飛行器結構力學基礎

——電子教學教案航空結構工程系第三章靜定結構的內力與變形計算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第三講靜定結構的位移計算一、結構位移計算概述結構在外界因素（諸如載荷、溫度改變、支座移動、制造誤差等）作用下幾何形狀發生的變化，稱為結構變形。1、結構的變形結構變形可通過不同的結構位移形式來表征，并通過計算位移值來定量描述。計算結構的位移是結構設計中的一項非常重要的內容，一方面為研究結構的剛度提供數據，另一方面為靜不定結構的內力計算奠定基礎。實質：分析結構幾何關系的變化。3、計算結構位移的目的二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能對于圖(a)的桿件為完全彈性體，其橫截面積為A，長度為L。在載荷P作用下桿件的軸向力N由零逐漸增加到最終值P，桿件的變形也由零逐漸增加到Δ。力與變形之間的關系按圖(b)曲線變化。這時外力所作的功W等于

按照能量守恒原理，外載荷所作的功就以能量的形式貯存于桿件中。彈性體變形后具有的作功能力，稱為變形能或應變能，用U表示應變能。

二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能對于完全彈性體，顯然應變能就等于外力所作的功，即圖示桿件的應變能為式中稱為應變能密度(單位體積的應變能)。圖(b)中曲線下面的那部分面積就代表了外力所作的功W或應變能U的大小。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能外力余功W*或余應變能U*并無任何物理意義，純粹是為了使用上的方便而定義的一個數學量而已。但可以證明，余應變能同樣服從工程結構中的能量守恒原理，因而，通過它所建立的一種能量方法同樣可用于實際結構分析。在線彈性情況下，載荷-位移曲線退化為直線，應變能U與余應變能U*相等，從而應變能和余應變能可以互換。二、回顧：外力功和變形能2.1應變能和余應變能將應變能U和余應變能U*

分別對Δ和P微分，可得到分別表示應變能對位移的一階導數等于外力，而余應變能對外力的一階導數等于位移，可適用于線彈性或非線彈性情況。在線彈性情況下，著名的卡氏第二定理,只適用于線彈性情況。二、回顧：外力功和變形能2.2線彈性結構元件的應變能和余應變能的表達式等軸力桿等彎矩梁等扭轉桿三、廣義力與廣義位移上述三種作用力及對應的三種變形均不相同，但它們有共同點，就是都能使物體發生變形，從而對物體作了功，所作之實功均等于系數“1/2”乘“力”乘“位移”。若把這三種不同型式的“力”均稱為廣義力，與此廣義力相對應的位移稱為廣義位移的話，則廣義力所作的功可表達為（廣義力）（廣義位移）

廣義力與廣義位移的定義：一般而論，任何一個力或一組相互有關且又彼此獨立的力系，如果可以用一個代數量來表示它，則稱它為一個廣義力，與此廣義力相對應的位移稱為廣義位移。廣義力與相應的廣義位移乘積的一半等于該廣義力所作的功。三、廣義力與廣義位移如果桿件同時承受有集中力、彎矩、扭矩作用，則廣義外力與廣義位移分別為于是，廣義力所作的功等于一般地：（非線性）（線性）三、廣義力與廣義位移一些典型結構元件的廣義力和廣義位移：等軸力桿：等彎曲桿：等扭轉桿：等剪力桿：研究彈性體力學問題的兩種能量方法當協調的位移狀態發生微小變化時，結構系統的能量有什么變化？當平衡的力狀態發生微小變化時，結構系統的能量有什么變化？虛位移原理虛力原理統稱為：虛功原理重要定義1虛位移——一種假想的、滿足位移約束條件的、任意的、微小的連續位移。假象的：是指虛位移僅僅是想象中發生但實際并不一定發生的一種可能位移。滿足位移約束的：是指虛位移應當滿足變形體的變形協調條件和位移邊界條件。任意的：是指虛位移與變形體是否受力無關。微小的：是指虛位移并不影響變形體的幾何關系，即不影響力的平衡關系。因此，在發生虛位移的過程中，外力與內力均保持不變，即保持原有的平衡狀態。虛位移的例子位移邊界條件為：w為梁的真實撓度曲線。幾種虛位移的形式：變形體的真實位移是否可作為虛位移呢？完全可以虛功的例子真實外力虛位移虛功為：重要定義3虛力——一種假想的、滿足平衡條件的任意力系。假象的：是指虛力僅僅是想象中一種可能力系。滿足平衡條件的：是指虛力應當滿足力的平衡方程（內部）和力的邊界條件（外部）。任意的：是指虛力與變形體的變形無關。因此，在發生虛力的過程中，變形體的位移均保持不變，即保持原有的協調狀態。虛力的例子真實受力和變形狀態：虛力狀態1：雖然力狀態是平衡的，但力狀態與實際變形無關系。不是真實的受力狀態，而僅是滿足平衡條件的力狀態。重要定義4余虛功——虛力在真實位移上所作的功，或虛廣義力在與其無關的廣義位移上所作的功。因為，在發生虛力的過程中，位移保持不變，在余虛功的表達式中也無系數“1/2”。為了與余功W*區別，記余虛功為δW*，虛力δP，則余虛功為余虛功的例子余虛功為：真實位移虛力2、虛功原理2.2剛體(或剛體系)的虛位移原理一剛體(系)處于平衡的充分必要條件是

：對于任何可能的虛位移(剛體虛位移)，作用于剛體(系)的所有外力所做虛功之和為零。對于一剛體(系)，去掉約束而代之以相應的反力，該反力便可看成外力。-FPΔP+FB

ΔB=0假設一種剛體虛位移，則有相當于∑MA=02、虛功原理2.4彈性系統的虛位移原理平衡的力狀態協調的虛位移狀態彈性系統在外力作用下處于平衡狀態，對任意的虛位移，系統中所有外力在虛位移上所作的虛功總和等于所有內力在虛位移上所作的虛功總和。外力虛功內力虛功符號標記：Si、Vi分別表示在真實外力作用下，彈性體內部第i個元件的內力和位移；δSi表示第i個元件的虛內力；δVi

表示第i個元件的虛位移。2、虛功原理協調的位移狀態平衡的虛力狀態彈性系統在外力作用下處于變形協調狀態，對任意的虛力狀態,系統中所有虛外力在位移上所作的余虛功總和等于所有虛內力在位移上所作的虛余功總和。2.4彈性系統的虛力原理外力余虛功內力余虛功待分析平衡的力狀態3、彈性系統虛功原理的應用關于虛位移原理【例1】建立圖示桁架1點的平衡方程。解：（1）設三根桿的內力分別為N1、N2、N3，在1點處與外載荷應滿足平衡條件。N1N2N3（2）假設1處的水平位移為δu，垂直位移為δv。根據桁架的幾何參數，可以得出各桿與結點1的位移相協調的變形，如表所示。

桿號桿長伸長量1-2桿：1-3桿：1-4桿：協調的虛位移狀態【例1】建立圖示桁架1點的平衡方程。解：（3）外力虛功、內力虛功分別為N1N2N3（4）根據虛位移原理，，有由于虛位移δu、δv為任意值，有1點的X向平衡方程1點的Y向平衡方程出導3、彈性系統虛功原理的應用待分析的平衡系統的力狀態虛設的協調位移狀態關于虛位移原理實際受力狀態的平衡方程實質：用幾何法解靜力平衡問題。待分析協調的位移狀態關于虛力原理【例2】圖示桁架在外力作用下處于變形協調狀態。已知桿子12、13、14的伸長量分別為ΔL12、ΔL13、ΔL14，求1點的水平位移u和垂直位移v。解：（1）內位移ΔL12、ΔL13

和ΔL14，與1點的水平位移u和垂直位移v應滿足協調條件。（2）假設1點處的水平力為δPx，垂直力為δPy。根據虛力的定義，可以求與虛外力平衡的一種內力狀態，如圖所示。

滿足平衡條件的虛力狀態0【例2】解：（3）外力余虛功、內力余虛功分別為（4）根據虛位移原理，，有由于虛力δPx、δPy為任意值，有1點的X向幾何方程1點的Y向幾何方程出導3、彈性系統虛功原理的應用待分析的協調系統的位移狀態虛設的平衡力狀態關于虛力原理實際變形狀態的幾何(協調)方程實質：用靜力平衡法解幾何問題。虛力原理對求解靜不定結構內力具有重要的應用。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式利用虛功原理(虛力原理)，可以求出變形結構中任意一點由于變形而產生的位移。真實的位移狀態平衡的虛力狀態令

，則有虛功原理五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式式中：即為所求m點處的結構位移值；

表示外力作用下結構元件i的真實位移；

表示單位廣義力作用下的結構內力。這就是單位載荷法(Dummy-UnitLoadMethod)，它是Maxwell(1864)和Mohr(1874)提出的，故也稱為Maxwell-MohrMethod。上式可寫成：五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式如何求？：外力作用下第i個結構元件的廣義力；：第i個結構元件的剛度系數桁架：剛架：等五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達式根據不同類型元件的廣義力與廣義位移，可得到不同類型結構的位移計算公式。平面或空間桁架平面剛架截面形狀系數。如：（1）對矩形截面k=6/5；（2）對圓形截面k=10/9。軸力彎矩剪力五、單位載荷法－求位移的Mohr公式2、用單位載荷法求結構位移的一般步驟求在外載荷作用下的結構真實內力；施加與所求位移相對應的單位廣義力，并求在單位廣義力作用下的結構內力；代入單位載荷法的一般表達式中，求廣義位移；若，表示所求位移的方向與單位力方向相同；，表示所求位移的方向與單位力方向相反。著重指出：單位力的位置、類型和方位必須與所求位移相對應。施加單位廣義力的原則：單位廣義力×位移＝所求位移值如何施加與所求位移對應的單位廣義力求5點的豎向位移1求1點和6點的水平相對位移11如何施加與所求位移對應的單位廣義力求1－5桿的轉角求1點和6點在1、6連線上的相對位移11如何施加與所求位移對應的單位廣義力求1－5桿、3－6桿的相對轉角如何施加與所求位移對應的單位廣義力求A點的豎向位移1求A截面的轉角1如何施加與所求位移對應的單位廣義力求A、B兩點的豎向相對位移1求A、B兩截面的相對轉角111例1：求桁架4點的豎向位移Δ4V，設各桿EA均相同。解：1、幾何特性分析該桁架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。3、為求4點的豎向位移，在4點豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結構內力，即求。4、由單位載荷法求Δ4V2、求桁架在外載荷作用下的內力，即求。例1：求桁架4點的豎向位移Δ4V，設各桿EA均相同。Δ4V>0，與單位力的方向一致。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。解：1、幾何特性分析該剛架為無多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內力，即求。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。3、為求A點的豎向位移，在A點豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結構內力，即求。例2：求剛架A點的豎向位移ΔAV。設E、J、G、A均相同。4、由單位載荷法求ΔAV。彎曲軸向剪切對于細長桿件，相比彎矩來說，軸力和剪力對變形的影響很小,可略去軸力項和剪力項的影響，只計及彎矩項。例3：求半徑為R的半園環A點的位移ΔA。設抗彎剛度為EJ。解：1、幾何特性分析該剛架為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內力，即求。外側受壓例3：求半徑為R的半園環A點的位移ΔA。設抗彎剛度為EJ。3、為求A點的位移，在A點豎向和水平方向上分別施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結構內力，即求。內側受壓外側受壓例3：求半徑為R的半園環A點的位移ΔA。設抗彎剛度為EJ。4、由單位載荷法，分別求Δ

AV、ΔAH

。由此計算得到A點的位移ΔA為1、概述六、圖乘法及其應用——積分的計算在用單位載荷法計算結構位移時，經常遇到類似形式的積分。其中、都是積分變量的函數，并且或兩者之一是線性變化的。在這種情形下，可以導出一種較為簡便的計算方法，稱為圖形互乘法。2、圖乘法的公式推導六、圖乘法及其應用——積分的計算設在區間上定義兩個函數和，其中是的線性函數，求積分的值。延長至o點，建立oy軸，有N1的圖形對y軸的靜矩圖乘法是維利沙金(Vereshagi