二次函數綜合題（40題）1．（2013?珠海）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點，一拋物線經過點A、D及點M（-1，-1-m）．（1）求拋物線的解析式（用含m的式子表示）；（2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線與線段CE相交，求實數m的取值范圍；（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線頂點P到達最高位置時的坐標。2．（2013?舟山）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．（1）當m=2時，求點B的坐標；（2）求DE的長？（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？3．（2013?鎮江）如圖，拋物線經過原點O和點A（2，0）．（1）寫出拋物線的對稱軸與x軸的交點坐標；（2）點（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，若x1＜x2＜1，比較y1，y2的大小；（3）點B（-1，2）在該拋物線上，點C與點B關于拋物線的對稱軸對稱，求直線AC的函數關系式．4．（2013?張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC．（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．5．（2013?云南）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點D在y軸上，直線AC與y軸交于點E（0，1），點C的坐標為（2，3）．（1）求A、D兩點的坐標；（2）求經過A、D、C三點的拋物線的函數關系式；（3）在y軸上是否在點P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2013?營口）如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設拋物線的頂點為D．（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2013?新疆）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．8．（2013?湘西州）如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（-2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．9．（2013?湘潭）如圖，在坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線的圖象過C點．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線．當移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．10．（2013?武漢）如圖，點P是直線：y=-2x-2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=x2于A、B兩點．（1）若直線m的解析式為，求A，B兩點的坐標；（2）①若點P的坐標為（-2，t）．當PA=AB時，請直接寫出點A的坐標；②試證明：對于直線上任意給定的一點P，在拋物線上能找到點A，使得PA=AB成立．（3）設直線交y軸于點C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標．11．（2013?梧州）如圖，拋物線y=a（x-h）2+k經過點A（0，1），且頂點坐標為B（1，2），它的對稱軸與x軸交于點C．（1）求此拋物線的解析式．（2）在第一象限內的拋物線上求點P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請求出此時點P的坐標．（3）上述點是否是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點？若是，請說明理由；若不是，請求出第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標．12．（2013?無錫）如圖，直線x=-4與x軸交于點E，一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A，交直線x=-4于點B，過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C，直線OC交直線AB于D，且AD：BD=1：3．（1）求點A的坐標；（2）若△OBC是等腰三角形，求此拋物線的函數關系式．13．（2013?威海）如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線y=x交于點A，點B在直線上，∠BOA=90°．拋物線過點A，O，B，頂點為點E．（1）求點A，B的坐標；（2）求拋物線的函數表達式及頂點E的坐標；（3）設直線y=x與拋物線的對稱軸交于點C，直線BC交拋物線于點D，過點E作FE∥x軸，交直線AB于點F，連接OD，CF，CF交x軸于點M．試判斷OD與CF是否平行，并說明理由．14．（2013?銅仁地區）如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）．（1）求拋物線的解析式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標．15．（2013?遂寧）如圖，拋物線與x軸交于點A（2，0），交y軸于點B（0，）．直線過點A與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．（1）求拋物線與直線的解析式；（2）設點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．探究：是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點N，設△PMN的周長為，點P的橫坐標為x，求與x的函數關系式，并求出的最大值．16．（2013?隨州）某公司投資700萬元購甲、乙兩種產品的生產技術和設備后，進行這兩種產品加工．已知生產甲種產品每件還需成本費30元，生產乙種產品每件還需成本費20元．經市場調研發現：甲種產品的銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），當35≤x＜50時，y與x之間的函數關系式為y=20-0.2x；當50≤x≤70時，y與x的函數關系式如圖所示，乙種產品的銷售單價，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩定在10萬件．物價部門規定這兩種產品的銷售單價之和為90元．（1）當50≤x≤70時，求出甲種產品的年銷售量y（萬元）與x（元）之間的函數關系式．（2）若公司第一年的年銷售量利潤（年銷售利潤=年銷售收入-生產成本）為W（萬元），那么怎樣定價，可使第一年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少？（3）第二年公司可重新對產品進行定價，在（2）的條件下，并要求甲種產品的銷售單價x（元）在50≤x≤70范圍內，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤之和-投資成本）不低于85萬元．請直接寫出第二年乙種產品的銷售單價m（元）的范圍．17．（2013?綏化）如圖，已知拋物線（a＞0）與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．（1）若拋物線過點M（-2，-2），求實數a的值；（2）在（1）的條件下，解答下列問題；①求出△BCE的面積；②在拋物線的對稱軸上找一點H，使CH+EH的值最小，直接寫出點H的坐標．18．（2013?宿遷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數（a，b是常數）的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．動直線y=t（t為常數）與拋物線交于不同的兩點P、Q．（1）求a和b的值；（2）求t的取值范圍；（3）若∠PCQ=90°，求t的值．19．（2013?汕頭）已知二次函數．（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．20．（2013?三明）如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線經過點C，頂點M在直線BC上．（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；（2）求拋物線的對稱軸和函數表達式；（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2013?曲靖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=-x2+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式．（2）當DE=4時，求四邊形CAEB的面積．（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標；若不存在，說明理由．22．（2013?黔西南州）如圖，已知拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C（1）求拋物線的函數解析式．（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．（3）P是拋物線上第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．23．（2013?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．24．（2013?寧夏）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交C點，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，3）它的對稱軸是直線（1）求拋物線的解析式；（2）M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求M點的坐標．25．（2013?寧波）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），且過點C（0，-3）．（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；（2）請你寫出一種平移的方法，使平移后拋物線的頂點落在直線y=-x上，并寫出平移后拋物線的解析式．26．（2013?眉山）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點M．（1）求這條拋物線的解析式；（2）P為拋物線上一動點，E為直線AD上一動點，是否存在點P，使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移2個單位后得到的拋物線的解析式．27．（2013?六盤水）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．（1）求經過點O，C，A三點的拋物線的解析式．（2）求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標．（3）線段OB與拋物線交與點E，點P為線段OE上一動點（點P不與點O，點E重合），過P點作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：在線段OE上是否存在這樣的點P，使得PD=CM？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．28．（2013?重慶）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，5）．（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標．29．（2013?雅安）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數關系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．30．（2013?十堰）已知拋物線y=x2-2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（-1，0）．（1）求D點的坐標；（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數；（3）如圖2，已知點P（-4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．31．（2013?涼山州）如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．32．（2013?麗水）如圖，已知拋物線與直線y=2x交于點O（0，0），A（a，12）．點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．（1）求拋物線的函數解析式；（2）若點C為OA的中點，求BC的長；（3）以BC，BE為邊構造矩形BCDE，設點D的坐標為（m，n），求出m，n之間的關系式．33．（2013?樂山）如圖，已知拋物線C經過原點，對稱軸x=-3與拋物線相交于第三象限的點M，與x軸相交于點N，且tan∠MON=3．（1）求拋物線C的解析式；（2）將拋物線C繞原點O旋轉180°得到拋物線C′，拋物線C′與x軸的另一交點為A，B為拋物線C′上橫坐標為2的點．①若P為線段AB上一動點，PD⊥y軸于點D，求△APD面積的最大值；②過線段OA上的兩點E，F分別作x軸的垂線，交折線O-B-A于點E1，F1，再分別以線段EE1，FF1為邊作如圖2所示的等邊△EE1E2，等邊△FF1F2．點E以每秒1個單位長度的速度從點O向點A運動，點F以每秒1個單位長度的速度從點A向點O運動．當△EE1E2與△FF1F2的某一邊在同一直線上時，求時間t的值．34．（2013?遵義）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為，且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．（1）求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；（3）以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．35．（2013?昭通）如圖，在⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線y=a（x-2）2+m（a≠0）經過點A（4，0）與點（-2，6）．（1）求拋物線的解析式；（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D，動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動，同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長．當PQ⊥AD時，求運動時間t的值．36．（2013?湛江）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B、C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，-5）．（1）求此拋物線的解析式；（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C有什么位置關系，并給出證明；（3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．37．（2013?岳陽）如圖，已知以E（3，0）為圓心，以5為半徑的⊙E與x軸交于A