專題32平面向量平面向量的數目積【考點解說】一、具本目標：1.理解平面向量數目積的含義及其物理意義.2.認識平面向量的數目積與向量投影的關系.3.掌握數目積的坐標表達式，會進行平面向量數目積的運算.4.能運用數目積表示兩個向量的夾角，會用數目積判斷兩個平面向量的垂直關系.考綱解讀：以考察向量的數目積、夾角、模為主，基本穩固為選擇題或填空題，難度較低；2.與三角函數、分析幾何等相聯合，以工具的形式進行考察，中等難度，可是解決以上問題的橋梁.備考要點：理解數目積的觀點是基礎，掌握數目積的兩種運算的方法是要點；解答與平面幾何、三角函數、分析幾何等交匯問題時，注意運用數形聯合的數學思想，經過成立平面直角坐標系，利用坐標運算解題.二、知識概括：一）主要公式：1.向量的數目積：已知兩個非零向量a、b，它們的夾角為，則a·b=abcos.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=.2.向量的模：若a=(x,y)，則|a|=x2+y2.3.兩向量的夾角余弦值：×ab.ab14.向量垂直的等價條件：aba?b0.二）主要知識點：兩個向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．（2）夾角范圍：向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.（3）向量垂直：假如向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.2.平面向量數目積：（1）已知兩個非零向量a與b，則數目abcos叫做a與b的數目積，記作ab，即ab＝，此中θ是a與b的夾角．規定0a0.當a⊥b時，θ＝90°，這時a?b0.（2）ab的幾何意義：數目積ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積．向量數目積的性質：2（1）aa2a，.（2）×ab(θ為a與b的夾角).ab（3）.數目積的運算律（1）互換律：.（2）分派律：（3）對.5.數目積的坐標運算：設，有下邊的結論：（1）.（2）aba?b0.3）（4）(θ為a與b的夾角).【真題剖析】1.【2018年天津卷文】在如圖的平面圖形中，已知,則BCOM的值為（）3D.0【答案】C2.【2017北京，理6】設m,n為非零向量，則“存在負數，使得mn”是“mn0”的A.充分而不用要條件B.必需而不充分條件C.充分必需條件D.既不充分也不用要條件【分析】假如存在負數，使得mn，此時兩向量方向相反，夾角為180°，一，兩向量的數目積為：成立.假如mn0，此時兩向量的夾角在90°到180°之間，兩向量不必定是相反方向，也就是不必定存在一個負數，使得mn成立，因此是充分不用要條件.【答案】A3.【2016高考天津理數】已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D,E分別是邊AB,BC的中點，連結DE并延伸到點F，使得DE2EF，則AFBC的值為（）51111A.B.C.D.88484【答案】B4.【2014天津，理8】已知菱形ABCD的邊長為2，，點E,F分別在邊BC,DC上，BE=lBC，DF=mDC．若，，則l+m=（）1257A.B.3C.D.2612【分析】，，即①，同理可得5②，①+②得l+m=，應選C．6【答案】C．5.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,點E和點F分別在線段BC和CD上,且則AEAF的值為．【分析】此題考點是平面向量的數目積及向量的線性運算，在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,得,ABAD1,DC1AB,2因此=5【答案】

2918【2016·江蘇卷】如圖，在△ABC中，D是BC的中點，→→→→BF·CF＝－1，則BE·CE的值是________．則【2017課標1，理13】已知向量a,b的夾角為60°，【分析】此題考點是平面向量的數目積公式的運用，法一：由題意可知

→→E，F是AD上的兩個三平分點，BA·CA＝4，7【答案】8a2，b1，則a2b.6因此.【答案】23法二：利用以下列圖形，能夠判斷出a2b的模長是以2為邊長的菱形對角線的長度，由平面幾何的知識可以求出菱形對角線的長為23.【答案】238.【2017山東，理12】已知12是相互垂直的單位向量，若3e1e2與12的夾角為60，則實數的e,eee值是.【答案】

33【模擬考場】1.已知向量a(1,2)，b(1,1)，則（）A．2B．-2C．-3D．47【分析】因，故，應選A.【答案】A已知非零向量m，n知足4│m│=3│n│，cos<m，n>=1.若n⊥（tm+n），3則實數t的值為（）A.4B.–4C.9D.–944【答案】B3.已知向量a與b的夾角為60°，|a|2，|b|5，則2ab在a方向上的投影為（）A．3B．2C．5D．322【分析】由已知條件可知，2ab在a方向上的投影為，此中.因此.【答案】A4.在ABC中，已知，當A時，ABC的面積為________.68【分析】此題考點是平面向量的數目積、三角函數同角關系、三角形的面積公式的應用.由題意可知得，ABAC，因此，.【答案】

165.【2017廣西5月考前聯考】設向量，，且ab，則m的值為__________．【答案】26.【2017天津，理13】在△ABC中，∠A60，AB3，AC2.若BD2DC，，且，則的值為___________.【分析】由題意可知：，，9=因此可得3【答案】11已知a3，b【分析】易知ab因此c0或【答案】0,5

，3.114，ab0，若向量c知足，則c的取值范圍是__________．5，由，且ab0，可得：.，由此可得c的取值范圍是0,5.8.已知兩個不共線的向量a,b，它們的夾角為θ，且，x為正實數．(1)若a2b與a4b垂直，求tanθ；(2)若θ＝π，求xab的最小值及對應