推理與證明復習指導關于數學的學習，應具備“能力”，此中本章的“推理與證明”就是一種重要的“邏輯思想”能力形式．經過本章的復習，要有著扎實的推理、論證能力，以加強對問題的敏銳的察看，深刻的理解、意會能力．一．推理部分1．知識結構：演繹推理推理歸納和情推理類比2．和情推理：歸納推理與類比推理統稱為和情推理．①歸納推理：由某類事物的部分對象擁有某些特色，推出該類事物的所有對象都擁有這些特色的推理，或有個別事實歸納出一般結論的推理，稱為歸納推理．②類比推理：由兩類對象擁有某些近似特色和此中一類對象的某些已知特色，推出另一類對象也擁有這些特色的推理稱為類比推理．③定義特色；歸納推理是由特別到一般、由部分到整體的推理；而類比推理是由特別到特別的推理；都能由已知推斷、猜想未知，進而推理結論．可是結論的靠譜性有待證明．比如：已知

f(n)

n2

5n

3，能夠

f(1)

1

0，

f(2)

30,f(3)

30,f(4)

10，于是推出：對入任何

nN

，都有

f(n)

0；而這個結論是錯誤的，明顯有當

n5時，

f(5)

30．所以，歸納法獲取的結論有待證明．比如：“在平面內與同一條直線垂直的兩條直線平行”；類比線與線獲?。骸霸诳臻g與同一條直線垂直的兩條直線平行“；明顯此結論是錯誤的”．類比線與面獲?。涸诳臻g與同一個平面垂直的兩個平面平行；明顯此結論是錯誤的．④推理過程：從詳細問題出發察看、剖析、比較、聯想歸納、類比猜想．3．演繹推理：從一般性的原理出發，推出某個特別狀況下的結論，這類推理稱為演繹推理（邏輯推理）．①定義特色：演繹推理是由一般到特別的推理；②數學應用：演繹推理是數學中證明的基本推理形式；推理模式：“三段論”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M是P）；ⅱ小前提：所研究的特別狀況（S是M）；ⅲ結論：由一般原理對特別狀況作出判斷（會合簡述：ⅰ大前提：xM且x擁有性質P；

S是

P）；ⅱ小前提：yS且SM；ⅲ結論：y也擁有性質P；例題1．若定義在區間D上的函數f(x)關于D上的n個值x1,x2,xn，總滿足1f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2nxn)，稱函數f(x)為D上的n凸函數；現已知f(x)sinx在(0,)上是凸函數，則ABC中，sinAsiBnsC的i最n大值是．解答：由1f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)（大前提）nn因為f(x)sinx在(0,)上是凸函數（小前提）()()()3(ABC（結論）得)AfBfCff3即sinAsinBsinC3sin3323所以，sinAsinBsinC的最大值是332注：本題是一典型的演繹推理“三段論”題型４．和情推理與演繹推理的關系：①和情推理是由特別到一般的推理，演繹推理是由一般到特別的推理；②它們又是相輔相成的，前者是后者的前提，后者論證前者的靠譜性；axaxaxax0且a1）例２．設f(x)，g(x)（此中a221）５＝２＋３請你推斷g(5)可否用f(2),f(3),g(2),g(3)來表示；（2）假如（1）中獲取了一個結論，請你推斷可否將其推行.解答:（1）由f(3)g(2)g(3)f(2)＝a3a3a2a2＋a3a3a2a2a5a52222＝2又g(5)＝a5a52所以，g(5)＝f(3)g(2)g(3)f(2)（2）由g(5)＝f(3)g(2)g(3)f(2)即g(23)＝f(3)g(2)g(3)f(2)于是推斷g(xy)＝f(x)g(y)g(x)f(y)證明：因為：f(x)axaxaxa2，g(x)2

x（大前提）所以g(xy)＝axyaxy，2g(y)＝

aya

y，f(y)＝aya

y，（小前說起結論）2所以f(x)g(y)

2g(x)f(y)＝axaxayayaxaxayay2＋222＝axyaxy＝g(xy)2解題評注：本題是一典型的由特別到一般的推理，結構g(23)＝f(3)g(2)g(3)f(2)是本題的一大難點，要經過察看、剖析、比較、聯想而得到；進而歸納推出一般結論g(xy)＝f(x)g(y)g(x)f(y)．二．證明部分１．知識結構數學歸納法綜合法證明直接證法剖析法２．綜合法與間接證法反證法剖析法①綜合法；利用已知條件和某些數學定義、公義、定理等出發，經過一系列推理論證，推導出所要證明的結論建立．②剖析法：從要證明的結論出發逐漸追求使它建立的充分條件，直至把要證明的結論歸納為鑒別一個明顯建立的條件為止．③綜合應用：在解決問題時，常常把綜合法與剖析法和起來使用；使用剖析法找尋建立的條件，再用綜合法寫出證明過程．例３．已知：ab0，求證：證明：因為ab0所以(ab)2abab(ab)28a28b又由已知ab0，所以，b1a建立．ab因為以上剖析步步等價，所以步步可逆．故結論建立．解題評注：(1)以上解答采納恒等變形，其實質從上往部下于剖析法，反之屬于綜合法．(2)這里表示了b1a,(ab0)是結論建立的充要條b件,自然找到了卻論建立的充分條件就能夠了.例4.求證拋物線y22px(p0)，以過焦點的弦為直徑的圓必與p相切.2／／證明：（如圖）作AA、BB垂直／準線，取AB的中點M，作MM垂直準線.要證明以AB為直徑的圓與準線相切

／AA／MM／FBB／1｜AB｜只要證｜MM｜＝2由拋物線的定義：／／｜＝｜BF｜｜AA｜＝｜AF｜，｜BB／／所以｜AB｜＝｜AA｜＋｜BB｜／1／／所以只要證｜MM｜＝2（｜AA｜＋｜BB｜）依據梯形的中位線定理可知上式是建立的.所以以過焦點的弦為直徑的圓必與xp相切.以上解法同學們不難以綜合法作出解答.2解題評注:剖析法是從結論出發找尋證題思路的一種重要的思想方法,特別是題設和結論相聯合,即綜合法與剖析法相聯合,可使好多較為復雜的問題獲取解決.數學歸納法一般地，證明一個與正整數ｎ相關的命題的步驟以下：1）（歸納奠定）證明當ｎ取第一個值ｎ0時命題建立；（2）（歸納遞推）假定ｎ＝k（(kn0,kn)時命題建立，證明當nk1時命題也建立。就能夠判定對從ｎ0開始的所有正整數ｎ都建立．其證明的方法叫數學歸納法．（3）學習重點：理解第一步是推理的基礎，第二步是推理的依照，二者缺一不行．特別地，在證明第二步nk1時命題建立，必定要用上歸納假定ｎ＝k時命題建立；此外在證明第二步時第一要有明確的目標式，即確立證題方向；數學歸納法常和和情推理綜合應用，特別常以歸納推理為前提．例５．已知數列a的前n和為Sn，此中aSn1且annn(2n1)13求a2,a3猜想數列an的通項公式，并用數學歸納法加以證明．解答：（1）a2S2a1a221)62(2又a1，則a1，近似地求得a113215335（2）由a111，a231，a317355猜得：an

1(2n1)(2n1)以數學歸納法證明以下：①當n1時，由（1）可知等式建立；②假定當nk時猜想建立，即ak1(2k1)(2k1)那么，當nk1時，由題設anSn得n(2n1)akSk，ak1Sk1k(2k(k1)(2k1)1)所以Sk(2k1)a＝k(2k1)1＝k1)(2k1)2k1(2kak1SKSK(k1)(2k1)akk11－1k2k所以，k(2k3)ak12k1所以ak111(2k1)(2k3)[2(k1)1][2(k1)1]這就證了然當nk1時命題建立.由①、②可知命題對任何nN都建立.解題評注：（1）本題第一采納了歸納推理，即由特別到一般的推理；Sn對任何nN都建立，所以要注（2）解題時注意已知式an1)n(2n意其變形應用；歸納假定已用上，在上邊的橫線處，是解題重點的一步.三．高考要求高考重申對數學思想能力的觀察，“和情推理”是一種重要的歸納、猜想推理，它是發現問題和持續推理