2019-2020學年廣西桂林市高二上學期期末考試數學（理）試題一、單選題1．下列各點中，在二元一次不等式所表示的平面區域內的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據二元一次不等式,代入各個點的坐標,即可判斷是否在不等式表示的平面區域內.【詳解】對于A,將代入不等式可得不成立,所以不在不等式所表示的平面區域內,所以A錯誤;對于B,將代入不等式可得不成立,所以不在不等式所表示的平面區域內,所以B錯誤;對于C,將代入不等式可得成立,所以在不等式所表示的平面區域內,所以C正確;對于D,將代入不等式可得不成立,所以不在不等式所表示的平面區域內,所以D錯誤;綜上可知,C表示的點在不等式表示的區域內故選:C【點睛】本題考查了二元一次不等式表示的平面區域與點的關系,屬于基礎題.2．等差數列中，，，則的公差為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據等差數列性質可得方程組,求得公差.【詳解】等差數列中,,,由通項公式可得解得故選:B【點睛】本題考查了等差數列通項公式的簡單計算,屬于基礎題.3．若，，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據不等式性質,可判斷四個選項即可.【詳解】,對于A,由不等式性質“不等式兩邊同時加上或減去同一個數或式子,不等式成立”,可知A正確;對于B,若,則,則成立,所以B錯誤;對于C,若,當時,;當時,所以C錯誤;對于D,若,當時不等式不成立,所以D錯誤.綜上可知,正確的為A故選:A【點睛】本題考查了根據不等式性質判斷不等式是否成立,屬于基礎題.4．命題p：，，則為（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】根據含有量詞命題的否定,可得結果.【詳解】命題p：,由全稱命題的否定可知,為,故選:C【點睛】本題考查了全稱命題的否定,屬于基礎題.5．命題“若，則”的否命題是（）A．“若，則”B．“若，則”C．“若，則”D．“若，則”【答案】D【解析】根據否命題的定義,可得選項.【詳解】命題“若,則”根據否命題定義,可知其否命題為:“若,則”故選:D【點睛】本題考查了命題及其否命題的寫法,屬于基礎題.6．拋物線上一點P到其焦點的距離為5．則點P的橫坐標為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】根據拋物線定義,即可求得點的橫坐標.【詳解】拋物線則準線方程為因為到其焦點的距離為5,則到其準線的距離也為5所以點的橫坐標為4故選:C【點睛】本題考查了拋物線的定義及簡單應用,屬于基礎題.7．“是”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為，必要，若，則或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要條件，故選A.8．已知的三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意設三角形的三邊長分別為，，，∵，∴所對的角為最大角，設為，則根據余弦定理得．本題選擇A選項.9．若，滿足，則的最大值是（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線在y軸上的截距最小值即可．【詳解】解：畫出可行域（如圖），z＝x﹣2y?yxz，由圖可知，當直線l經過點A（0，﹣1）時，z最大，且最大值為zmax＝0﹣2×（﹣1）＝2．故選C．【點睛】本小題主要考查線性規劃知識、作圖、識圖能力及計算能力，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．10．設公差不為零的等差數列的前n項和為，若，則等于（）A． B． C．7 D．14【答案】C【解析】根據等差數列性質,.結合等差數列前n項和公式可得即可代入求值.【詳解】公差不為零的等差數列中,由等差數列性質可知則由等差數列前n項和公式可知所以故選:C【點睛】本題考查了等差數列的性質應用,等差數列前n項和公式的應用,屬于基礎題.11．已知拋物線C：（）的焦點為F，不過F的直線與C的交點為A，B，與C的準線的交點為D．若，與的面積之比為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意畫出圖形,結合與的面積之比為,可得.由拋物線定義即可求得.【詳解】根據題意,畫出拋物線如下圖所示:過A作垂直準線并交準線于N,過B作垂直于準線并交準線于M.由拋物線定義可知,,則因為與的面積之比為則所以在與中,由,代入可得根據拋物線定義可得故選:A【點睛】本題考查了拋物線定義的簡單應用,直線與拋物線的位置關系應用，拋物線到準線距離比的關系,屬于中檔題.12．第一象限內的點P在雙曲線（，）的一條漸近線：上，、為雙曲線的左、右焦點，，平行于另一條漸近線，則雙曲線的離心率是（）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】由在漸近線上可設出點坐標.結合平行于另一條漸近線可求得,代入求得點坐標.再根據,結合兩點間斜率公式及垂直直線的斜率關系即可求得離心率.【詳解】根據題意,畫出幾何圖形如下圖所示:因為在漸近線:上,設、為雙曲線的左、右焦點,所以,由平行于另一條漸近線則,化簡可得所以因為則所以,化簡可得在雙曲線中滿足所以即故選:B【點睛】本題考查了雙曲線性質的簡單應用,漸近線方程的應用,兩點間斜率公式及垂直直線的斜率關系,屬于中檔題.二、填空題13．若三個正數1，b，16成等比數列，則______．【答案】【解析】根據等比中項定義,可求得的值.【詳解】三個正數1,b,16成等比數列由等比中項定義可得解得由題正數故答案為:4【點睛】本題考查了等比中項的性質及簡單應用,屬于基礎題.14．中，角A，B的對邊分別為a，b，已知，，，則等于______．【答案】【解析】根據正弦定理,可直接求得.【詳解】由正弦定理可得代入可得可得故答案為:【點睛】本題考查了正弦定理的簡單應用,屬于基礎題.15．若不等書對恒成立，則實數a的最大值是______．【答案】3【解析】構造基本不等式,即可求得的最大值.【詳解】令變形可得,由基本不等式可得當且僅當,即時取等號而對恒成立所以即的最大值為3故答案為:3【點睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應用,利用基本不等式求參數的最值,屬于基礎題.16．如圖，，為橢圓的左、右焦點，過的直線與橢圓交于其中一點，與軸交于點，且.直線與的外角平分線交于點，則的周長為_____．【答案】3【解析】由題意先得與相似，由確定相似比，再結合橢圓定義即可求出結果.【詳解】由題意可得，是的外角平分線，所以，所以，又，所以，又由橢圓的方程可得：，所以的周長為.故答案為3【點睛】本題主要考查橢圓的定義，由兩三角形相似確定相似比，結合橢圓的定義即可求解.三、解答題17．設命題p：，命題q：關于x的方程無實根.（1）若p為真命題，求實數m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式,即可求得當為真命題時的取值范圍;（2）先求得命題為真命題時的取值范圍.由為假命題,為真命題可知,兩命題一真一假.分類討論,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）當為真命題時,解不等式可得；（2）當為真命題時,由,可得,∵為假命題,為真命題,∴,兩命題一真一假,∴或,解得或,∴m的取值范圍是.【點睛】本題考查了根據命題真假求參數的取值范圍,由復合命題真假判斷命題真假,并求參數的取值范圍,屬于基礎題.18．某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為，深3m．如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為150元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？【答案】將水池的底面設計成邊長為20m的正方形時，總造價最低，最低總造價是116000元【解析】設出底面的長為,寬為,根據總容積求得與的等量關系.表示出總的造價后,將式子轉化為關于的等式,結合基本不等式可求得最低總造價及底面的長和寬的值.【詳解】設底面的長為m,寬為m,水池總造價為元,容積為1,可得,因此,根據題意,池底每平方米的造價為200元,池壁每平方米的造價為150元,有,由基本不等式及不等式性質,可得,即,當且僅當時,等號成立.所以,將水池的底面設計成邊長為20m的正方形時,總造價最低,最低總造價是116000元.【點睛】本題考查基本不等式在實際問題中的應用,根據基本不等式求最值,注意等號成立的條件,屬于基礎題.19．已知數列中，，其前n項和記為，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用遞推公式及,可證明數列為等比數列,求得首項后,即可求得數列的通項公式.（2）將代入中求得數列.可知為等比與等差數列的和,即可利用分組求和法求得前n項和.【詳解】（1）由題意得,（）,兩式相減得（）,又∵,,∴（）,∴是首項為1,公比為3的等比數列,∴.（2）由（1）可知則所以,所以為等比數列與等差數列的和.利用分組求和法可得.【點睛】本題考查了遞推公式及的應用,等比數列的證明及等比數列通項公式的求法,等差數列與等比數列前n項和公式的應用,分組求和法的應用,屬于基礎題.20．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據正弦定理,將邊轉化為角,即可求得角.（2）根據正弦定理與余弦定理,可求得.再由三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由正弦定理及已知得,∵,∴,∴,∴,∵,∴；（2）∵,∴由正弦定理得,由余弦定理得,即,解得,,∴.【點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的綜合應用,屬于基礎題.21．數列中，，．（1）求的通項公式；（2）設，對都有恒成立，求實數m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用遞推公式及累加法,結合首項即可求得數列的通項公式.（2）先求得的表達式,并進行化簡變形,由裂項法求和得.代入不等式后,分離參數,結合數列的單調性即可求得的取值范圍．【詳解】（1）由及,有∴,（2）因為,∴,又因為對任意的,都有,,∴,∴恒成立,只需,∵數列是遞增數列,∴當時,,∴m的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數列通項公式,裂項求和法的應用,根據數列單調性求參數的取值范圍,屬于中檔題.22．已知橢圓C：（）的焦距等于短軸的長，橢圓的右頂點到左焦點的距離為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知直線l：（）與橢圓C交于A、B兩點，在y軸上是否存在點，使得，且，若存在，求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）由題意可得的關系,解方程組求得,即可得橢圓的標準方程.（2）設,,聯立直線與橢圓方程,用韋達定理表示出,,利用弦長公式表示出.化簡后用表示出,再通過判別式判斷出的取值范圍.設出中點的坐標,由