2021-2022學(xué)年湖南省株洲市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，且與互相平行，則（

）．A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)與互相平行，可設(shè)，列方程，可求出.【詳解】與互相平行，可得，且，得，解得，故選：B2．經(jīng)過兩點，的直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由斜率公式計算可得.【詳解】解：經(jīng)過兩點，的直線的斜率.故選：C3．直線與圓相切，則的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求出.【詳解】解：根據(jù)題意，得圓的圓心為，半徑為，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離，即，故.故選：A.4．拋物線的焦點坐標是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先把拋物線化為標準方程，直接寫出焦點坐標．【詳解】拋物線的方程為，所以焦點在軸，由，所以焦點坐標為．故選：D．5．圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，利用點關(guān)于直線對稱點的求法可求得對稱圓的圓心，由兩圓半徑相同可得圓的方程.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)圓心關(guān)于的對稱點為，則，解得：，所求對稱圓的圓心為，半徑為，所求對稱圓的方程為：.故選：B.6．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因為與共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.7．在直三棱柱中，，，分別是的中點，則直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，求得向量的坐標，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，以所在的直線分別為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，可得，則，所以.故選：A.8．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，橢圓的上頂點為，且，曲線和橢圓有相同焦點，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個公共點，若，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)．可得，可得，設(shè)，．可得，根據(jù)余弦定理化簡，利用離心率計算公式即可得出．【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的標準方程為：，半焦距為．∵橢圓的上頂點為，且．∴，∴，∴．∴．不妨設(shè)點在第一象限，設(shè)，．∴，．∴．在中，由余弦定理可得：∴．兩邊同除以，得，解得：．對選項A，，故A錯誤，對選項B，，故B正確，對選項C，D，，故C，D錯誤.故選：B二、多選題9．下列說法錯誤的是（

）A．直線必過定點B．過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為【答案】BCD【分析】A選項由含參直線方程過定點的求法計算即可；B選項沒有考慮直線過原點的情況，故錯誤；C選項，由傾斜角與斜率的關(guān)系即可判斷；D選項計算出端點值后，由線段MN與y軸相交判斷斜率的范圍應(yīng)取端點值兩側(cè)，故錯誤.【詳解】A選項，直線方程變形為，令，解得，即原直線必過定點，A正確；B選項，當(dāng)直線l過原點時，也滿足在兩坐標軸上的截距相等，此時直線l的方程為，B不正確；C選項，當(dāng)時，無意義，故C不正確；D選項，直線經(jīng)過定點，當(dāng)直線經(jīng)過M時，斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過N點時，斜率為，由于線段MN與y軸相交，故實數(shù)k的取值范圍為或，D不正確.故選：BCD.10．若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．B．是數(shù)列中的項C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減D．?dāng)?shù)列前7項和最大【答案】ACD【分析】由為等差數(shù)列，列方程組求得首項與公差，就可得到通項公式，然后對選項逐一判斷即可.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，解得，，故A選項正確，由，得，故B錯誤，因為，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故C正確，由數(shù)列通項公式可知，前7項均為正數(shù)，，所以前7項和最大,故D正確.故選：ACD11．設(shè)雙曲線：的焦點為，，若點在雙曲線上，則（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線方程為C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，求出b，并求出雙曲線實半軸長、半焦距，再逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，，解得，雙曲線：的實半軸長，半焦距，雙曲線的離心率，A不正確；雙曲線的漸近線方程為，B正確；，C正確；，，則，有，D不正確.故選：BC12．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（

）A．B．點E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點到平面的距離為【答案】AC【分析】以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法逐一判斷分析各個選項即可.【詳解】如圖以點為原點，建立空間直角坐標系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題13．兩平行直線之間的距離為________【答案】##【分析】用平行線間的距離公式，代入即可.【詳解】直線，即為，所以兩平行直線與之間的距離為.故答案為：14．點到兩定點，的距離之和為6，則點的軌跡方程是______.【答案】【分析】由橢圓的定義求解即可【詳解】因為，由橢圓的定義可知，動點點的軌跡是以，為焦點，長軸長為6的橢圓，所以，，所以點的軌跡方程是，故答案為：15．已知平面的一個法向量為，點是平面上的一點，則點到平面的距離為___________.【答案】【分析】利用空間向量法可得出點到平面的距離為，即為所求.【詳解】由已知可得，所以，點到平面的距離為.故答案為：.16．已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是______．【答案】【分析】方法一：采用三角換元法，然后利用兩角差的正弦公式集合求解；方法二：利用的幾何意義：可以看作圓心到直線距離的倍，然后利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解法一：因為，所以令，，則，，故，其中，，因為，所以，所以，故的取值范圍為．解法二：因為圓心到直線的距離，所以圓心上的點到直線的距離的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍是．故答案為：．四、解答題17．（1）已知在遞增的等差數(shù)列中，.求的通項公式；（2）已知數(shù)列中，.證明：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件解方程組可得，再列出關(guān)于的方程組，求出，從而可求出通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)的定義結(jié)合已知進行證明.【詳解】（1）解：由且數(shù)列遞增，得.設(shè)數(shù)列的公差為，所以，解得，所以；（2）證明：因為，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且a＝b.(1)求sinB；(2)若△ABC的面積為，求△ABC的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，化簡得，結(jié)合題意可得，由余弦定理即可求得的值，再應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，求得結(jié)果；（2）利用三角形的面積公式，可得，進而得到三角形的周長．【詳解】（1）∵，則，由正弦定理可得，又∵，則，即，∴，又∵，故.（2）∵△ABC的面積為，則，∴，故△ABC的周長為.19．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值并證明是增函數(shù)；（2）若實數(shù)滿足不等式，求t的取值范圍.【答案】（1），證明見解析；（2）.【解析】（1）依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而求出函數(shù)解析式，再利用作差法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，再解分式不等式即可；【詳解】（1）因為是定義域為R奇函數(shù)，由定義，所以所以，∴.所以證明：任取，．，．，即．在定義域上為增函數(shù)．（2）由（1）得是定義域為R奇函數(shù)和增函數(shù)所以.【點睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性．20．已知圓，其圓心在直線上．(1)求的值；(2)若過點的直線與相切，求的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）將圓的一般方程化為標準方程，求出圓心，代入直線方程即可求解；（2）對直線的斜率是否存在討論.若存在，設(shè)直線的方程為：，利用圓心到直線的距離即可求解.【詳解】（1）圓的標準方程為：，所以，圓心為.由圓心在直線上，得.所以，圓的方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，即方程為，此時直線與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為：，即，由于直線和圓相切，得，解得：，代入整理可得.所以，直線方程為：或.21．如圖,四邊形為正方形,平面,,且.(1)證明：平面平面(2)求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)面面平行的判定定理,先由,證明平面,再由證明平面,一個面中兩條相交直線平行于另一個面，進而證明面面平行即可;(2)根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標系,寫出點的坐標,分別求出平面和平面的法向量,求出兩個法向量夾角的余弦值的絕對值,即面與面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明:由題知四邊形為正方形,,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面平面得證;（2）由題知,平面,且四邊形為正方形,,則以原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸建立空間直角坐標系如圖所示:,,,平面,平面,平面,平面法向量為,記平面法向量為,,即,不妨取,可得,則,故平面與平面所成角的余弦值為.22．已知橢圓C的左、右焦點分別為，，離心率為，點P在橢圓C上，，.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知M是直線上的一點，是否存在這樣的直線l，使得過點M的直線與橢圓C相切于點N，且以MN為直徑的圓過點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由，【答案】(1)(2)存在，直線【分析】（1）根據(jù)可得，進而，解方程組即可；（2）設(shè)