--||||||J第七講矩陣級數與矩陣函數1.定義:設有矩陣序列{A(k)},其中A(k)=(a(k)),且當k)的時a(k))a,ij為limA(k)=A或A(k))Ak)忙k)忙不收斂的級數則稱為發散的,其中又分為有界和無界的情況.2.收斂矩陣序列的性質:設A(k),B(k)分別收斂于A,B則(1)aA(k)+bB(k))aA+bBk)忙(2)A(k)B(k))ABk)忙(3)(A(k))-1)A-1，若(A(k))-1,A-1存在k)忙(4)PA(k)Q)PAQk)忙3收斂矩陣:設A為方陣,且當k)忙時Ak)0,則稱A為收斂矩陣.證明:對任何方陣A,均存在可逆矩陣P,使得「J||||LJ2],|,|||Js」JJii1入i00]i1--||||||P「Jk1||||JkJ2]|-1-1|||||||||||iJk=Jik!]k!]|,當k>m|Ak)0就等價于Jk)0(i=1,2,...,s),等價于入k)0(i=1,2,...,s),而這只有iiiAkAAAk叫做矩陣級數,而k=1,且有極限S.記為x k=1x不收斂的級數必為發散的.xAkx記a(k)均絕對收斂,則稱該級數為絕對收斂.ijk2.絕對收斂矩陣的性質(1)絕對收斂級數一定收斂,且任意調換它的項所得的級數仍收斂,并具有----相同的和.kkk=112k=1kkk=0級數.[定理]Neumann級數收斂的充要條件是A為收斂矩陣,且在收斂時其和為(IA)1.證明:[必要性]k=0ijijijij顯然也是收斂的.作為數項級數,其通項趨于零是級數收斂的必要條件.故(Ak)ij也就是說A為收斂矩陣.kAA入,(IA)----當k)父時,Ak+1)0,故Ak+1(I一A)一1)0.所以k)父2.收斂圓kk=0kk=0斂圓外的特征值,則Q(A)是發散的.證明略.]若冪級數在整個復平面上收斂,則對任何的方陣A,Q(A)均收斂.2!n!n----n=0(2n)!n=0均為整個復平面上收斂的級數,故對任何的方陣An!n=0sin(A)=x記(-1)nA2n+1(2n+1)!n=0(2n)!n=0數、矩陣余弦函數。21sinA=(ejA-e-jA)2jcos(A土B)=cosAcosBsinAsinB)但是一般來說eAeB,eBeA,eA+B三者互不相等.例如「11]「1-1]A=||--1--1「1-1]||||n=1n!2L01」證明:2!2!2!3!2!3!--||||32||0*]0||1||||||||||||n2n=n階矩陣A是其特征多項式的零點,即令1n-1n1n-1n12n12n*]*]2|||n0n12n||1n||||||-入*]*1n=]n2||1|||||||||||||||||n2n||||||n2n*|=*||=||2-4||2-4----0]00]0=|||||化多項式多項式f(z),若f(A)=0,則稱其為A的零化多項式。3.矩陣指數函數、正弦函數、余弦函數的計算n=1n=1n=1cosAIxnAnI+x記(-1)n"2(n-1)A2(2n)!(2n)!n=1n=1=I+1(cos"-1)A2=I-2"-2----eA=1An=I+A+1A2n+1A2n+1n!(2n)!(2n+1)!n=0n=1