空間向量的正交分解及坐標表示第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日學習目標1.知識與技能：了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及坐標表示2.過程與方法：類比平面向量的有關知識，得出空間向量基本定理及坐標表示。3.情感態(tài)度與價值觀：用發(fā)展的聯系的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發(fā)展變化的。學習重點

空間向量基本定理學習難點探究空間向量基本定理的過程及定理的應用第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日1、平面向量基本定理：一、預備知識第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日ap

一、預備知識2、下圖中，如何用兩個不共線向量來表示？OP第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日yx12312ij3、在平面直角坐標系中，取與X軸Y軸方向相同的兩個單位向量

、作為基底，在圖中作出=，并寫出的坐標。

=（3，2）

O第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日pxyzoijk二、探究與發(fā)現[探究一]設、、為由公共起點O的三個兩兩互相垂直的向量，那么對于空間任意一個向量，如何用、、來表示？QP第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日abpc[探究二]如果用任意三個不共面向量來代替上述兩兩互相垂直的向量，還有類似結論嗎？OPQ第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日注意對于基底{a,b,c}需要明確以下幾點：1.向量a,b,c不共面；2.空間任意三個不共面向量都可以做空間向量的一個基底；3.由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是0.4.一個基底指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量.第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個空間直角坐標系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面。xyzOe1e2e3（2）空間向量的坐標表示第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日給定一個空間坐標系和向量,且設e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，記作.P=(x,y,z)（2）空間向量的坐標表示xyzOe3e1e2P第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作

=(x,y,z)由空間向量基本定理，對于空間任一向量存在唯一的有序實數組(x,y,z)使P′P第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，以A為坐標原點，以AB,AD,AA1為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，設向量

，

，為x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，用向量

，

，表示向量AC1和BD1。ijk第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、定理應用例1如圖，M、N分別是四面體OABC的邊OA、BC的中點，P,Q是MN的三等分點。用向量、、表示和。解：=

第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日

解：第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習

.空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則MN=().OABCMN(A)a

－b+c

122312(B)－a+b+c

122312(C)a+b

－c

122312(D)a+b

－c

122323第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日四、學后反思1、知識點：2、問題探究過程的思路剖析：[課下探究]

空間向量基本定理與課本95頁“思考“欄目中的第二問題有什么聯系？你有何體會？五、作業(yè)：

P106A組1.2.第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習2第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日空間向量運算

的坐標表示第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日

空間向量基本定理：

如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝

xa＋yb＋zc。把不共面的三個向量{a、b、c}叫做空間的一個基底a,b,c都叫做基向量第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日則叫做點A

在此空間坐標系o-xyz的坐標；

xyzOA3.坐標①向量的坐標給定一個空間直角坐標系和向量,且設

為坐標向量，則存在唯一的有序實數組(a1,a2,a3)使有序數組(a1,a2,a3)叫做在空間直角坐標系O--xyz中的坐標，

記作.(a1,a2,a3)②點的坐標在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一點A,對應一個向量

于是存在唯一的有序實數組x,y,z，使記作Ax,y,z分別稱作點A的橫坐標,縱坐標,豎坐標.第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日則二、空間向量的坐標運算.(注：分母不為零)第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空間一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、距離與夾角的坐標表示1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日在空間直角坐標系中，已知、，則（2）空間兩點間的距離公式第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日2.兩個向量夾角公式注意：（1）當時，同向；（2）當時，反向；（3）當時，。第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習一：1.求下列兩個向量的夾角的余弦：2.求下列兩點間的距離及中點坐標：第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日答案：

(1,1，－1)

(－1,0,1)第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日解：設正方體的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系，則

例1如圖,在正方體中，，求與所成的角的余弦值.

第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日如圖長方體ABCD-A'B'C'D',底面邊長均為1，棱AA'=2，M、N分別是A'C',AA'的中點，

（1）求CN的長;

（2）求cos<CA',DC'>的值;

（3）求證:A'C⊥D'M

.AD'C'B'A'CDBNM例題第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日AD'C'B'A'CDBNMxyz解：（1）如圖建立空間直角坐標系，則C(0,1,0),N(1,0,1)第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日（2）A(1,0,2),C(0,1,2),D(0,0,0)∴CA'=(1,-1,2)，DC'=(0,1,2)，（3）∴A'C⊥D'M

第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日證明:設正方體的棱長為1,建立如圖的空間直角坐標系xyzA1D1C1B1ACB