數學物理方法冪級數展開冪級數展開復級數冪級數和泰勒展開雙邊冪級數和羅朗展開孤立奇點本章小結復級數復數項級數形式：i=1ui

通項：ui為復數部分和：sn=nui

和：s=limsn

余項：rn=s-sn=un+1+un+2+…收斂：s存在>0,N(),s.t.n>N()=>|s-sn|<

絕對收斂定義：s

=i=1|ui|收斂性質：絕對收斂=>收斂復級數復函項級數形式：∑i=1ui(z)通項：ui(z)部分和函數：sn(z)

=∑i=1nui(z)

和函數：s(z)=limsn(z)

收斂域：{z|s(z)存在}定義：>0,N(,z),s.t.n>N(,z)|s(z)-sn(z)|<

一致收斂性：定義：>0,N(),,s.t.n>N()|s(z)-sn(z)|<性質：各項連續和連續，和的積分=各項積分之和；各項可導和可導，和的導數=各項導數之和冪級數和泰勒展開冪級數形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)k收斂域：R=limk|ak/ak+1|=limk|ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k|=|z-b|/R|z-b|<R<1，絕對收斂；|z-b|=R=1，不確定；|z-b|>R>1，發散。一致收斂性：s(z)dz=k=0

ak(z-b)kdzs’(z)=k=0[ak(z-b)k]’冪級數和泰勒展開泰勒展開問題：一個冪級數是其收斂圓內的解析函數，反之如何？泰勒定理：一個在圓|z-b|=R內解析的函數f(z)可以展開為冪級數f(z)=∑k=0ak(z-b)k該冪級數在圓|z-b|=R內收斂；以b為中心的展開式是唯一的；系數ak=f(n)(b)/n!應用柯西積分公式，系數也可以表示為冪級數和泰勒展開例2：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=1/(1-z)展開。解答：f(z)=1/(1-z)f’(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=∑k=0zk該冪級數在圓|z|<1內收斂；冪級數和泰勒展開發散方法（用性質）線性組合的展開=展開之線性組合。和函數的積分=各項積分之和；和函數的導數=各項導數之和；例3：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=cosh(z)展開。解答：cosh(z)=[exp(z)+exp(-x)]/2exp(z)=∑k=0zk/k!exp(-z)=∑k=0(-z)k/k!cosh(z)=∑k=0[zk/k!+(-z)k/k!]/2=∑k=0z2k/(2k)!該冪級數在圓|z|<內收斂；冪級數和泰勒展開例4：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=ln(1-z)展開。解答：ln(1-z)=-∫(1-z)-1dz(1-z)-1=∑k=0zkln(1-z)=-∫∑k=0zkdz=-∑k=0zk+1/(k+1)例5：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=(1-z)-2展開。解答：(1-z)-2=[(1-z)-1]’(1-z)-1=∑k=0zk(1-z)-2=[∑k=0zk]’=∑k=0kzk-1雙邊冪級數和羅朗展開羅朗展開問題：一個雙邊冪級數是其收斂環內的解析函數，反之如何？羅朗定理：一個在環R1<|z-b|<R2內解析的函數f(z)可以展開為雙邊冪級數f(z)=k=

ak(z-b)k該冪級數在環R1<|z-b|<R2內收斂；同一環域中的羅朗展開式是唯一的；羅朗系數為雙邊冪級數和羅朗展開羅朗展開舉例例1：題目：在|z|>0的區域上把f(z)=cosh(z)/z展開。解答：cosh(z)=∑k=0z2k/(2k)!cosh(z)/z=∑k=0z2k-1/(2k)!例2：題目：在|z|>0的區域上把f(z)=exp(1/z)展開。解答：exp(t)=∑k=0tk/k!exp(1/z)=∑k=0z-k/k!雙邊冪級數和羅朗展開例3：題目：以b=0為中心把f(z)=1/[z(z-1)]展開。分析因為f(z)有兩個單極點z=0和z=1,所以它以b=0為中心的解析環有兩個0<|z|<1和1<|z|<∞，需要分別展開解答：在環域0<|z|<1中f(z)=1/[z(z-1)]=-1/[z(1-z)]=-1/z∑k=0zk=-∑k=0zk-1在環域1<|z|<∞中f(z)=1/[z(z-1)]=1/[z2(1-z-1)]=1/z2∑k=0z-k

=∑k=0z-k-2孤立奇點分類原則：根據函數趨向于孤立奇點時的極限行為的不同來分類；分類：極限為有限值，稱為可去奇點，例如sinz/z；極限為(n階)無窮大，稱為(n階)極點，例如1/zn；極限不存在，稱為本性奇點，例如exp(1/z)；性質奇點鄰域羅朗展開式可去奇點：無負冪項；(n階)極點：有限個負冪項，(最高為n次)；本性奇點：無限多個負冪項；本章小結雙邊冪級數形式：s(z)=k=-

ak(z-b)k性質：在環域內一致收斂羅朗展開條件：在環R1<|z-b|<