第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

知識點

1.只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的方程叫一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式是,其中二次項為,一次項,

常數(shù)項,二次項系數(shù)—，一次項系數(shù).

3.使一元二次方程左右兩邊叫一元二次方程的解。

一.選擇題

1.下列方程是一元二次方程的是()

A.x-2=0B.X2-4X-1=0C.X2-2X-3D.xy+l=O

2.下列方程中，是一元二次方程的是()

2223

A.5x+3=0B.x-x(x+1)=0C.4x=9D.x-x+4=0

3.關于x的方程(a+2)￡,-2一3X-1=0是一元二次方程，則a的值是()

A.a=±2B.a=-2C.a=2D.a為任意實數(shù)

4.把一元二次方程2x(x—1)=*-3)+4化成一般式之后，其二次項系數(shù)與一次項分別是

()

A.2,-3B.-2，-3C.2,-3xD.?2，-3x

5.若關于x的一元二次方程x2+5x+m2-l=0的常數(shù)項為0,則m等于()

A.1B.2C.1或-1D.0

6.把方程2(x2+l)=5x化成一般形式ax2+bx+c=0后，a+b+c的值是()

A.8B.9C.-2D.-1

7.（2013?安順）已知關于x的方程x2-kx-6=0的一個根為x=3,則實數(shù)k的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

8.（2013?牡丹江）若關于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0（aWO）的解是x=l,則2013-a-b

的值是（）

A.2018B.2008C.2014D.2012

二.填空題

9.當m=時，關于x的方程（加-3）X""7-x=5是一元二次方程；

10.若方程kx?+x=3x2+l是一元二次方程，則k的取值范圍是.

11.方程（3%-1）（犬+1）=5的一次項系數(shù)是.

12.（2012?柳州）一元二次方程3x2+2x-5=0的一次項系數(shù)是.

13.關于x的一元二次方程3x（x-2）=4的一般形式是.

14.（2005?武漢）方程3x?=5x+2的二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為.

15.（2007?白銀）己知x=-l是方程x2+mx+l=0的一個根，則m=.

16.（2010?河北）已知x=l是一元二次方程x'mx+nR的一個根，則m2+2mn+n2的值為.

17.（2013?寶山區(qū)一模）若關于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0的-一個根為0,則m

值是.

18.已知關于x的一元二次方程ax?+bx+c=O（a#0）有一個根為1,一個根為-1,則

a+b+c=,a-b+c=?

三.解答題

19.若（m+1）戶陽+6-2=0是關于x的一元二次方程，求m的值.

20.（2013?沁陽市一模）關于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？

請證明你的結論.

21.一元二次方程a（x+l）2+b（x+l）+c=0化為一般式后為3/+2x—l=0,試求

6+b-2=°的值的算術平方根.

21.1一元二次方程

知識點

1—,最高次數(shù)是2的整式。

2.?x2+bx+c=0（?*0）.ax1,bx,c,a,b.

3.相等的未知數(shù)的值。

選擇題

1.解：A、本方程未知數(shù)x的最高次數(shù)是1；故本選項錯誤；

B、本方程符合一元二次方程的定義：故本選項正確；

C、x2-2x-3是代數(shù)式，不是等式；故本選項錯誤；

D、本方程中含有兩個未知數(shù)x和y；故本選項錯誤；

故選B

2.解：A、方程5x+3=0未知數(shù)的最高次數(shù)是1,屬于一元一次方程；故本選項錯誤;

B、由原方程，得-x=0,屬于一元一次方程；故本選項錯誤；

C、一元二次方程的定義；故本選項正確；

D、未知數(shù)x的最高次數(shù)是3；故本選項錯誤；

故選C

3.分析：本題根據(jù)一元二次方程的定義求解.

一元二次方程必須滿足兩個條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0.

由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可.

故選C

4.解：一元二次方程2x（x-1）=（x-3）+4,

去括號得：2x?-2x=x-3+4,

移項，合并同類項得：2X2-3X-1=0,

其二次項系數(shù)與一次項分別是2,-3x.

故選C

5.解：：x2+5x+m2-l=0的常數(shù)項為0,

解得：m=l或-1.

故選C

6.解：2(x2+l)=5x,

2X2+2-5X=0,

2X2-5X+2=0,

這里a=2,b=-5,c=2,

即a+b+c=2+(-5)+2=-l,

故選D

7.解：因為x=3是原方程的根，所以將x=3代入原方程，即32-3k?6=0成立，解得k=l.

故選A.

8.解：,.,x=l是一元二次方程ax,bx+SR的一個根，

Aa-l2+b*1+5=0,

/.a+b=-5，

A2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.

故選A

二.填空題

9.解：由一元二次方程的特點得m?-7=2,即m=±3,m=3舍去，即m=-3時，原方程是一

元二次方程

10.解：化為一般形式是(k-3)x2+x-l=0,根據(jù)題意得：k-3W0,

解得kW3.

11.解：(3x-l)(x+1)=5,

去括號得：3X2+3X-X-1=5,

移項、合并同類項得：3X2+2X-6=0,

即一次項系數(shù)是2,

故答案為：2.

12.解：一元二次方程3x2+2x-5=0的一次項系數(shù)是：2.

故答案是：2.

13.解：方程3x(x-2)=4去括號得3X2-6X=4,移項得3x2-6x-4=0,原方程的一般形式是

3X2-6X-4=0.

14.解：；3X2=5X+2的一般形式為3X2-5X-2=0,.?.二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-5.

15.解：把x=-l代入方程可得：l-m+l=O,

解得m=2.

故填2.

16.解：：x=I是一元二次方程x2+mx+n=0的一個根，

m+n+l=O,

m+n=-1,

m2+2mn+n2=(m+n)2=(-1)2=1.

17.解：根據(jù)題意，得

x=0滿足關于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0,

m2-4=0,

解得，m=±2；

又?.,二次項系數(shù)m-2W0,即mW2,

m=-2；

故答案為：-2.

18.解：根據(jù)題意，一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根為1,一個根為-1,

即x=l或-1時，ax2+bx+c=O成立，

即a+b+c=O或a-b+c=O

故答案為0,0.

三.解答題

19.本題根據(jù)一元二次方程的定義求解.一元二次方程必須滿足兩個條件：

(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(2)二次項系數(shù)不為0.由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可.

解得m=l.

20.解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-l9X4=-8<0,方程無解.

故關于x的方程(m2-8m+19)x2-2mx-13=0一定是一元二次方程.

21.把a(x+1)2+b(x+1)+c=0去括號、合并同類項，化作一元二次方程的一般形式，對

3X2+2X-1=0,求出a、b、c的值，再代入計算.a?+b2-c2的值的算術平方根是5.

一元二次方程

知識點

1—,最高次數(shù)是2的整式。

2.?x2+bx+c=0（?*0）.ax1,bx,c,a,b.

3.相等的未知數(shù)的值。

選擇題

1.解：A、本方程未知數(shù)x的最高次數(shù)是1；故本選項錯誤；

B、本方程符合一元二次方程的定義：故本選項正確；

C、x2-2x-3是代數(shù)式，不是等式；故本選項錯誤；

D、本方程中含有兩個未知數(shù)x和y；故本選項錯誤；

故選B

2.解：A、方程5x+3=0未知數(shù)的最高次數(shù)是1,屬于一元一次方程；故本選項錯誤;

B、由原方程，得-x=0,屬于一元一次方程；故本選項錯誤；

C、一元二次方程的定義；故本選項正確；

D、未知數(shù)x的最高次數(shù)是3；故本選項錯誤；

故選C

3.分析：本題根據(jù)一元二次方程的定義求解.

一元二次方程必須滿足兩個條件：

（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

（2）二次項系數(shù)不為0.

由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可.

故選C

4.解：一元二次方程2x（x-1）=（x-3）+4,

去括號得：2x?-2x=x-3+4,

移項，合并同類項得：2X2-3X-1=0,

其二次項系數(shù)與一次項分別是2,-3x.

故選C

5.解：：x2+5x+m2-l=0的常數(shù)項為0,

解得：m=l或-1.

故選C

6.解：2(x2+l)=5x,

2X2+2-5X=0,

2X2-5X+2=0,

這里a=2,b=-5,c=2,

即a+b+c=2+(-5)+2=-l,故選D

7.解：因為x=3是原方程的根，所以將x=3代入原方程，即32-3k-6=0成立，解得k=L

故選A.

8.解：??,x=l是一?元二次方程ax2+bx+5=0的一個根，

Aa-l2+bH+5=0,

/.a+b=-5,

A2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.

故選A

二.填空題

9.解：由一元二次方程的特點得m'-7=2,即m=±3,m=3舍去，即m=-3時，原方程是一

元二次方程

10.解：化為一般形式是(k-3)x2+x-l=0,根據(jù)題意得：k-3W0,

解得kW3.

11.解：(3x-l)(x+1)=5,

去括號得：3X2+3X-X-1=5,

移項、合并同類項得：3X2+2X-6=0,

即一次項系數(shù)是2,

故答案為：2.

12.解：一元二次方程3x2+2x-5=0的一次項系數(shù)是：2.

故答案是：2.

13.解：方程3x(x-2)-4去括號得3xZ6x=4,移項得3x2-6x-4=0,原方程的一般形式是

3X2-6X-4=0.

14.解：：3x2=5x+2的一般形式為3x2-5x-2=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-5.

15.解：把x=-l代入方程可得：l-m+l=O,

解得m=2.

故填2.

16.解：：x=l是一元二次方程x2+mx+n=0的一個根，

.'.m+n+l=O,

m+n=-1,

m2+2mn+n2：=(m+n)2-(-1)2=1.

17.解：根據(jù)題意，得

x=0滿足關于x的一元二次方程(m-2)x2+x+m2-4=0,

."?m2-4=0>

解得，m=±2；

又：二次項系數(shù)m-2#0,即m#2,

m=-2；

故答案為：-2.

18.解：根據(jù)題意，一元二次方程ax，bx+c=()有一個根為1,—個根為-1,

即x=l或-1時，ax，bx+c=O成立，

即a+b+c=O或a-b+c=O

故答案為0,0.

三.解答題

19.本題根據(jù)一元二次方程的定義求解.一元二次方程必須滿足兩個條件：

(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；

(2)二次項系數(shù)不為0.由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可.

解得m=l.

20.解:方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19X4=-8<0,方程無解.

故關于x的方程(n?-8m+19)x2-2mx-13=0一定是一元二次方程.

21.把a(x+1)2+b(x+1)+c=0去括號、合并同類項，化作一元二次方程的一般形式，對

照3X2+2X-1=0,求出a、b、c的值，再代入計算.aZ+b?。的值的算術平方根是5.

22.1.1二次函數(shù)

知識點：1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做二次

函數(shù)，其中x是,a,b,c分別是函數(shù)表達式

的,,。

2.當。=0時，這個函數(shù)還是二次函數(shù)嗎？為什么？Z?或c能為0嗎？

一、選擇題

1.下列各式中表示二次函數(shù)的是()

A.)>=x2+—+1B.y=2-x2C.j=-^--x2Djy=(x-l)2-x2

XX

2.國家決定對某藥品價格分兩次降價，若設平均每次降價的百分比為X,該藥品的原價為36

元，降價后的價格為y元，則y與工之間的函數(shù)關系為()

A.y=72(1—x)B.y=36(1—x)C.y=36(1—x2)D.y=36(1—x)2

3.下列函數(shù)中：(1)y=2(x—l)(x+4)；(2)y=3(x-l)2+2；(3)y=x2+-^+l；

x

(4)y=(x—3)2-f不是二次函數(shù)的是()

A.⑴⑵B.(3)⑷C.⑴⑶D.⑵⑷

4.若y=(加2+m)x?2-2,Z—x+3是關于x的二次函數(shù)，貝I」()

A.m=-1或相=3B.根。-1且根工0C.fn=-1D.m=3

x2+2(x<2)

5.若函數(shù)y=<<一),則當函數(shù)值y=8時，自變量的值是()

2x(x>2)

A.+V6B.4C.±后或4D.4或一遍

6.適合解析式y(tǒng)=-x2+l的一對值是()

A.(1,0)B.(0,0)C.(0,-1)D.(1,1)

二.填空題

1.二次函數(shù)y=2玄2—3衣+4中，二次項系數(shù)是,一次項系數(shù)是o

2.把y=(3x-2)(x+3)化成y=af+bx+c的形式后為,其一次項系數(shù)與常

數(shù)項的和為o

3.若y+3與/成正比例，當》=—2時，y=5,則y與x的函數(shù)關系式為。

4.矩形的邊長分別為2cm和3cm,若每邊長都增加XC加，則面積增加yew?,則y與》的函數(shù)關

系式為o

5.當常數(shù)機H時，函數(shù)y=5?-2加-8)/+(m+2)x+2是二次函數(shù)：當常

數(shù)加=時，這個函數(shù)是一次函數(shù)。

6.從地面豎直向上拋出一個小球，小球的高度〃(單位：m)與小球的運動時間，(單位：s)

之間的關系式為力=3。-5/，那么小球從拋出至回落到地面所需的時間是。

7.如圖，在直角梯形ABC。中，8尸=AE=OG=x,A8=6,8=3,Ar>=4,則四邊形

,DGC

CGEF的面積y與x之間的函數(shù)關系式為,U

自變量尤的取值范圍是。

8.教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發(fā)現(xiàn)鉛球行進高度>>(m)與水平距離宜加)之間的

關系式為y=-'(x-4)2+3,由此可知鉛球推出的距離是__________。

12

三.解答題

1.已知二次函數(shù)y=［？+bx+3,當x=2時,y=3,求這個二次函數(shù)的解析式.

2.已知函數(shù))=(加一l)x"+"'+2x—根是二次函數(shù)，求加的值，并指出二次項系數(shù)，一次項

系數(shù)及常數(shù)項.

3.已知函數(shù)y=(加2—〃z)無2+/nx+(m+l),加是常數(shù).

(1)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求加的值；

(2)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求團的值。

4.汽車在行駛中，由于慣性作用剎車后還要向前滑行一段路程才能停止，我們稱這段路程為

“剎車距離”。已知某種汽車的剎車距離＞(m)與車速之間有如下關系：

y=0.01x2+0.1x,當司機小張以80協(xié)?/〃的速度行駛時，發(fā)現(xiàn)前方大約6許?處有一障礙

物阻塞了道路，于是小張緊急剎車，問汽車是否撞到障礙物？

5.如圖，用長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形養(yǎng)雞場ABCD,已知墻長14m,設邊AD

的長為x(m),矩形ABCD的面積為yS?).(D求＞與》之間的函數(shù)關系式及自變量》的

取值范圍；(2)當y=108時，求x的值。

AB

第5題圖

22.1.1二次函數(shù)

知識點：y=ad+8x+c（a、b、c、是常數(shù)，awO）,自變量,二次項系數(shù)，一次項系

數(shù)，常數(shù)項.

—.選擇題LB2.D3.B4.D5.D6.A

y=3%2+7x-63.V=2^2-3.

-.填空題1.2肛-3萬2.4

y=x24-5x4-65m4,-2jy—^—7x+180<x<3

46.八

8.10

三解答題

⑴解：把r=2,y=3代入y=-r,2+/7x+3

.-.3=-22+2/7+3

.,./?=4

/.y--x2+4無=3

m2+m-2

2.⑴由題意得

m-\工0

m=-2或加=1

〃zw1

/.m=-2

二次項系數(shù)為-3,

一次項系數(shù)為2,常數(shù)項為2

m2-m=0

3.⑴依題意得

m^O

m=0或機=1

"2w0

m-1

⑵依題意得團2-"2。0

mw0且用w1

4.解：為=8時，y=72>60,

二汽車會撞到障礙物

5.⑴y=x(30-2x)=-lx1+30x

(8<x<15)

⑵當y=10時，

-2X2+30X=108

Xj=6,x2=9

,/8<x<15

x=9

22.1.2二次函數(shù)丁=0曠的圖象和性質

知識點：1.列表，描點，連線

2.拋物線，a的正負，

3.y軸（0,0）上最低點小下最高點大

選擇題

l.D2.B3.B4.B5.B6.C7.C8.D

填空題

Ly軸(x=0)(0,0)上>0<0小值0

2.y軸(x=0)(0,0)下<0>0大值0

65.④6.1

3.>4.7.①③②8.(-1,1)和(2,4)

解答題

,什機+2w0

1.(1)由題意<

[m"+加-4=2

mW—2

<

[m=-3或2

m=-3或2

(2)m+2>0

/.m>-2

/.tn=2

???N=412最低點是(0,0)

當冗>0時，y隨x的增大而增大

(3)m+2<0

/.m<-2

m=-3

/.y=--最大值是0

當x>0時，y隨工的增大而減小

2.(1)把(-2-3)和(1,6)代入y=

px(-2)2+Z?=-3

+〃=6

a=-3

b=9

z.y=-3x2+9

(2)當九〉0時，y隨x的增大而減小

3.⑴把尸(l,〃z)代入y=2x-l中

/7Z=2x1-1=1

???P(U)

把P(l,l)代入y=ad中

a=I

(2)y=/,當工>。時，y隨工的增大而增大

4.設拋物線解析式為=ax2

把(0.8,-2.4)代入上式

，-2.4="0.82

5在y=中令y=-2

=-2

x=±V2

A(-V2,-2),B(V2-2)

=—x2V2x/?=2V2

h=2

???點尸的縱坐標為0或-4

/.在y=中令y=0/.X=0

再令y=-4/.x=±2

??.P(0,0),P(2,—4)P(—2,—4)

22.1.2二次函數(shù)y=。(工一無)2+無(。。0)的圖象和性質(三)

知識點：1、拋物線y=a(x-+k(a豐0)的對稱軸為，頂點坐標為

2、拋物線y=a(x-H)2+k(a中0)與拋物線y=ad(a/0)的形狀，位置______

將拋物線y=ax2(a^0)進行平移可得到拋物線y=a(x-h)2+k(a豐0),平移規(guī)律為：

當6>0#>0時，將拋物線y=ax'(a豐0)得到拋物線

y=a{x-h)2+Z(aw0)；

當力>0,左<0時，將拋物線y=tzx2(a豐0)得到拋物線

y=a(x-h)2+k(a0)；

當力<OM>()時，將拋物線y=ax2(aw0)得到拋物線

y-a(x—h)2+k(a豐0)；

當力<0,左<()時，將拋物線y=a%2(aH0)得到拋物線

y-a(x—h)2+k(a。0)；

3、拋物線丁="(工一/2)2+左(“。0)的圖象特點：

a>0時，拋物線開口向—，左—右—,頂點最—：

。<0時，拋物線開口向—，左—右—，頂點最—；

一、選擇題：

1、拋物線y=-2(x-l)2+g的頂點坐標為()

A、(-1,一)B、(1,—)C^(-1,—)D^(1>一)

2222

2、對于y=2(x-3)2+2的圖象，下列敘述正確的是()

A、頂點坐標為(-3,2)B、對稱軸是直線y=-3

C、當xN3時，y隨尤的增大而增大D、當xN3時，y隨x的增大而減小

3、將拋物線y=/向右平移一個單位長度，再向上平移3個單位長度后，所得拋物線的解

析式為()

A->y—(x+1)~+3By—(x—1)"+3C、y—(x+1)~—3D、y=(x—1)^—3

4、拋物線y=—2(x+l)2—2可由拋物線y=—2/平移得到，則下列平移過程正確的是

()

A、先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

B、先向右平移1個單位，再向下平移2個單位

C、先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

D、先向左平移1個單位，再向下平移2個單位

5、如圖，把拋物線y=x2沿直線y=x平移近個單位后，其頂點在直線上的A處，J

則平移后的拋物線解析式是()\\j

A、y=(x+1)2-lB.y=(x+1)2+lC.y=(x-1)2+lD.y=(x-1)2-1/V

11,

6、設A(-1,%)、B(1,y2).C(3,y3)是拋物線y=R上的三個點,

則>1、>2、%的大小關系是()

A、必<%<%B、y2<yt<y3C、D、％<%<力

7、若二次函數(shù)y=(x—機)2—1.當xWl時，y隨尤的增大而減小，則:〃的取值范圍是()

A.m=\B.m>\C./篦N1D.m^1

8、二次函數(shù)y=a(x+/n)2+〃的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=+〃的圖象

經(jīng)過()

A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限

C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限

二、填空題：

1、拋物線y=—2(x+3)2—1的對稱軸是,頂點坐標是；當x時，y隨

x的增大而增大，當x時，y隨x的增大而減小，當x時，y取最—值為一。

2、拋物線丁=4(》+〃)2+%的頂點在第三象限，則有力/滿足人0,k0。

3、已知點A(X],%)、B(%?，取)在二次函數(shù)N=0-1)2+1的圖象上，若F>x2>1,

則必—為(填“>”、"V”或“=

4、拋物線的頂點坐標為P(2,3),且開口向下，若函數(shù)值y隨自變量X的增大而

減小，那么X的取值范圍為。

5、在平面直角坐標系中，點A是拋物線y=a(x-3)2+左與y軸的交點，點B

是這條拋物線上的另一點，且AB〃x軸，則以AB為邊的等邊三角形ABC的周長為。

6、將拋物線y=-Y先沿x軸方向向—移動一個單位，再沿y軸方向向—移動一個

單位，所得到的拋物線解析式是y=—(x-3)2+1。

7、將拋物線y=—/+l先向左平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得拋物線的函

數(shù)關系式是。

8、將拋物線y=-2(x+l)2+l繞其頂點旋轉180°后得到拋物線的解析式為L

將拋物線y=-2(x+1)?+1繞原點旋轉180°后得到拋物線的解析式為。

9、拋物線n二奴工一力尸+女的頂點為（3,-2）,且與拋物線y=的形狀相同，則4

三、解答題:

1、若二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（-1,5）,且經(jīng)過點（1,2）,求出二次函數(shù)的解析式。

2、若拋物線經(jīng)過點（1,1）,并且當x=2時，y有最大值3,則求出拋物線的解析式。

3

3、已知：拋物線y=-（x-1）23

4

（1）寫出拋物線的開口方向、對稱軸；

（2）函數(shù)y有最大值還是最小值？并求出這個最大（?。┲?；

（3）設拋物線與y軸的交點為P,與x軸的交點為Q,求直線PQ的函數(shù)解析式.

4、在直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的頂點為A（1、-4）,且經(jīng)過點B（3,0）

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）當一3Vx<3時，函數(shù)值y的增減情況；

（3）將拋物線怎樣平移才能使它的頂點為原點。

5、如圖是二次函數(shù)y=（x+㈤2+左的圖象，其頂點坐標為M（1,-4）

（1）求出圖象與x軸的交點A、B的坐標；

（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使

的坐標；若不存在，請說明理由。

22.1.2二次函數(shù)y=一⑶2+k（a手0）的圖像和性質

一、理解新知

1、直線x=h（h,k）2、相同不同向右平移h個單位，再向上平移k個單位;

向右平移h個單位，再向下平移|k|個單位；向左平移|h|個單位,再向上平移k個單位;

向左平移|h|個單位，再向下平移|k|個單位。

3、上減增低；下增減高

二、知識鞏固練習:

（一）選擇:

1、B2、C3、B4、D5、C6、C7、C8、C

（二）填空:

1、直線x=-3(-3,-1)大-1

2、>0<03、>4、x>25、18

y=—(x+2)2—2

6、右3上17、

8、y=2(x+l)2+ly=2(1)2-1

9、3310、①

（三）解答:

1、解:?.?二次函數(shù)的圖象頂點為(-1,5)

.?.設二次函數(shù)的解析式為=a(x+l)2+5

又?.?圖象過點0,2).?..(1+1)2+5=2a=--

4

.?.'=—%+1)2+5

2、解:???x=2時函數(shù))，取得最大值3

/.設拋物線解析式為=?(x-2)2+3

又?.?拋物線過點Q,D.-.?(1-2)2+3=1a=-2

.?.y=—2(x—2-+3

3、解：Q)拋物線的開口I可上，對稱軸為直韁=1

(2)y有最小值，當r=l時，ymin=-3

(3)令％=0得y=——33=—Q二令y=0得"3-1)2—3=0解得玉=3,々=一1

444

即與x軸得交點為30)或(-1,0)

o

則P(0,-^),Q(3,0)或,所以直加Q可分兩種情況：

「3

9k=—

1。若P(0,—2),Q(3,0)設/相：y=A：|X+仇，貝川b'=-4解制'1

4〔3匕+仇=0b,=--

9

---

24

2°若P(0,-2),Q(-1,0)設/腿：y=Lx+A,則1解得.9

-

4[~k+b=0--

2224

99

y=——x——

.44

綜上所述，直紳Q的解析式為y='-2或y=-'_2

-44-44

4、解：QA.?二次函數(shù)的圖象頂點淞(1,-4)

設二次函數(shù)的解析式為=a(x-1)2-4

又?.?二次函數(shù)圖象過翹(3,0)；.a(3-1)2-4=0解得“=1

y=(》_/_4)

⑵???拋物線對稱軸為直繚=1,開口向上

.?.當-3<x<l時，y隨尤的增大而減小，當4x<3時，y隨x的增大而增大

(3)將拋物緝=(x-1)2一4向左平移1個單位，再向上平移I個單位即可實現(xiàn)拋物線頁點為原點

5、解:a”?拋物線解析式沏=(x+m)2+左的頂點為M(1,_為

y=(x—1)2-4令y=0得(x—I)2—4=0解得f=3,尤之=—1

A(-1,0),8(3,0)

(2):"43與9^8同底，且SAPAB=：SAMAB

W=：I>M=(X4=5即%=±5

又?.?點P在y=(%-1)2-4的圖象上力2-4

=5,貝IJ(x—l)2—4=5,解得網(wǎng)=4,七=一2

二.存在合適的觸，坐標為(4,5)或(-2,5)

22.1.2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質

知識點：1.用描點發(fā)畫函數(shù)圖象的步驟是,,0

2.二次函數(shù)圖象是,開口方向由決定，開口大小的程度又是由誰決

定的？

3.--般地,拋物線y=a^的對稱軸是，頂點坐標是.當a>0時,拋物線

開口向，頂點是拋物線的,a越大，拋物線的開口越；當

。<0時,拋物線開口向頂點是拋物線的,a越大,拋物線的開口

越。

—.選擇題

1.關于函數(shù)y=31的性質的敘述，錯誤的是（）.

A.對稱軸是y軸B.頂點是原點

C.當x>0時,y隨x的增大而增大D.y有最大值

2.在同一坐標系中,拋物線y=f,y=—/,丁=；》2的共同點是（）.

A.開口向上，對稱軸是y軸，頂點是原點

B.對稱軸是y軸,頂點是原點

C.開口向下，對稱軸是y軸，頂點是原點

D.有最小值為0

3.函數(shù)y=與y=的圖象可能是（）

4.在同一平面直角坐標系中，同一水平線上開口最大的拋物線是（）

212V32

A.y=-XB.y=—xC.y=----xD.

J33

5.下列函數(shù)中，具有過原點，且當x>0時,y隨X增大而減小，這兩個特征的有（）.

①y=_af（a>0）:②,=（a—l）x2（?<1）;（§）y——2x+a2（a0）;

3

④y=-x-a（a豐0）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.若對任意實數(shù)x,二次函數(shù)y=（a+l）/的值總是非負數(shù)，則a的取值范圍是（）.

A.—1B.—1C.（1>?-1D.a<-1

7.下列說法錯誤的是（）.

A.在二次函數(shù)y=31中，當x>0時,y隨x的增大而增大

B.在二次函數(shù)y=—6/中，當x=0時,y有最大值0

C.。越大圖象開口越小越小圖象開口越大

D.不論。是正數(shù)還是負數(shù)，拋物線y=af（a*0）的頂點一定是坐標原點

8.已知點4（一3,乂）,8（-1,必）,。（2,為）在拋物線>=*%2上，則加%,%的大小關系

是（）.

A.弘<%<%B.C.%<%<%D.必<%<凹

二.填空題

1.拋物線y=的對稱軸是（或）,頂點坐標是,拋物線上

的點都在x軸的方，當x時，y隨x的增大而增大，當x時，y隨x的

增大而減小，當》=時，該函數(shù)有最值是o

2..拋物線y=-6/的對稱軸是（或）,頂點坐標是,拋物線上

的點都在x軸的方，當x時，y隨x的增大而增大，當x時，y隨尤的

增大而減小，當％=時，該函數(shù)有最值是o

3.二次函數(shù)y=—巳―，當X|>X2>0時，試比較力和力的大?。篨必（填“>”，

或"="）

4.二次函數(shù)卜=m丫"）在其圖象對稱軸的左則，y隨x的增大而增大，機=

5.對于函數(shù)y=2/下列說法：①當x取任何實數(shù)時，y的值總是正的；②x的值增大，y的

值也增大；③y隨x的增大而減小；④圖象關于y軸對稱。其中正確的是。

6.拋物線y=x2+1的最小值是。.

7.如圖所示，在同一坐標系中,作出①>=3,②丁=1，③>=—的圖\/

象,則圖象從里到外的三條拋物線對應的函數(shù)依次是（填序號）//

8.直線y=x+2與拋物線y=i的交點坐標是[X

9.已知點（石,一7）和點（%2，-7）（玉。工2）均在拋物線y=aW上，則當％=玉+%2時，y的值

是0

10.拋物線y=2x2與直線y=3x+〃的一個交點坐標是（3,/n）,則另一個交點坐標

是o

三.解答題

1.已知函數(shù)y=（〃z+2卜'"+"T是關于％的二次函數(shù)，求：

（1）滿足條件的加的值；

（2）“2為何值時，拋物線有最底點？求出這個最底點，當x為何值時，y隨x的增大而增

大；

（3）為何值時，拋物線有最大值？最大值是多少？當x為何值時，y隨x的增大而減小？

2.已知拋物線y=ax2+。過點（一2,—3）和點（1,6）

（1）求這個函數(shù)解析式；

（2）當x為何值時，函數(shù)y隨x的增大而減小。

3.已知二次函數(shù)丁=。興的圖象與直線y=2x-l交于點P(l,m).

⑴求a,加的值；

⑵寫出二次函數(shù)的解析式，并指出x在和范圍內時，y隨x的增大而增大.

4.如圖，某涵洞的截面是拋物線的一部分，現(xiàn)水面寬45=1.6加，涵洞頂點。到水面的距離

為2.4〃?，求涵洞所在拋物線的解析式。

5.直線y=—2與拋物線y=-Y交于A,8兩點，點P在拋物線丁=-犬上，若A7%6的面積

為2痣，求點P的坐標。

22.1.3函數(shù)y=a%2+c的圖象與性質(一)

知識點：函數(shù)y=。幺+c(awO)的圖象是一條,對稱軸是,頂點

是,當。>0,拋物線開口,頂點是拋物線的,當。<0,

拋物線開口，頂點是拋物線的。

選擇題

1.拋物線y=2f+i的頂點坐標是()

A.(0,1)B.(0,-1)C.(1,0)D.(-1,0)

2.拋物線丁=。9+以與x軸有兩個交點，且開口向下，則6的取值范圍分別是

()

A.a>0,Z?>0B.a>O,b<0C.a<0,b<0D.a<0,b>0

3.如圖，小芳在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=一1x2+3.5的一部分，若命中野

圈中心，則他與籃底的距離/是()'

/

A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m/

4.將拋物線y=2f—3平移后得到拋物線y=2一,平移的方法可以是()第3題

A.向下平移3個單位長度B.向上平移3個單位長度

C.向下平移2個單位長度D.向下平移2個單位長度

5.拋物線y=-2X2+1的對稱軸是()

A.直線x=LB.直線x=—4C.y軸D.直線x=2

6.拋物線y=%2—4與x軸交于B,C兩點，頂點為A,則A43C的周長為()

A.475B.475+4C.12D.275+4

7.在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=6zx+c和二次函數(shù)y=aW+c的圖象大

致所示中的（）

二.填空題

1.拋物線y=—2——3的開口，對稱軸是，頂點坐標是，當x

時,y隨x的增大而增大，當x時,y隨x的增大而減小.

2.二次函數(shù)yuaV+cQwO）中，若當x取斗士盤產々）時，函數(shù)值相等，則當x取

玉+當時，函數(shù)值等于。

3.任給一些不同的實數(shù)*,得到不同的拋物線y=/+k,當女取0,±1時，關于這些拋

物線有以下判斷：①開口方向都相同；②對稱軸都相同；③形狀相同；④都有最底點。其中

判斷正確的是。

4.點A（3,m）在拋物線y=x2-l±.,則點A關于x軸的對稱點的坐標為。

5.若拋物線y=x2+（m-2）x+3的對稱軸是y軸，則加=。

6.若一條拋物線與>=：尤2的形狀相同且開口向上，頂點坐標為（0,2）,則這條拋物線的

解析式為。

7.與拋物線^=-5x2+3關于％軸對稱的拋物線的解析式為。

8.己知A（T，x）,3（正,必）,。（2,%）三點都在二次函數(shù)丁=。幺一1（。>°）的圖象上，那么

X，%，%的大小關系是。（用“〈”連接）

三.解答題

1.已知拋物線丁=二？+8過點(-2,-3)和點(1,6)

(1)求這個函數(shù)的關系式；

(2)當為何值時，函數(shù)y隨X的增大而增大。

2.已知直線y=2x和拋物線y=af+3相交于點A(2,h)，求的值;

3.如圖，已知拋物線的頂點為A(O,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，點D、

E在x軸上，CF交y軸于點B(0,2),且矩形其面積為8,此拋物線的解析式。

2

22.1.3函數(shù)丁=.*+c的圖象與性質（一）

知識點：拋物線y軸(0,h)向上最低點向下最高點

一.選擇題

l.A2.D3.B4.B5.C6.B7.B

二.填空題

1.下y軸(0,-3)<0>