本文格式為Word版，下載可任意編輯——電磁場與電磁波部分課后答案

第一章習題解答

??????????A??????A1.2解：⑴.aA=??==（ax+2ay-3az）/141?4?9A

⑵cos?

????AB????????=A·B/AB

?AB=135.5o

?????????????????⑶A·B=?11,A?B=?10ax?ay?4az

??????⑷A·（B?C）=?42

??????（A?B）·C=?42

???????????????⑸A?（B?C）=55ax?44ay?11az

???????????????（A?B）?C=2ax?40ay+5az

???????1.3有一個二維矢量場F(r)=ax（?y）+ay(x)，求其矢量線方程，并定性畫出該矢量場圖

形。

解：由dx/(?y)=dy/x,得x2+y2=c

1.6求數量場?=ln（x2+y2+z2）通過點P（1，2，3）的等值面方程。解：等值面方程為ln（x+y+z2）=c則c=ln(1+4+9)=ln14那么x+y+z2=14

1.9求標量場?（x,y,z）=6xy+e在點P（2，-1，0）的梯度。????????????????????????322z解：由??=ax+ay+az=12xyax+18xyay+eaz得

?x?z?y232222z

???????????=?24ax+72ay+az

221.10在圓柱體x+y=9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包圍的區域，設此區域的表面為S:

??⑴求矢量場A沿閉合曲面S的通量，其中矢量場的表達式為

???????????2A=ax3x+ay（3y+z）+az(3z?x)

錯誤！未找到引用源。驗證散度定理。

??????????????????????解：⑴?A?ds=??+?A?dS+?A?dS+?A?dS+?A?dS

?曲????232A?dS=?(3?cos??3?sin??zsin?)d?d?=156.4

曲xozyoz上下?xoz????A?dS=

曲?xoz(3y?z)dxdz=?6

?yoz????A?dS=??yoz3xdydz=0

2

?上????????27A?dS+?A?dS=?(6??cos?)?d?d?+??cos?d?d?=?

2下上下

???A?ds=193

?⑵???AdV=?(6?6x)dV=6?(?cos??1)d?d?dz=193

VVV???即：?A?ds=???AdV

sV??????????22221.13求矢量A=axx+ayxy沿圓周x+y=a的線積分，再求??A對此圓周所包圍的表

面積分，驗證斯托克斯定理。???42xdx?xydya解：?A?dl=?=?l4L

?????2??A=azy

???4222?ydS?sin?d?d?a??A?ds===?????S4SS????即：?A?dl=???A?ds，得證。

lS1.15求以下標量場的梯度：

⑴u=xyz+x

??u?????????u????u???????u=ax+ay+az=ax(yz+zx)+ayxz+azxy

?x?z?y222⑵u=4xy+yz?4xz

??u?????????u????u??????22?u=ax+ay+az=ax(8xy-4z)+ay(4x+2yz)+az(y?4x)

?x?z?y??u?????????u????u??????⑶?u=ax+ay+az=ax3x+ay5z+az5y

?x?z?y

1.16求以下矢量場在給定點的散度

??A?Ay?Azx⑴??A=++=3x2+3y2+3|(1,0,?1)=6

?x?z?y?⑵??A=2xy+z+6z|(1,1,0)=2

1.17求以下矢量場的旋度。

???⑴??A=0

????????????⑵??A=ax（x?x）+ay（y?y）+az（z?z）=0

1.19已知直角坐標系中的點P(x,y,z)和點Q(x’,y’,z’),求：

???⑴P的位置矢量r和Q點的位置矢量r'；

⑵從Q點到P點的距離矢量R；??⑶??r和??r；

??⑷?(1R)。

??????????解：⑴r=axx+ayy+azz;

???????????'r=axx’+ayy’+azz’

??????????????'⑵R=r?r=ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）

???⑶??r=0,??r=31R?1(x?x')?(y?y')?(z?z')1222⑷

????????????1?()=(ax+ay+az)R?x?zR?y

???=?ax212(x?x')RR2

RR?y?y'?????x?x'???z?z'?ay?az=?ax333RRR???????1??=?3[ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）]

R??R=?3

R????ay212(y?y')R2????az212(z?z')R2

即：?(1R)=???RR3

其次章習題解答

2.5試求半徑為a，帶電量為Q的均勻帶電球體的電場。解：以帶電球體的球心為球心，以r為半徑，作一高斯面，

???????由高斯定理??D?dS=Q，及D??E得，

S

①r?a時，

???由?=D?dS?SQ43?2432?r，得

?a

???QrD?34?a

??E??Qr4??0a3

②r>a時，

???由??D?dS=Q，得

S

???QrD?34?r

??E??Qr4??0r3

2.6兩無限長的同軸圓柱體，半徑分別為a和b（a0的區域外電場強度為0，即：

???sa??sb??b12er=0，得?S1=??s2E=

a?0r2.9一個半徑為a的薄導體球殼，在其內表面覆蓋了一層薄的絕緣膜，球內充滿總電量為Q

?????r4的電荷，球殼上又另充了電量為Q的電荷，已知內部的電場為E?ar()，計算：

a⑴球內電荷分布；

⑵球的外表面的電荷分布；⑶球殼的電位；⑷球心的電位。

3?????r0解：⑴由??E?v，得??4?0a

??????⑵E?erE

?????????s?er?D?er??0E??0

⑶由高斯定理??

S???2D?dS=4?rD=q

2當r?a時，q=2Q，Q=4?a?0

?r?a02Q2?r?0?2a

⑷?a?????Edl??2a

???r??a=2-2a

2.17一個有兩層介質（?1，?2）的平行板電容器，兩種介質的電導率分別為?1和?2，電容器極板的面積為S。當外加壓力為U時，求：⑴電容器的電場強度；

錯誤！未找到引用源。兩種介質分界面上表面的自由電荷密度；⑶電容器的漏電導；

⑷當滿足參數是?1?2??2?1，問G/C=?(C為電容器電容)解：⑴由E1D1?E2D2?U,J1n?J2n，得

E1??2Ud2?1?d1?2，E2??1Ud2?1?d1?2

⑵兩介質分界面的法線由1指向2

由?2E2??1E1??s，得?s=

?2?1Ud2?1?d1?2IS??1?2Ud2?1?d1?2

⑶由J?IS?1??1E1，知

??2Ud2?1?d1?2

G=

IU=

?1?2Sd2?1?d1?2D1SU

⑷C?QU?=

?1?2Sd2?1?d1?2

G/C=

?1?1

第三章

3.1設一點電荷q與無限大接地導體平面的距離為d，如圖3.1所示。求：（1）空間的電位分布和電場強度；（2）導體平面上感應電荷密度；（3）點電荷q所受的力。

(1)?r??1?(x,y,r?z?d)2?(x,y,z?d)??q4??(10r?11r)2?q(114??2?y2?(z?d)2)x2?y2?(z?d)20x??E???????qxx???yy???z?dz?d???4??[(3?3)ax?(3?3)ay?(3?3)az]0r2r1r2r1r2r1(2)在導體平面上有z=0,則r1?r2?x2?y2?d2?E???qd??3a?z2??2220(x?y?d)2???a???s?z.?0E??qd32?(x2?y2?d2)2

(3)由庫侖定律得??F?q(?q)q2??4??a?z0(2d)2??16??20d3.6

兩無限大接地平行板電極，距離為d，電位分別為0和U?0x0，板間充滿電荷密度為d電荷，如題3.6圖所示。求極板間的電位分布和極板上的電荷密度。

解：板間電位滿足泊松方程?2????0x?

0d邊界條件為?(0)=0,?(d)=U0對方程進行兩次積分得

????0x36?2代入邊界條件得C2?0,C0d1?U00d?C1x?Cd???0d

所以,板間電位分布為????0x30?0d6?0d?(Ud?6?)x

0的

??????x2U?dE?????ax(0?0?0)2?0dd6?0????????x2?U?dD??0E?ax(0?00?0)2dd6x=0極板上的電荷密度為??????ax?D

?s0x?0???0U0d??0d6x=d極板上的電荷密度為?sd??????(?ax)?Dx?d??0U0d??0d33.8

一個沿z方向的長且中空的金屬管，其橫截面為矩形，金屬管的三邊保持零電位，而第四邊的電位為U，如題3.8圖所示。求：（1）當U?U0時，管內的電位分布；（2）當U?U0sin?yb時,管內的電位分布。

（1）電位分布滿足拉普拉斯方程???0即2???x22????y22?0?0?0邊界條件為?x?0,0?y?b?x?a,0?y?b?U?00?y?0,0?x?a?y?b,0?x?a分開變量,設??f(x)g(y)代入方程并且兩邊同時除以f(x)g(y)得f(x)f(x)''''?g(y)g(y)??則''

?0g(y)g(y)''設f(x)f(x)=??方程可寫成以下形式f(x)??f(x)?0g(y)??g(y)?0''''(1)(2)解方程(2)并要求滿足邊界條件

?y?0,0?x?a?0?y?b,0?x?a?0得

只有??0時方程滿足要求解得?n?n?b222gn(y)?sin(n?by)

將代入方程(1),并滿足邊界條件?x?0,0?y?b?0n?bx)n?by)

解得fn(x)?Ansinh(則?n?Ansinh(n?bx)sin(?則電位的通解為???n?1Ansinh(n?bx)sin(n?by)

代入邊界條件??x?a,0?y?b?U得n?by)?U?x?a??n?1Ansinh(n?ba)sin(兩邊同時乘以sin(n?m時?sin(0bm?by)并對y從0到b積分,并由m?bm?by)dy?0y)dy?b2得n?bn?by)sin(y)sin(n?m時?sin(0b??0?b?Ansinh(bn?ba)sin(n?bby)dyy)dyn?1????n?1An?sinh(0n?ba)a)sin(n?b2b0Amsinh(Usin(m?b?m?by)dy(3)

(1)U=U0時,由方程(3)得U0bm?(1?cosm?)?4U0m?sinh(b2Amsinh(m?ba)

則Am?1m?ba)(m?1,3,5?)代入電位的通解求得電位為?

n?b???n?1,3,5?4U0n?sinh(sinh(n?bn?bx)sin(a)y)

(2)U?U0sin?yb時?b0Usin(m?by)dy??b0U0sin?ybsin(m?by)dy

=由方程(3)得b2U0?b2A1sinh(U0sinh(b2U0(m=1)?ba)則A1??b

a)代入電位的通解求得電位為sinh(?xb)sin(??U0sinh(?yb?b)a)3.9

一個沿+y方向無限長的導體槽，其底面保持電位為U0，其余兩面的電位為零，如圖3.9所示。求槽內的電位函數。電位分布滿足拉普拉斯方程???0即2???x22????y22?0

邊界條件為?x?0?0?x?a?0y???y?0?U0??C分開變量,設??f(x)g(y)代入方程并且兩邊同時除以f(x)g(y)得f(x)f(x)''''?g(y)g(y)''?0g(y)g(y)''

=?設f(x)f(x)???則方程可寫成以下形式f(x)??f(x)?0g(y)??g(y)?0''''(1)(2)

解方程(1)并要求滿足邊界條件?x?0?0?x?a?0得

????2?x（3）空氣中合成波的電場E?Ei?Er??ay12jsin()(mV/m)

3????az2?x磁場H?Hi?Hr?cos()(mA/m)

10?32?（4）????3m?空氣中離導體表面最近的第一個波腹點的位置為

k?3???m446.8自由空間中一均勻平面電場波垂直入射到半無限大無耗介質平面上，已知自由空間與介質分界面上的反射系數為0.5，且分界面為電場波腹點，介質內透射波的波長是自由空間波長的1/6，求介質的相對磁導率和相對介電常數。解：設自由空間?1??0,?1??0，無耗介質?2,?2

?R??2??1?2??1?1?1?0.5

?1??r?r?120??,?2??2?2?120??r?r???9?

?????1?2?k?11f???1f

f1?1?1?2?21?0?01

?2??f???1?16?r?r?2?1?r?r??r?r?36?由??得：?r?18,?r?2

6.15在無線電裝置中常配有電磁屏蔽罩，屏蔽罩由銅制成，要求銅的厚度至少為5個趨膚深度，為防止200kHz～3GHz的無線電干擾，求銅的厚度；若要屏蔽10kHz～3GHz的電磁干擾，銅的厚度又是多少？

解：銅的電導率為??5.8?10s/m趨膚深度?c?1?17??f??

（1）?f1min?200kHz,??4??10?7H/m

??c1?1?f1