymqE0222此時(shí)粒子的速度為vn＝v0＋(·n)＝2n＋1m/stanθ＝＝＝n

mv0v0帶電粒子在(2n－1)s～2ns(n＝1,2,3，…)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖乙所示

甲乙

mvnn2＋1

半徑Rn＝＝m

qB0π

(2n－1)s～2ns(n＝1,2,3，…)