二、體系的運動方程建立2.1建立運動方程的基本步驟2.2運動方程建立舉例2.3體系運動方程的一般形式2.4應注意的幾個問題2.5剛度法、柔度法列方程的步驟2.6運動方程建立總結當前1頁，總共27頁。運動方程的建立

建立動力體系運動方程常用的三種方法是直接平衡法、虛位移原理方法和哈密爾頓原理方法；運動方程可用上述三種方法中的任一種建立。對于簡單體系，最明了的方法是采用直接平衡法建立包括慣性力在內的作用于體系上的全部力的平衡關系，得出運動方程。對于更復雜的體系，直接建立矢量平衡關系可能是困難的，此時采用功和能等標量建立平衡關系更為方便；其中包括虛位移原理方法和哈密爾頓原理方法。上述三種方法的結果是完全相同的，采用何種方法取決于是否方便、個人的喜好以及動力體系的性質。當前2頁，總共27頁。牛頓第二運動定律

當前3頁，總共27頁。直接平衡法

通過動力體系各質點的力矢量平衡關系建立運動方程的方法。質量所產生的慣性力與它的加速度成正比，但方向相反。這一概念稱為達蘭貝爾原理。借助該原理可以把運動方程表示為動力平衡方程。方程中的力包括多種作用于質量上的力，如抵抗位移的彈性恢復力、抵抗速度的粘滯阻尼力以及其它獨立確定的外荷載。因此，運動方程的表達式僅僅是作用于質量上所有力（包含慣性力）的平衡表達式。在許多簡單問題中，直接平衡法是建立運動方程的最直接而且方便的方法。

當前4頁，總共27頁。當前5頁，總共27頁。虛位移原理

虛位移原理可表述為：如果一組力作用下的平衡體系承受一個虛位移（即體系約束所允許的任何微小位移），則這些力所作的總功（虛功）等于零，虛功為零和體系平衡是等價的。因此，只要明了作用于體系質量上的全部力（包括按照達蘭貝爾原理所定義的慣性力），然后引入對應每個自由度的虛位移，并使全部力作的功等于零，則可導出運動方程。虛功為標量，故可依代數方法相加，這是此法的主要優點。當結構體系相當復雜，且包含許多彼此聯系的質量點或有限尺寸的質量塊時，直接寫出作用于體系上的所有力的平衡方程可能是困難的；盡管作用于體系的力可以容易地用位移自由度來表示，但它們的平衡關系則可能十分復雜。此時，利用虛位移原理建立運動方程更為方便。當前6頁，總共27頁。當前7頁，總共27頁。哈密爾頓原理

當前8頁，總共27頁。當前9頁，總共27頁。2.1建立運動方程的基本步驟

作為本科學習，這里只討論用達朗泊爾原理通過列平衡方程得到運動方程的“直接平衡法”。以下討論中一律認為系統的阻尼是等效粘滯阻尼。直接平衡法列方程的一般步驟為：

1)確定體系的自由度——質量獨立位移數；

2)建立坐標系，確定未知位移（坐標正向為正）；

3)根據阻尼理論確定質量所受的阻尼力；

4)根據達朗泊爾原理在質量上假想作用有慣性力（注意：慣性力是實際的，但它不作用在質量上）；

5)取質量為隔離體并作受力圖；

6)根據達朗泊爾原理列每一質量的瞬時動力平衡方程，此方程就是運動（微分）方程。列平衡方程稱剛度法當前10頁，總共27頁。2.1建立運動方程的基本步驟

作為本科學習，這里只討論用達朗泊爾原理通過列平衡方程得到運動方程的“直接平衡法”。以下討論中一律認為系統的阻尼是等效粘滯阻尼。直接平衡法列方程的一般步驟為：

1)確定體系的自由度——質量獨立位移數；

2)建立坐標系，確定未知位移（坐標正向為正）；

3)根據阻尼理論確定質量所受的阻尼力；

4)根據達朗泊爾原理在質量上假想作用有慣性力（注意：慣性力是實際的，但它不作用在質量上）；列位移方程稱柔度法5)將動力外荷、慣性力、阻尼力作為“外力”，按位移計算公式求各質量沿自由度方向的位移，其結果應該等于未知位移（滿足協調），由此建立方程。當前11頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.1單自由度體系運動方程例-1)試建立圖示結構的運動方程。h

m

EIP(t)解：由于橫梁剛度無窮大，結構只能產生水平位移。設x坐標向右（右手系）。

又設橫梁（質量m）位移為u，以它為隔離體，受力如圖所示。P(t)h

列x方向全部力的平衡方程，即可得結構的運動方程為

圖中Fs1和Fs2可由圖是有位移法（實際直接可由形常數）得到當前12頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.1單自由度體系運動方程解：圖示結構只能產生豎向位移，顯然這是單自由度對稱振動。設質量豎向位移為v，向下為正。

將慣性力fI、阻尼力fd如圖所示加于梁上，根據達朗泊爾原理和阻尼假定l/2l/2m例-2)試建立圖示抗彎剛度為EI簡支梁的運動方程。（不計軸向變形）l/2l/2fIfdP(t)P(t)

由位移計算可知，單位荷載下簡支梁跨中豎向位移為因此在所示“外力”下，質量的位移為當前13頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.1單自由度體系運動方程例-3)試建立圖示結構的運動方程。h

m

EIP(t)解：由于橫梁剛度無窮大，結構只能產生水平位移。設質量m位移為u，向右為正。根據達朗泊爾原理和假設的阻尼力理論，加慣性力和阻尼力后受力如圖。P(t)h

由超靜定位移計算可得（如圖示意）h

1

因此，外力下位移為顯然，整理後結果和例-1）相同，k=-1當前14頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.1單自由度體系運動方程解：圖示結構只能產生豎向位移，顯然這是單自由度對稱振動。設質量豎向位移為v，向下為正。l/2l/2m例-4)試建立圖示抗彎剛度為EI簡支梁的運動方程。（不計軸向變形）P(t)因此由所示“外力”平衡可得1RP(t)RRfI+fd

利用對稱性由（形常數）可得質量點處所加支桿單位位移時的R（=？）。以m為隔離體，加上慣性力fI、阻尼力fd如圖所示，根據達朗泊爾原理和阻尼假定顯然,整理後結果和例-2)相同，k=-1當前15頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.1單自由度體系運動方程解：將慣性力fI、阻尼力fd如圖所示加于梁上，根據達朗泊爾原理和阻尼假定僅在P(t)作用下m的位移由位移計算得l/2l/2m例-5)若例-2)簡支梁動荷載作用在3l/4處,試建立其運動方程l/2l/2fIfdP(t)P(t)

由位移計算可知，單位荷載下簡支梁跨中豎向位移為作業：P-1的物理意義是什麼？

因此在所示“外力”下，質量的位移為當前16頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.1單自由度體系運動方程解：設質量水平位移為u，向右為正。例-6)試建立圖示質量、彈簧、阻尼器抽象化模型的運動方程。因此由所示“外力”平衡可得mk

以m為隔離體，加上慣性力fI、阻尼力fd如圖所示，此外還有彈簧的彈性恢復力fe。根據達朗泊爾原理和阻尼假定cmP(t)P(t)fIfefd

由這些例子顯然可見，不管什麼單自由度結構，運動方程的最終形式都是一樣的。當前17頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例單自由度體系運動方程建立小結

任何單自由度結構，運動方程都可寫為式中：m質量；c阻尼系數；k剛度系數；Peq為等效動荷載。當動荷載直接作用在質量上時，Peq為動荷載的合力在運動方向的投影；當動荷載不作用在質量上時，Peq為動荷載作用下限制沿自由度運動的支座反力。

用剛度法還是用柔度法建立方程，看具體問題是求剛度系數方便、還是求柔度系數方便來定。

沒有等效動荷為自由振動，沒第二項為無阻尼振動當前18頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程解：結構為兩自由度體系。設水平、豎向位移為u、v，分別向右、向下為正。例-7)試建立圖示結構的運動方程。各桿長度為l，抗彎剛度為EI。式中cij

為j方向單位速度引起的i方向的阻尼力。m

根據達朗泊爾原理和阻尼假定Px(t)11fIx+fdxfIy+fdy+Py(t)Px(t)Py(t)

為用柔度法建方程，沿位移正向加單位力的單位彎矩圖如圖所示。當前19頁，總共27頁。mPx(t)11fIx+fdxfIy+fdy+Py(t)Px(t)Py(t)2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程

由圖示單位彎矩圖可求得因此，在所示“外力”下u、v分別為當前20頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程

以矩陣方程表示，整理後可得記作[d]稱位移陣記作[P]稱荷載陣記作[f]稱柔度陣記作[M]稱質量陣記加速度、速度矩陣分別為和則上式可寫為記作[C]稱阻尼陣當前21頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程解：為用剛度法建方程，沿位移正向加限制位移的支座如圖所示。例-8)試用剛度法建立結構的運動方程。圖中

由位移法或彎矩分配法可做出支座單位位移的彎矩圖如圖示。mPx(t)Py(t)11M1M2M3M4當前22頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程mPx(t)Py(t)圖中11k11k21k12k22M1M2M3M4由此可求得圖示反力(剛度)系數kij當前23頁，總共27頁。

取質量為隔離體，加慣性力fIx、fIy，阻尼力fdx、fdy和彈性恢復力fex、

fey。2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程fIxfdxfexPxfIyfeyfdyPy

由達朗泊爾原理、阻尼理論和上述結果可得

列平衡方程并以矩陣方程表示，則得運動方程如下記作[k]稱剛度陣由兩例系數結果可證[k]=[f]-1當前24頁，總共27頁。2.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由度體系運動方程解：為用剛度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座產生圖示單位位移。例-9)試用剛度法建立圖示剪切型結構的運動方程。k1和k2為層側移剛度。

由層剛度定義可得1h1h2k1k2h1h2k1k21k11k21k22k12h2h1k1k2m1m2P2(t)P1(t)P1(t)fe1fd1fI1P2(t)fe2fI2fd2加慣性力、阻尼力後以樓層為隔離體當前25頁，總共27頁。P1(t)fe1fd1fI1P2(t)fe2fI2fd22.2運動方程建立舉例2.2.2兩自由