北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第七章《概率》單元教學(xué)設(shè)計章節(jié)名稱7.4事件的獨立性學(xué)科數(shù)學(xué)授課年級高一授課時數(shù)1課時設(shè)計者徐蘇紅所屬地市蚌埠市教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)是北師大版必修一第七章第四節(jié)內(nèi)容，整個課題按照課程標(biāo)準(zhǔn)分1個課時.獨立性是事件之間的一種特殊關(guān)系，直觀理解為兩個事件發(fā)生與否互不影響，本質(zhì)上是兩個事件積的概率等于兩個事件概率的乘積.獨立性的相關(guān)內(nèi)容從必修內(nèi)容到選擇性必修內(nèi)容均有涉及，因此，對于獨立性的認識，既要從直觀上感悟，又要從本質(zhì)上理解.《課標(biāo)（2017年版）》要求在必修課程中介紹隨機事件的獨立性，在選擇性必修課程中介紹條件概率，因此無法借助條件概率來定義兩個隨機事件的獨立性.教材通過設(shè)計兩個試驗探究一個隨機事件的發(fā)生與否對另一個隨機事件發(fā)生的概率是否有影響，同時探究P(AB)=P(A)P(B)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上抽象出獨立性的描述性定義，同時發(fā)現(xiàn)概率之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教學(xué)目標(biāo)設(shè)置課程目標(biāo)：1.在具體情境中，了解兩個隨機事件獨立性的含義.2.結(jié)合古典概型，會利用事件的相互獨立性計算事件的概率.3.利用事件的獨立性對生活中的隨機現(xiàn)象進行辨析過程中，進一步培養(yǎng)學(xué)生的隨機觀念，掌握利用概率的知識分析解決實際問題的方法.素養(yǎng)目標(biāo)：1．通過對事件獨立性概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過計算相互獨立事件的概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．學(xué)生情況分析學(xué)生經(jīng)歷了從樣本空間的引入，事件的關(guān)系和運算，到古典概型，概率的基本性質(zhì)等，經(jīng)歷了用集合的語言表示事件的過程，特別是對于事件的關(guān)系和運算，學(xué)生已近學(xué)習(xí)了和、交、并事件的概率的求法.對于兩個獨立事件同時發(fā)生的概率公式通過歸納得到，學(xué)生基本具備這樣的歸納能力，在運算推導(dǎo)公式時，雖然不是嚴(yán)格的證明，但學(xué)生能體會到結(jié)論的合理性，同時也有利于提升學(xué)生的邏輯推理的素養(yǎng).教學(xué)重點和難點項目內(nèi)容解決措施教學(xué)重點利用事件的獨立性解決實際問題掌握復(fù)雜事件概率的轉(zhuǎn)化方法和求解步驟；（1）轉(zhuǎn)化方法：將所求事件分解成一些彼此互斥的事件的和；將所求是事件分解成一些彼此相互獨立事件的積；嘗試先求對立事件的概率（2）求解步驟：列出題中涉及的各個事件，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎舅鼈儯焕迩甯魇录g的關(guān)系，列出關(guān)系式；準(zhǔn)確運用概率公式進行計算.教學(xué)難點理解事件獨立性結(jié)合古典概型的計算感受兩個相互獨立事件，其中一個發(fā)生與否對另一個發(fā)生概率是否有影響；引導(dǎo)學(xué)生從直觀上理解“獨立性”的含義，獨立就互不影響；注意獨立事件和互斥事件的區(qū)別，相互對立和互斥是兩個完全不同的概念.關(guān)于教學(xué)策略選擇的闡述和教學(xué)方式設(shè)計課型■新授課□實驗(實踐)課□練習(xí)課□復(fù)習(xí)課□講評課學(xué)習(xí)內(nèi)容呈現(xiàn)方式□基于主題的□基于案例的■基于問題的□基于項目的學(xué)習(xí)模式教學(xué)模式□傳遞接受模式■探究發(fā)現(xiàn)模式□問題解決模式□自主體驗?zāi)Ｊ浇虒W(xué)過程設(shè)計意圖活動一、復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課前面我們研究過互斥事件及互斥事件的概率加法公式.你能從研究的內(nèi)容、方法等說說我們是如何學(xué)習(xí)的嗎？復(fù)習(xí)互斥事件的概率加法公式，為引入事件的獨立性作鋪墊.活動二、探究概念，初識獨立【探究1】試驗E5：連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù).事件A:事件B:事件C:“第一次擲出2教學(xué)過程設(shè)計意圖問題1：PA思考1：類比和事件概率有加法，那么積事件概率有沒有乘法？思考2：事件AB的含義是什么？你能求出P(A)，P追問：從計算結(jié)果看P(A)，P(師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析，從而發(fā)現(xiàn)P(AB)=P(A)P(B).【探究2】試驗E2：“袋中有白球3個（編號為1，2，3），黑球兩個（編號為a，b），這五個球除顏色外完全相同.從中有放回的摸球，連續(xù)摸兩次，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，設(shè)事件A表示“第一次摸出白球”，事件B表示“第二次摸出白球”思考3.事件AB的含義是什么？你能求出P(A)，P(B)與P(AB)嗎？師生活動：學(xué)生思考、分析，并動手完成概率的解答.同樣發(fā)現(xiàn)P(AB)=P(A)P(B).追問：在以上試驗中，你還能舉出一些符合上式的兩個事件嗎？預(yù)設(shè)答案：第一次摸出白球，第二次摸出黑球；第一次摸出黑球，第二次摸出黑球等.問題3：在探究1中事件A發(fā)生影響事件B發(fā)生的概率嗎？事件A不發(fā)生影響事件B發(fā)生的概率嗎？預(yù)設(shè)答案：由于拋擲一枚均勻的骰子2次，第一次無論擲出幾點顯然對第二次擲出結(jié)果沒有任何影響，事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響.問題4：在探究1中事件B發(fā)生影響事件A發(fā)生的概率嗎？事件B不發(fā)生影響事件A發(fā)生的概率嗎？預(yù)設(shè)答案：由于拋擲一枚均勻的骰子2次，第二次無論擲出幾點顯然對第一次擲出結(jié)果沒有任何影響，事件A的發(fā)生與否對事件B發(fā)生的概率沒有影響.追問1：在探究2中事件A與事件B又是否影響對方發(fā)生的概率？預(yù)設(shè)答案：不影響結(jié)論：事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫作相互獨立事件.兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于這兩個事件發(fā)生的概率的積，即P(AB)=P(A)P(B).探究1、探究2從學(xué)生熟悉的試驗入手，回顧和事件的運算，在已有知識基礎(chǔ)上建立任務(wù)，學(xué)生利用古典概型計算概率.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)P追問讓學(xué)生舉例，加深對公式的理解，初步體會兩個相互獨立事件概率之間的內(nèi)在聯(lián)系問題3、4和追問1引導(dǎo)學(xué)生從“事件A（B）發(fā)生對事件B（A）發(fā)生的概率是否有影響”和“事件A（B）不發(fā)生對事件B（A）發(fā)生的概率是否有影響”兩方面去思考A與B的關(guān)系從而引出兩個事件相互獨立的描述性定義.學(xué)生總結(jié)，教師補充，抽象概括出事件獨立性的描述性定義和數(shù)學(xué)定義.提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).教學(xué)過程設(shè)計意圖追問：從集合的角度看A和A有什么關(guān)系？從事件的運算的角度看A和A有什么關(guān)系？追問為證明PA活動三、概念加深，公式定義試驗E5：連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數(shù).事件A:事件B:事件D:事件E:問題:你能利用直觀定義和公式兩種方法判斷A和D以及A和E相互獨立嗎?預(yù)設(shè)答案：從描述性定義直觀判斷A和D以及A和E都不是相互獨立的.利用公式計算得：”P(AD)=P(A)P(D)，從而A和D相互獨立.P(AE)≠P(A)P(E)，從而A和E不相互獨立.Ω師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析該試驗的樣本空間（如上）發(fā)現(xiàn)在較復(fù)雜的問題中，主觀判斷容易出錯,需使用公式檢驗事件的獨立性.更進一步,兩個事件獨立是指事件A的發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率，而不是說事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生.【探究3】互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立?以問題1為例，分別驗證事件A與B，事件A與B，事件A與B是否獨立?你有什么發(fā)現(xiàn)?問題：一般地，對于兩個互相獨立隨機事件A和B，事件AB與AB之間有什么關(guān)系？計算P本例改編自2021年新高考全國I卷單選第8題，通過設(shè)問激疑,引發(fā)認知沖突，加深對概念的理解，即直觀感知判斷兩復(fù)雜事件是否獨立不一定可靠,從概率公式角度判定兩個事件是否相互獨立更準(zhǔn)確.本例既是對公式的應(yīng)用,又是對獨立性性描述性定義的辨析使學(xué)生對獨立性的理解上升到一個新的高度.教學(xué)過程設(shè)計意圖PAPAB其余同理.即如果兩個事件相互獨立，那么把其中一個換成它的對立事件，這樣兩個事件仍然相互獨立.在對兩個事件相互獨立的性質(zhì)“把其中一個換成它的對立事件，這樣的兩個事件仍然相互獨立”的理解上，學(xué)生對公式嚴(yán)謹(jǐn)推理可能會存在理解障礙，為突破此難點添加探究3和公式推理，分別從實際檢驗和數(shù)學(xué)邏輯的角度幫助學(xué)生進一步加深對事件獨立性概念的認識.讓學(xué)生體會到結(jié)論的合理性，也有利于提升學(xué)生的邏輯推理能力.活動四、應(yīng)用公式，解決問題例甲、乙兩人獨立破譯一個密碼,他們能譯出密碼的概率分別為13和14(1)兩人都譯出密碼的概率；(2)兩人都譯不出密碼的概率；(3)恰有一人譯出密碼的概率；(4)至多有一人譯出密碼的概率；(5)至少有一人譯出密碼的概率.解：記“甲獨立地破譯出密碼”為事件??，“乙獨立地破譯出密碼”為事件??，“兩人都譯出密碼”為事件C，“兩人都譯不出密碼”為事件D，“恰有一人譯出密碼”為事件E，“至多有一人譯出密碼”為事件F，“至少有一人譯出密碼”為事件G.問題1：你能用事件A、事件B表示事件C，事件D和事件E嗎？問題2：你能用事件C、事件D、事件E表示事件F和事件G嗎？問題3：對事件F和事件G還有其他分析嗎？師生活動:教師指導(dǎo)學(xué)生分析問題.例題設(shè)計了多個關(guān)聯(lián)的事件，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式解決實際問題.這里有對事件相互獨立、互斥、對立事件的理解；有對不同事件的關(guān)聯(lián)性分析；通過事件的交、并、補運算，運用互斥事件的加法公式，獨立事件的乘法公式和對立事件的減法公式解決問題.讓學(xué)生感受把二維的樣本空間問題，轉(zhuǎn)化考查兩個一維樣本空間.教學(xué)過程設(shè)計意圖最后教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一般方法：求較復(fù)雜事件的概率的一般步驟如下：(1)列出題中涉及的各個事件，并用適當(dāng)?shù)姆柋硎?(2)理清事件之間的關(guān)系(兩個事件是互斥還是對立，或者是相互獨立的)，列出關(guān)系式.(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進行計算.(4)當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算其對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.活動五、當(dāng)堂練習(xí)，檢測反饋練習(xí)1:甲、乙、丙三人獨立破譯一個密碼,他們能譯出密碼的概率分別為13,1練習(xí)2：袋中有白球3個，黑球2個，這5個球除顏色外完全相同，從中進行不放回摸球，每次摸球1個，事件A1表示“第一次摸得白球”，事件A2表示“第二次摸得白球”，則事件A1練習(xí)1是例題的延伸，也是知識的拓展;練習(xí)2把探究2的有放回摸球變?yōu)椴环呕孛颍龅綄χR鞏固遷移.練習(xí)使學(xué)生分析和解決問題的能力得到提高.真正掌握本節(jié)課內(nèi)容.活動六、課堂小結(jié)，提升認識1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識?2.本節(jié)課研究路徑？以提問的方式，從明（知識、方法）暗（思想、核心素養(yǎng)）兩條線進行小節(jié)，幫助學(xué)生回顧知識，掌握方法，提升素養(yǎng).活動七、布置作業(yè)，鞏固新知必做作業(yè)：教材第214頁A組第1-6題課后習(xí)題圍繞課堂的重點，適當(dāng)適量的布置，且在層次上逐層深化，幫助學(xué)生進一步理解相關(guān)的知識與方法.教學(xué)過程設(shè)計意圖選做作業(yè)：在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作．假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率．利于拓展學(xué)生的自主發(fā)展的空間.板書設(shè)計4.事件的獨立性3.性質(zhì)P4.例題…………