綜合練習經濟數學基礎10秋模擬試題3

一、單項選擇題

1.在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1,4）的曲線為（）.

A.y=x2+3B.y=丁+4C.y=2x+2D.y=

4x

對的答案：A

2.下列等式不成立的是（）.

A.evcU=d（ev）B.—sirLrdx=d(cosr)

C.—~r=CIA-=dy/xD.InxAx=d(-)

2y/xx

對的答案:A

3.若J/(x)dx=-e2+c,則/'(x)=().

1」1-i

A.-e5B.C.-e2D.

244

對的答案：D

4.下列不定積分中,常用分部積分法計算的是（）.

A.jcos(2r+l)drB.

C.Jxsin2xdxD.f—^rdx

3\+x2

對的答案:c

1

5.若j/(x)e<dx=-ev+c,則f(x)=().

A.1

B.-1D.4

XXX

對的答案:c

6.若F（x）是/（x）的一個原函數，則下列等式成立的是（）.

A./(x)dr=F(x)B?"。）口=尸（幻一尸（a）

bpb

c.F(x)dx=/0)-/(a)D.If'(x)dx=F(b)-F(a)

Ja

對的答案：B

7.下列定積分中積分值為0的是（).

.e_a—e__A[門fieA+e-x,

A.----------dx

2

32

C.f(x+cosx)dxD.f(x4-sinx)dx

J-/TJ-n

對的答案：A

8.下列定積分計算對的的是（)

?16

A.j2xdx=2B.Idx=15

C.J)|sinx|dx=0D.sinAdr=0

-7C

2

對的答案：D

9.下列無窮積分中收斂的是（).

Q0

>+30?+00J小r+1,

A.]nxdxB.e'dxC.D，1V7

o

對的答案:C

>+00二dr=

10.無窮限積分().

X

A.0B-4D.oo

對的答案:C

二、填空題

1.dje-Adr=

應當填寫：

2.函數/（x）=sin2x的原函數是.

應當填寫:-Lcos2x+c（c是任意常數）

2

3.若f\x）存在且連續,則[J"（?]'=

應當填寫：:（無）

4.若J/（X）CU=（X+1）2+C,則小）=——.

應當填寫：2（x+l）

5.若j/'（x）d￥=F（x）+c,則je-'/（e）及=.

應當填寫：-F（e-x）+c

6.FJ：ln（x2+l）dx=.

應當填寫：0

7.積分[—[~z-dx=°.

（x2+1）2---------------

應當填寫:0

8.無窮積分「‘一二?心是。。，.（判別其斂散性）

J。（x+1）2

應當填寫：收斂的

9.設邊際收入函數為R'（q）=2+3g,且"（0）=0,則平均收入函數為

03.

3

應當填寫:2+_q

2

三、計算題

解J———=J(x—2)dx=^x2—2%+c

,1

sin—

2.計算J二片也

J察M26dg=旨《+

解

4.計算jxsinxdr

解xsinxdx=—xcosx+cosxdx=—xcosx4-sinx+c

5.計算|(x+l)lnxdx

解f(x+l)lnxdx=—(x+l)2l*9nx--f"+Ldx

J22Jx

l2c%

z尸+2x)lnx-彳-x+c

6.計算

21

解e^d(—)=—=e-e^

x

re21、

7.—.dx

J1xjl+lnx

2-12I

解f—dx=[.d(1+Inx)=2jl+ln：j^=2(73-1)

jxVl+InxjVl+lnx

n

8.「xcos2Adr

解：|*2xcos2疝”—xsin2——「sin2Adx=—cos2x2~——1

J

J。2n204o2

9.JJ1ln(x+l)dx

解法—J；\n(x+l)dx=xln(x+1)|廿一]；X^dx=e-1-J71...—^)dx

=e-l-[x-ln(x+l)]|Q-1=lne=l

解法二令〃=x+l,則

J。ln(x+l)dx=J〕Inudu=〃Inu=e-“;=e-e+l=l

四、應用題

1.投產某產品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為。'(工)=2彳+40(萬元/百臺).

試求產量由4百臺增至6百臺時總成本的增量,及產量為多少時,可使平均成本達成最低.

解當產量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為

AC=￡(2X+40)dx=(x2+40x)|^=100(萬元)

z

fC(x)dx+c0

x1+40x+36=?4。+至

又CM=-------------

xxX

令麗'=1—?=0,解得X=6.

x1

X=6是惟一的駐點，而該問題的確存在使平均成本達成最小的值.所以產量為6百臺時可使

平均成本達成最小.

2.已知某產品的邊際成本C'(x)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收益R'(x)=12-0.02

x,問產量為多少時利潤最大?在最大利潤產量的基礎上再生產50件，利潤將會發生什么變化？

解由于邊際利潤

L'(x)=R'(x)-C'(x)=12-0.02x-2=10-0.02x

令L'(x)=0,得x=500

x=500是惟一駐點，而該問題的確存在最大值.所以，當產量為500件時，利潤最大.

當產量由500件增長至550件時,利潤改變量為

(

AL=?550_0.02x)dr=(10%-0.01%"-)1|55^0=500—525=-25(元)

即利潤將減少25元.

3.生產某產品的邊際成本為C'(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為氏'(幻=100-2矛(萬

元/百臺)，其中x為產量，問產量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產量再生產2百臺，利

潤有什么變化？

解L'(x)=R(x)-C(%)=(100-2x)-8x=100-10x

令L'(x)=0,得*=10(百臺)

又犬=10是￡(x)的唯一駐點，該問題的確存在最大值，故*=10是/(x)的最大值點，即當產

量為10(百臺)時，利潤最大.

又L==0100-10x)dx=(100x-5x2)|^=-20

即從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤將減少20萬元.

4.己知某產品的邊際成本為C'(q)=44-3(萬元/百臺)，q為產量(百臺)，固定成本為

18(萬元)，求最低平均成本.

解：由于總成本函數為

C(q)-J(447-3)dq=2q2-3q+c

當q=0時，C(0)=18,得c=18

即C(q)=2q2-3夕+18

又平均成本函數為

八,、C(q)c°18

A(q)—-----2q-3H----

qq

令4(幻=2—二=0,解得q=3(百臺)

該題的確存在使平均成本最低的產量.所以當g=3時，平均成本最低.最底平均成本為

1Q

4(3)=2x3-3+1=9(萬元/百臺)

5.設生產某產品的總成本函數為C(x)=3+x(萬元)，其中x為產量，單位:百噸.銷售

x百噸時的邊際收入為R'(x)=15-2x(萬元/百噸)，求：

(1)利潤最大時的產量；

(2)在利潤最大時的產量的基礎上再生產1百噸，利潤會發生什么變化？

解：(1)由于邊際成本為C'(x)=l,邊際利潤L'(x)=R(x)—C'(x)=14-2”

令L'(x)=0,得x=7

由該題實際意義可知，x=7為利潤函數￡(外的極大值點，也是最大值點.因此，當產量為7百

噸時利潤最大.

(2)當產量由7百噸增長至8百噸時,利潤改變量為

(?8,18

A￡=J7(14-2x)dx=(14x-x-)|7=112-64-98+49=-1(萬元)

即利潤將減少1萬元.

x,-x2+X4=2

6.求線性方程組《

x,-2X2++4尤4=3的一般解.

2X]-3X2+x3+5X4=5

解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形

1-10121-1012

1-2143->0-1131

2-31550-1131

1-10I210-1-21

0-113101-1-3-110分

0000000000

故方程組的一般解為:

%=￡+2*4+1

(七，%是自由未知量)°15分

x2=x3+3X4-1

7.設生產某產品的總成本函數為C(x)=3+x(萬元)，其中x為產量，單位：百噸.銷售

x百噸時的邊際收入為R'(x)=15-2x(萬元/百噸)，求：(1)利潤最大時的產量;在利

潤最大時的產量的基礎上再生產1百噸，利潤會發生什么變化？

解：⑴由于邊際成本為C'(x)=l,邊際利潤L'(x)=R(x)—C'(x)142x

5分

令L'(x)=0,得x=7

8分

由該題實際意義可知，x=7為利潤函數￡(*)的極大值點，也是最大值點.因此,當產量為

7百噸時利潤最大.

12分

(2)當產量由7百噸增長至8百噸時,利潤改變量為

r8；o2|8

(14-2x)dr=(14x-x)|7=112-64-98+49=-1(萬元)

18分

即當產量由7百噸增長至8百噸時，利潤將減少1萬元.2

0分

,幾1+ln(l-x)七,

8Q.設y=----------，求)(0).

l-x

-1

(l-x)+[l+ln(l-x)]

ln(l-x)

解：由于

(l-x)2(l-x)2

所以y'(0)=蛆1二半=o

9.j(lnx+sin2x)dv.

解：J(lnx+sin2x)dx=xlnx-Jdx+gjsin2xd(2x)

=x(lnx-l)-；cos2x+C

212-61

102

10.設矩陣A,B=010,C-22,計算八區41+C).

1-20

002-42

解：由于

且

所以r(BAJ+C)=2

$+々+%3=1

11.當;l取何值時,線性方程組\2芭+x2-4x3=2有解？并求一般解.

1_%|+5無3=1

1111

解由于增廣矩陣A=