第四章不可壓縮流體的有旋流

動和二維無旋流動第一節流體微團運動分析第二節有旋流動和無旋流動第三節無旋流動的速度勢函數第四節二維平面流動的流函數第五節基本的平面有勢流動第六節平面勢流的疊加流動歡迎進入第四章的學習

流體由于具有易變形的特性（易流動性），因此流體的運動要比工程力學中的剛體的運動復雜得多。在流體運動中，有旋流動和無旋流動是流體運動的兩種類型。由流體微團運動分析可知，有旋流動是指流體微團旋轉角速度的流動，無旋流動是指的流動。實際上，黏性流體的流動大多數是有旋流動，而且有時是以明顯的旋渦形式出現的，如橋墩背流面的旋渦區，船只運動時船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風等等。但在更多的情況下，流體運動的有旋性并不是一眼就能看得出來的，如當流體繞流物體時，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內，每一點都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運動，更是充滿著尺度不同的大小旋渦。

流體的無旋流動雖然在工程上出現得較少，但無旋流動比有旋流動在數學處理上簡單得多，因此，對二維平面勢流在理論研究方面較成熟。對工程中的某些問題，在特定條件下對黏性較小的流體運動進行無旋處理，用勢流理論去研究其運動規律，特別是繞流物體的流動規律，對工程實踐具有指導意義和應用價值。因此，本章先闡述有旋流動的基本概念及基本性質，然后再介紹二維平面勢流理論。

第一節流體微團運動分析剛體的一般運動可以分解為移動和轉動兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流動性，極易變形。因此，任一流體微團在運動過程中不但與剛體一樣可以移動和轉動，而且還會發生變形運動。所以，在一般情況下流體微團的運動可以分解為移動、轉動和變形運動三部分。一、表示流體微團運動特征的速度表達式圖4-1分析流體微團運動用圖

剪切變形速率、、、、、，引入記號，并賦予運動特征名稱：線變形速率、、，、、，（4-1）（4-2）于是可得到表示流體微團運動特征的速度表達式為旋轉角速度、、，（4-3）（4-4）二、流體微團團運動的分解解為進一步分析析流體微團的的分解運動及及其幾何特征征，對式(4-4)有較較深刻的理解解，現在分別別說明流體微微團在運動過過程中所呈現現出的平移運運動、線變形形運動、角變變形運動和旋旋轉運動。為簡化分析，，僅討論在平平面面上流體微團團的運動。假假設在時刻，，流體體微團ABCD為矩形，，其上各點的的速度分量如如圖4-2所所示。由于微微團上各點的的速度不同，，經過時間，，勢必必發生不同的的運動，微團團的位置和形形狀都將發生生變化，現分分析如下。1．平移運運動圖4-2分析流流體微團平平面運動用用圖a2．線變形形運動b圖4-3流流體微微團平面運運動的分解解(a)返回圖4-3流流體微微團平面運運動的分解解(b)返回圖4-3流流體微微團平面運運動的分解解(c)返回圖4-3流流體微微團平面運運動的分解解(d)返回3．角變形形運動c4．旋轉運運動d綜上所述，，在一般情情況下，流流體微團的的運動總是是可以分解解成：整體體平移運動動、旋轉運運動、線變變形運動及及角變形運運動，與此此相對應的的是平移速速度、旋轉轉角速度、、線變形速速率和剪切切變形速率率。第二節有有旋流動動和無旋流流動一、有旋流流動和無旋旋流動的定定義二、速度環環量和旋渦渦強度一、有旋流流動和無旋旋流動的定定義流體的流動動是有旋還還是無旋，，是由流體體微團本身身是否旋轉轉來決定的的。流體在在流動中，，如果流場場中有若干干處流體微微團具有繞繞通過其自自身軸線的的旋轉運動動，則稱為為有旋流動動。如果在在整個流場場中各處的的流體微團團均不繞自自身軸線的的旋轉運動動，則稱為為無旋流動動。這里需需要說明的的是，判斷斷流體流動動是有旋流流動還是無無旋流動，，僅僅由流流體微團本本身是否繞繞自身軸線線的旋轉運運動來決定定，而與流流體微團的的運動軌跡跡無關，在在圖4-4(a)中，雖然然流體微團團運動軌跡跡是圓形，，但由于微微團本身不不旋轉，故故它是無旋旋流動；在在圖4-4(b)中，雖然然流體微團團運動軌跡跡是直線，，但微團繞繞自身軸線線旋轉，故故它是有旋旋流動。在在日常生活活中也有類類似的例子子，例如兒兒童玩的活活動轉椅，，當轉輪繞繞水平軸旋旋轉時，每每個兒童坐坐的椅子都都繞水平軸軸作圓周運運動，但是是每個兒童童始終是頭頭向上，臉臉朝著一個個方向，即即兒童對地地來說沒有有旋轉。圖4-4流流體微團團運動無旋流動動有旋流動動判斷流體體微團無無旋流動動的條件件是：流流體中每每一個流流體微團團都滿足足根據式（（4-3），則則有（4-8）二、速度度環量和和旋渦強強度1．速度度環量為了進一一步了解解流場的的運動性性質，引引入流體體力學中中重要的的基本概概念之一一——速速度環量量。在流場中中任取封封閉曲線線k，如如圖4-5所示。速速度沿沿該該封閉曲曲線的線線積分稱稱為速度度沿封閉閉曲線k的環量量，簡稱稱速度環環量，用用表表示，，即式中————在封閉閉曲線上上的速度度矢量；；——速度度與該點點上切線線之間的的夾角。。速度環量量是個標標量，但但具有正正負號。。（4-9）圖4-5沿沿封閉曲曲線的速速度環量量在封閉曲曲線k上上的速度度矢量速度與與該該點上切切線之間間的夾角角速度環量量的正負負不僅與與速度方方向有關關，而且且與積分分時所取取的繞行行方向有有關。通通常規定定逆時針針方向為為K的正正方向，，即封閉閉曲線所所包圍的的面積總總在前進進方向的的左側，，如圖4-5所所示。當當沿順時時針方向向繞行時時，式（（4-9）應加加一負號號。實際際上，速速度環量量所表征征的是流流體質點點沿封閉閉曲線K運動的的總的趨趨勢的大大小，或或者說所所反映的的是流體體的有旋旋性。由于和和，，則代入式（（4-9），得得（4-10）2．旋渦渦強度沿封閉曲曲線Ｋ的速度環環量與有有旋流動動之間有有一個重重要的關關系，現現僅以平平面流動動為例找找出這個個關系。。如圖4-6所所示，在在平面上上取取一微元元矩形封封閉曲線線，其面面積，流體在A點的速度度分量為和，則B、C和D點的的速度分量分別為為：圖4-6沿微微元矩形的速度環環量于是，沿封閉曲線線反時針方向ABCDA的速度環環量將、、、和和、、、、各各值代入上式，，略去高于一階的的無窮小各項，再再將式（4-3））的第三式代入后后，得然后將式（4-11）對面積積分分，得（4-11）（4-12）于是得到速度環量量與旋轉角速度之之間關系的斯托克克斯定理：沿封閉閉曲線的速度環量量等于該封閉周線線內所有的旋轉角角速度的面積積分分的二倍，稱之為為旋渦強度I，即即和式中———在微元元面積的的外法線上上的分量。（4-13）由式（4-11））可導出另一個表表示有旋流動的量量，稱為渦量，以以表示之。。它定義為單位面面積上的速度環量量，是一個矢量。。它在Z軸方向的的分量為對于流體的空間流流動，同樣可求得得X和Y軸方向渦渦量的分量和和。于是是得即（4-14）（4-15）也就是說，在有旋旋流動中，流體運運動速度的的旋度稱為渦量。。由此可見，在流體體流動中，如果渦渦量的三個分量中中有一個不等于零零，即為有旋流動動。如果在一個流流動區域內各處的的渦量或它的分量量都等于零，也就就是沿任何封閉曲曲線的速度環量都都等于零，則在這這個區域內的流動動一定是無旋流動動。下面舉兩個簡單的的例子來說明速度度環量和旋渦強度度的物理意義，以以及有旋流動和無無旋流動的區別。?！纠?-1】一個以角速速度按反時時針方向作像剛體體一樣的旋轉的流流動，如圖4-7所示。試求在這個個流場中沿封閉曲曲線的速度環量，，并證明它是有旋旋流動.(解)【例4-2】一個流體繞繞O點作同心圓的的平面流動，流場場中各點的圓周速速度的大小與該點點半徑成成反比，即，，其中C為常數數，如圖4-8所示。試求在流場場中沿封閉曲線的的速度環量，并分分析它的流動情況況。(解)【解】在流場中對應應于任意兩個半徑徑和的的圓周速度度各為和和，，沿圖中中畫斜線扇形部分分的周界ABCDA的速度環量可見，在這個區域域內是有旋流動。。又由于扇形面積積于是上式正是斯托克斯斯定理的一個例證證。以上結論可推廣適適用于圓內任意區區域內。返回例題圖4-7有旋旋流動中速度環量量的計算圖4-8無旋旋流動中速度環量量的計算返回例題【解】沿扇形面積積周界的速度環量量可見，在這區域內內是無旋流動。這這結論可推廣適用用于任何不包圍圓圓心O的區域內，，例如。。若若包有圓心()，該處處速度等于無限大大，應作例外來處處理?，F在求沿半半徑的圓周周封閉曲線的速度度環量上式說明，繞任何何一個圓周的流場場中，速度環量都都不等于零，并保保持一個常數，所所以是有旋旋流動。但凡是是繞不包括圓心在在內的任何圓周的的速度環量必等于于零，故在圓心O點處必有旋渦存存在，圓心是一個個孤立渦點，稱為為奇點。返回例題第三節無旋旋流動的速度勢函函數如前所述，在流場場中流體微團的旋旋轉角速度在在任意時刻處處處為零，即滿足足的的流動為為無旋流動，無旋旋流動也稱為有勢勢流動。一、速度勢函數引引入二、速度勢函數的性性質一、速度勢函數引引入由數學分析可知，，是是成成為某一一標量函數全全微微分的充分必要條條件。則函數稱稱為速度勢函函數。因此，也可可以說，存在速度度勢函數的的流動為有勢流動動，簡稱勢流。根根據全微分理論，，勢函數的的全微分可寫成于是得（4-16）按矢量分析對于圓柱坐標系，，則有于是從以上分析可知，，不論是可壓縮流流體還是不可壓縮縮流體，也不論是是定常流動還是非非定常流動，只要要滿足無旋流動條條件，必然存在速速度勢函數。（4-17）（4-18）二、速度勢函數的的性質（1）不可壓縮流流體的有勢流動中中，勢函數滿滿足拉普拉斯方方程，勢函數是是調和函數。。將式（4-16））代入到不可壓縮縮流體的連續性方方程（3-28））中，則有式中為為拉拉普拉斯算子，式式（4-19）稱稱為拉普拉斯方程，所以在不不可壓流體的有勢勢流動中，速度勢勢必定滿足拉普拉拉斯方程，而凡是是滿足拉普拉斯方方程的函數，在數數學分析中稱為調調和函數，所以速速度勢函數是一個個調和函數。(4-19)從上可見，在不可可壓流體的有勢流流動中，拉普拉斯斯方程實質是連續續方程的一種特殊殊形式，這樣樣把求解無旋流動動的問題，就變為為求解滿足一定邊邊界條件下的拉普普拉斯方程的問題題。（2）任意曲線上上的速度環量等于于曲線兩端點上速速度勢函數值值之差。而與曲曲線的形狀無關。。根據速度環量的定定義，沿任意曲線線AB的線積分這樣，將求環量問問題，變為求速度度勢函數值之差的的問題。對于任意意封閉曲線，若A點和B點重合，，速度勢函數是單單值且連續的，則則流場中沿任一條條封閉曲線的速度度環量等于零，即即。。第四節二維維平面流動的流函函數一、流函數的引入入對于流體的平面流流動，其流線的微微分方程為,將其改寫成下列列形式（4-20）在不可壓縮流體的的平面流動中，速速度場必須滿足不不可壓縮流體的連連續性方程，即或（（4-21））由數學分析可知，，式（4-21））是（））成為某函數全微微分的充分必要條條件，以表表示該函數，，則有（4-22）函數稱為流場的流流函數。由式（4-22）可得（4-23）由式(4-22)，令，，即常常數，可得流流線微分方程式(4-20)。由由此可見,常常數的曲曲線即為流線，若若給定一組常數值值，就可得到流線線簇。或者說，只只要給定流場中某某一固定點的坐標標（））代入流函數數，便可可得到一條過該點點的確定的流線。。因此，借助流函函數可以形象地描描述不可壓縮平面面流場。對于極坐標系，可可寫成（4-24）（4-25）在已知速度分布的的情況下，流函數數的求法與速度勢勢函數一樣，可由由曲線積分得出。。至此可看到，在不不可壓縮平面流動動中，只要求出了了流函數，，由式（4-23）或式（4-24）就可求求出速度分布。反反之，只要流動滿滿足不可壓縮流體體的連續性方程，，不論流場是否有有旋，流動是否定定常，流體是理想想流體還是黏性流流體，必然存在流流函數。。這里需說明，等流流函數線與流線等等同，僅在平面流流動時成立。對于于三維流動，不存存在流函數，也就就不存在等流函數數線，但流線還是是存在的。二、流函數的性質質（1）對于不可壓壓縮流體的平面流流動，流函數永永遠滿足連續性方程。將式（4-23））代入式（4-21）得即流函數永遠滿足足連續性方程。（2）對于不可壓壓縮流體的平面勢勢流，流函數滿滿足拉普拉斯方程，流函數數也是調和函數。。對于平面無旋流動動，，，則將式（4-23）代代入上式因此，不可可壓縮流體體平面無旋旋流動的流流函數也滿滿足拉普拉拉斯方程，也也是一個調調和函數。。因此，在平平面不可壓壓縮流體的的有勢流場場中的求解解問題，可可以轉化為求求解一個滿滿足邊界條條件的的的拉普拉斯斯方程.（3）平面面流動中，，通過兩條條流線間任任一曲線單位厚厚度的體積積流量等于于兩條流線線的流函數之差差。這就是是流函數的的物理理意義。如圖4-9所示，在在兩流線間間任一曲線線AB，則通通過單位厚厚度的體積積流量為（4-26）由式（4-26）可可知，平面面流動中兩兩條流線間通過的流流量等于這這兩條流線線上的流函函數之差。圖4-9說說明流函函數物理意意義用圖三、和和的的關系（1）滿足足柯西-黎黎曼條件如果是不可可壓縮流體體的平面無無旋流動，，必然同時時存在著速速度勢和流函函數，比較較式（4-16）和和式（4-23），，可得到速速度勢函數和流流函數之間間存在的如如下關系（4-27）（4-28）這是一對非非常重要的的關系式，，在高等數數學中稱作作柯西-黎黎曼條件。因此此，和和互互為共軛調調和函數，，這就有可可能使我們們利用復變函數數這樣一種種有力的工工具求解此此類問題。。當勢函數和和流流函數二二者知其一一時，另一一個則可利利用式（4-27）的關關系求出，，而至多相相差一任意意常數。（2）流線線與等勢線線正交。式（4-28）是等等勢線簇[常常數]和流流線簇[常常數數]互相正正交的條件，若在同同一流場中中繪出相應應的一系列流線和和等勢線，，則它們必必然構成正交網格格，稱為流流網，如圖圖4-10所示。圖4-10流網網【例4-3】有一一不可壓流流體平面流流動的速度度分布為。。①①該平面流流動是否存存在流函數數和速度勢函數；②②若存在，，試求出其其表達式；；③若在流流場中A（1m，1m）處的絕對壓壓強為1.4×105Pa，，流體的密密度1.2kg/m3，則B（2m，，5m）處的絕對壓壓強是多少少？【解】（1）由不可可壓流體平平面流動的的連續性方方程該流動滿足足連續性方方程，流動動是存在的的，存在流流函數。由于是平面面流動該流動無旋旋，存在速速度勢函數數。（2）由流流函數的全全微分得：：積分由速度勢函函數的全微微分得：積分（3）由于于，，因此，，A和B處處的速度分分別為由伯努里方方程可得第五節基基本的的平面有勢勢流動流體的平面面有勢流動動是相當復復雜的，很很多復雜的的平面有勢勢流動可以以由一些簡簡單的有勢勢流動動疊加而成成。所以，，我們首先先介紹幾種種基本的平平面有勢流流動，它包包括均勻直線流動動，點源和點匯、點渦等一、均勻直線線流動流體作均勻直直線流動時，，流場中各點點速度的大小小相等，方向相同，即和和。。由式（4-16））和式（4-23）），得于是速度勢和和流函數各為為以上兩式中的的積分常數和和可可以任任意選取，而而不影響流體體的流動圖形（（稱為流譜））。若令，，即得均勻直直線流動的速速度勢和流函函數各為（4-29））（4-30））由式（4-29））和式（4-30））可知，等勢線線簇（常常數）和流線簇簇（=常數）互相相垂直，如圖4-11所示。各流線線與軸的夾角等于。。由于流場中各各點的速度都都相等，根據據伯努里方程程（3-41），得常數如果均勻直線線流動在水平平面上，或流流體為氣體，，一般可以忽忽略重力的影響響，于是常數即流場中壓強強處處相等。。圖4-11均均勻直線流流的流譜二、平面點源源和點匯如果在無限平平面上流體不不斷從一點沿沿徑向直線均均勻地向各方流出，則則這種流動稱稱為點源，這這個點稱為源源點（圖4-12，a）；若流體不斷斷沿徑向直線線均勻地從各各方流入一點點，則這種流動稱為點點匯，這個點點稱為匯點（圖4-12，b）。顯然，這兩兩種流動的流線線都是從原點點O發出的的放射線，即即從源點流出出和向匯點流入都都只有徑向速速度?！，F將極坐坐標的原點作作為源點或匯點，則圖4-12點點源和點匯匯的流譜點源點匯back根據流動的連連續性條件，，流體每秒通通過任一半徑徑為的的單位長度圓圓柱面上的流量都都應應該相等，即即常數由此得（4-31））式中是是點源或點匯匯在每秒內流流出或流入的的流量，稱為為點源強度或點匯強度度。對于點源源，與同同向，取取正號；對對于點匯，與與異向，取取負號，于是是積分得式中積分常數數是任任意給定的，，現令。。又由于于，，于是是得速度勢（4-32））當時時，速速度勢和和速速度都變變成無窮大，，源點和匯點點都是奇點。。所以速度勢和和速度度的的表達式（4-31）和和式（4-32）只有在在源點和匯點點以外才能應用用?，F在求流函數數，由式（4-25）積分得(令式式中的積分常常數為零)（4-33））等勢線簇（常常數，即常常數數）是同心圓圓簇（在圖4-12中用虛線表示））與流線簇（（常常數，即常常數數）成正交。。而且除源點或匯匯點外，整個個平面上都是是有勢流動。。如果平平面是是無限水平面面，則根據伯伯努里方程（（3—41））式中為為在在處處的流體壓強強，該處的速速度為零。將式（4-31）代入上上式，得（4-34））由式（4-34）可知，，壓強隨隨著半徑的的減減小而降低。。當時，。。圖4-13表示當時時，點匯沿半徑的的壓強分布。。圖4-13點點匯沿半徑徑的壓強分布布三、點渦設有一旋渦強強度為的的無限長直直線渦束，該該渦束以等角角速度繞繞自身軸旋旋轉，并帶動動渦束周圍的的流體繞其環環流。由于直線渦束為為無限長，所所以可以認為為與渦束垂直直的所有平面面上的流動情況況都一樣。也也就是說，這這種繞無限長長直線渦束的的流動可以作為平面面流動來處理。由由渦束所誘導出的的環流的流線是許多同心圓，，如圖4-14所示。根據斯托克克斯定理可知，沿任一同心圓周流流線的速度環量等等于渦束的旋渦強強度，即常數于是（4-35）因此渦束外的速度度與半徑成反比。。若渦束的半徑，，則成為一條渦線，這這樣的流動稱為點點渦，又稱為純環環流。但當時，，，所以以渦點是一個奇點點。圖4-14點渦渦的流譜現在求點渦的速度度勢和流函數。由由于由積分后得速度勢（4-36）又由于由積分后得流函數（4-37）當時時，環流為反時針針方向，如圖4-14所示；當時時，環流為順時針方向。由式（4-36））和式（4-37）可知，點渦的的等勢線簇是經過過渦點的放射線，而流線簇是同同心圓。而且除渦渦點外，整個平面面上都是有勢流動動。設渦束的半徑為，，渦束束邊緣上的速度為為，，壓強為；；時時的速度顯然為零零，而壓強為。。代入入伯努里方程（3-41）），得渦束外區域域內的壓強分布為（4-38）由式（4-38））可知，在渦束外外區域內的壓強隨隨著半徑的減小而降低，渦束外緣緣上的壓強為或（4-39）所以渦束外區域內內從渦束邊緣到無無窮遠處的壓強降降是一個常數。又由式（4-38）可知，在在處處，壓強，，顯然這是不可能的。所以以在渦束內確實存存在如同剛體一樣樣以等角速度旋轉的旋渦區域域，稱為渦核區。。由式（4-39）可得渦核的半徑由于渦核內是有旋旋流動，故流體的的壓強可以根據歐歐拉運動微分方程求得。平面面定常流動的歐拉拉運動微分方程為為將渦核內任一點的的速度和和代代入入上兩式，得以和分分別乘以上兩式式，然后相加，得得或積分得在處處，，，代代入上式，得最后得渦核區域內內的壓強分布為（4-40）或（4-40a）于是渦核中心的壓壓強而渦核邊緣的壓強強所以可見，渦核內、外外的壓強降相等，，都等于用渦核邊邊緣速度計算的動壓頭。渦核核內、外的速度分分布和壓強分布如如圖4-15所示。圖5-14渦渦流中渦核內、外外的速度和壓強分分布第六節平平面勢流的疊加流流動從上節可以看到，，只有對一些簡單單的有勢流動，才能求出它們流函函數和勢函數，但但當流動較復雜時時，根據流動直接求解解流函數和勢函數數往往十分困難。。我們可以將一些些簡單有勢流動動進行疊加，得得到較復雜的流動，這樣樣一來，為求解解流動復雜的流流場提供了一個有力的工工具。因此，本本節先介紹勢流流的疊加原理，然后再介介紹幾種典型的的有實際意義的的疊加流動。一、勢流疊加原原理前面我們知道，，速度勢函數和和流函數都滿足足拉普拉斯方程。凡是滿足拉拉普拉斯方程的的函數，在數學學分析上都稱為為調和函數，所以速速度勢函數和流流函數都是調和和函數。根據調調和函數的性質，即即若干個調和函函數的線性組合合仍然是調和函函數，可將若干個個速度勢函數(或流函數)線線性組合成一個個代表某一有勢流動的的速度勢函數(或流函數)?！，F將若干個速速度勢函數、、、、、…疊加，得（4-41）而（（4-42））顯然，疊加后新新的速度勢函數數也滿足拉普拉拉斯方程。同樣樣，疊加后新的流函函數也滿足拉普普拉斯方程，即即（4-43）這個疊加原理方方法簡單，在實實際應用上有很很大意義，可以應用這個原理理把上一節所討討論的幾個簡單單的基本平面有有勢流動疊加成所需需要的復雜有勢勢流動。將新的速度勢函函數分別別對、、和取取偏導數，就就等于新的有勢流動的的速度分別在、、和和軸軸方向上的的分量：（4-44）或（4-45）即（4-46）由此可見，疊加加后所得的復雜雜有勢流動的速度為疊加前原原來的有勢流動動速度的矢量和。由此，可得出一一個重要結論：：疊加兩個或多多個不可壓平面勢流流流動組成一個新新的復合流動，，只要把各原始流動的勢勢函數或流函數數簡單地代數相相加，就可得到該復合流流動的勢函數或或流函數。該結結論稱為勢流的疊加原理理。二、螺旋流螺旋流是點渦和和點匯的疊加。。將式（4-36）和式（4-32）相加以及將式（（4-37）和和式（4-33）相加即得新新的有勢流動的速度勢和流函函數（4-47）（4-48）式中取反反時針方向為正正。于是得等勢勢線方程常數或（4-49）流線方程為常常數或（4-50）顯然，等勢線簇簇和流線簇是兩兩組互相正交的的對數螺旋線簇簇（圖4-16）），稱為螺旋流。。流體從四周向向中心流動。圖4-16螺螺旋流的流譜譜研究螺旋流在工工程上有重要意意義。例如旋流流燃燒室、旋風除塵設備及多多級離心泵反導導葉中的旋轉氣氣流即可看成是是這種螺旋流。螺旋流的速度分分布為（4-51）（4-52）（4-53）代入伯努里方程程（3-41）），得流場的壓壓強分布（4-54）三、偶極流將流量各為的的點源源和的的點匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的流流動圖形如圖4-17所示，它的速度度勢和流函數各為（4-55）（4-56）由流線方程（4-56）常常數數，得常常數，所所以流線是經過源點A和匯點點B的圓簇，而而且從源點流出出的流量全部流流入匯點。圖4-17點點源和點匯的的疊加常數現在分析一種在在點源和點匯無無限接近的同時時，流量無限增增大（即）），以至使保保持持一個有限常數數值的極限情況。在這這種極限情況下下的流動稱為偶偶極流，稱稱為偶極矩或偶極強度度。偶極流是有有方向的，一般般規定由點源指指向點匯的方向為正正向。如圖4-18所示，偶極流指指向軸軸方向，這時的偶極矩取取正值值。偶極流的速度勢勢可由式（4-55）根據上上述極限條件求求得，將式（4-55）改寫成常數常數圖4-18偶偶極流的流譜譜從圖4-19中可知，當A點點和B點向原點點O無限接近時，，，而且當當，，時時，，，，，又由于當為無窮窮小時，可以略略去高階項，得得。。因此，偶極流的速速度勢或（4-57）圖4-19推推導偶極流用用圖在圖4-19中中，BC為從B點向AP所作作的垂線，則又當，，，，，，所以，，代入式式（4-56）得偶極流的流函函數或（4-58）令式（4-58）等于于常數，，于于是得流流線方程程（4-59）即流線簇簇是半徑徑為、、圓心為為（0，，）），且且與軸在在原點相切的的圓簇，，如圖4-18中實線線所示。。又令式（（4-57）等等于常數數，得等等勢線方方程（4-60）即等勢線線簇是半半徑為、、圓心心為（，，0）且與與軸在原原點相切的的圓簇，，如圖4-18中虛線線所示。。四、繞圓圓柱體無無環量流流動將均勻直直線流與與偶極流流疊加，，可以得得到繞圓圓柱體無無環量流動。設設有一在在無窮遠遠處速度度為、、平行行于X軸軸、由左左向右流的均勻勻直線流流，與在在坐標原原點O上上偶極矩矩為M、、方向與與X軸相反的偶偶極流疊疊加，如如圖4-20所示，組組合流動動的流函函數為（4-61）流線方程程（4-62）選取不同同的常數數值，，可得得到如圖圖4-20所示示的流動動圖形。。對的所謂零零流線的的方程為為或，圖4-20均均勻流流繞圓柱柱體無環環量流動動由此可知知，零流流線是一一個以坐坐標原點點為圓心心、半徑徑的的圓周與正正負X軸軸和和所所構構成的圖圖形。該該流線到到A點處處分為兩段，沿沿上、下下兩個半半圓周流流到B點點，又重重新匯合合。這個個平面組合流流動的流流函數為為(4-63)同樣，也也可得到到它的速速度勢(4-64)以上兩式式中，≥≥，，這這是因為為的的圓圓柱體內內的流動動沒有實實際意義。。流場中任任一點的的速度分分量為(4-65)在，，處處，，，，。。這表表示，在在離開圓圓柱體無無窮遠處是速速度為的的均勻勻直線流流動。在在圖4-20中的A點點（，，0）和B點(，，0)處，，，，A點點為前駐駐點，B點為后后駐點。用極坐標標表示的的速度分分量為（4-66）沿包圍圓圓柱體圓圓周的速速度環量量為所以，均均勻直線線流繞圓圓柱體的的平面流流動是沒沒有速度度環量的的。因此，一一個速度度為的的均勻勻直線流流繞半徑徑為的的圓柱體體無環量的平面面流動，可可以用由這這個均勻直直線流與偶偶極矩的偶極流疊疊加而成的的平面組合合流動來代代替。當，，在在圓柱面上上（4-67）這說明，流流體在圓柱柱面上各點點的速度都都是沿切線線方向的