經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分第九章課件第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日9.1微分方程的一般概念第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日解1、問題的提出第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日解第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日代數(shù)方程特點(diǎn)：未知變量是數(shù)方程：含有未知量(數(shù))的等式。第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日函數(shù)方程（泛函方程）特點(diǎn)：未知變量是函數(shù)第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日1.微分方程的定義定義：包含自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，稱之為微分方程。

第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日常微分方程：自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。偏微分方程：自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程。第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日★未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。當(dāng)n=1時(shí)，稱為一階微分方程；當(dāng)n>1時(shí)，稱為高階微分方程。2.微分方程的階第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日3.微分方程的解常微分方程的解的表達(dá)式中，若其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱這樣的解為該微分方程的通解。在通解中給予任意常數(shù)以確定的值而得到的解，稱為特解。第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日為了得到合乎要求的特解，需要對微分方程附加一定的條件，它由系統(tǒng)在某一時(shí)刻的初始狀態(tài)給定。稱這種條件為初始條件。初始條件第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日常微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；小結(jié)偏微分方程；第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日9.2一階微分方程一階微分方程的一般形式是一階微分方程的初始條件：記作或當(dāng)時(shí)，第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日解法為微分方程的解.分離變量法一、可分離變量的一階微分方程形如的方程，稱為變量分離方程.第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日說明：以后可以不需要詳細(xì)寫出處理絕對值符號的過程。第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日例2求解微分方程解分離變量兩端積分第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日例3

練習(xí)：課本P410,2(1,2,3)第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日二、齊次微分方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法可分離變量的方程1.定義第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日例2求解微分方程微分方程的解為解第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日例3求解微分方程解第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日微分方程的解為練習(xí)：課本p410,3(3,4)第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性微分方程第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日2.線性非齊次方程第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日解例3練習(xí)：課本P4103(1，2)第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日小結(jié)：一階微分方程的求解一、變量分離方程；二、齊次方程（作變換y=ux）；三、線性方程（常數(shù)變異法）第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日9.3幾種二階微分方程二階微分方程的一般形式為第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日形如的微分方程是最簡單的二階微分方程。一、最簡單的二階微分方程特點(diǎn)：右端是的一元函數(shù)。解法：連續(xù)求兩次積分。例解微分方程第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：右端不顯含解法第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日滿足初始條件的特解。方程并分離變量后，有兩端積分，得例1求微分方程第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日即所以兩端積分，得于是所求的特解為第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日特點(diǎn)：右端不顯含解法第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日解代入原方程得原方程通解為例2第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日二階常系數(shù)齊次線性方程的一般形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的一般形式9.4二階常系數(shù)線性微分方程（補(bǔ)充內(nèi)容）第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu):問題:其中、為常數(shù)第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日證明：由前面定理知是（1）的解在不等于常數(shù)的條件下，可以證明中含有兩個(gè)任意常數(shù)，所以是（1）的解。若，則，于是其中，因而中只有一個(gè)常數(shù)，所以不是（1）的通解。滿足不等于常數(shù)這一條件的兩個(gè)解稱為線性無關(guān)的。第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日因此，是（1）的解的充分必要條件是：常數(shù)為分析:若能夠找到一個(gè)函數(shù),使得,且,則什么樣的函數(shù)具有這樣的特點(diǎn)呢?我們很自然想到指數(shù)函數(shù)為常數(shù),將它代入上式得則有,稱為（1）的特征方程。特征方程的根。第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日解特征方程為解得故所求通解為例2第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日第五十頁，共五十九頁，2022年，8月28日2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):第五十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日設(shè)對應(yīng)齊次方程通解為(3)設(shè)非齊次方程通解為設(shè)(4)三、常數(shù)（或參數(shù)）變易法第五十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日(5)(4),(5)聯(lián)立方程組第五十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日積分可得非齊次方程通解為第五十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例求非齊次方程的通解。第五十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日9.5差分方程的一般概念定義9.3設(shè)函數(shù)，記為。當(dāng)取非負(fù)整數(shù)時(shí)函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列：則差稱為函數(shù)的差分，也稱為一階差分，記為即。記為，即稱為函數(shù)的二階差分。第五十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日同樣可定義三階差分，四階差分，二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分。由定義可知差分具有以下性質(zhì)：（1）（C為常數(shù)）（2）例1求第五十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日（二）差分方程的一般概念定義９.４含有未知函數(shù)差分或表示未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的符號的方程