1第二講函數的奇偶性單調性周期性綜合．(年全國卷Ⅱ理科)已知f(x)是定義域為(,)的奇函數，滿足f(1x)f(1x)．若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()f(1x)f(1x),f(x)f(2x),f(x)f(2x)f(2x)f(x),f(4x)f(2x)f(x)f(x)是周期函數，且一個周期為4f(4)f(0)0,f(2)f(11)f(11)f(0)0f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)2f(1)f(2)f(3)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故選C．則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()【解析】由已知，使1f(x)1成立的x滿足1x1，所以由1x21得1x3，即使1f(x2)1成立的x滿足1x3，選D.3．已知函數fx的定義域為R,當x0時,fxx31,當1x1時,fxfx,當x1時,fxfx,則f6()2222【解析】fx1fx1T1f(6)f(1)f(1)2，故選A.224．定義在R上的函數f(x)滿足f(x6)f(x)．當x3,1時，f(x)(x2)2，當x1,3時，f(x)x，則f(1)f(2)f(3)f(2017)的值為()【解析】函數的周期T6,所以f11,f，f5f11f6f0，201763361f1f2f3......f20175．已知fx是定義在R上周期為，22f3，0，即f1f2，1336f12的奇函數，當1f4f1f4f3f4f5所f，f6，以B.4xf(log42BD ()2【解析】f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，所以log21511f(log41)f(32)f(5)f()f()(421)1，故選B.log2226．已知函數yf(x)的周期為2，當x[1,1]時f(x)x2，那么函數yf(x)的圖象與函數y|lgx|的圖象的交點共有()A．10個B．9個C．8個D．1個【解析】3作圖如下，由圖可得函數yf(x)的圖象與函數y|lgx|的圖象的交點共有10，故選A.f(x)=log(x)86421055101524687．已知函數fx的定義域為R.當xf(x)f(x)fx10時，f(x)x51；當fxf2016=，則()【解析】所以f(201f6)x0時，函數f(x)是周期為1的周期函數，1x1f(x)f(x)f(1)f(1)[(1)51]2，故選D．8．已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，則f(2019) 【解析】f(x)f(x),f(3x)f(x3)f(0)0f(3x)f(xfxfx)，由此可得f(x3)f(x6)，f(x)f(x6)，f(x)是周fffffB.9．已知fx在R上是奇函數，且滿足fx5fx，當x0,5時，fxx2x，4【解析】因為fx5fx，所以fx10fx5fx，fx的周期為10，因此f2016f4f416412，故選A．10．定義在R上的函數fx滿足fx2fx0,x0,2時，fx3x1，則f2015的值為()A.-2B.0C.2D.8【解析】由已知可得f(x4)f(x2)f(x)fx的周期T4f2015f(3)f(1)2，故選A.11．已知函數fx的定義域為R,當x0時,fxx31,當1x1時,fxfx,當x1時,fx1fx1,則f6()222【解析】xfx1fx1T1f6當時,22,所以f(1)f(1)(11)2.12．已知fx在R上是奇函數，且滿足fx5fx，當x0,5時，fxx2x，【解析】fxfx5fxfx10，f2016f6，又f6f104f4，所以f4f412fx滿足fx+3=-fx，且f-2=1，則13．已知定義在R上的奇函數()()()()f2016+f()() ()5fx3fx，所以fx3fx，所以函數的周f2016f2017f0f1期為T4f(2)f(232)f42，解得xf(x2)[1【解析】0f1f2數為奇函數且f(-2)=10f1f2，14．已知f(x)的定義域為R，且f(xy)f(x)f(y)對一切正實數x，y都成立，若f(8)4，則f(2)_______。【解析】在條件f(xy)f(x)f(y)中，令xy4，得f(8)f(4)f(4)2f(4)4，3f(x)43f(x)4f(4f(f(4f(x)，對于x且滿足15．定義在R上的奇函數【解析】3m3f(x)，因此函數f(f(x)，因此函數f(x)圖象關于直線xf(2f(4)f(4)，2fxf【解析】緊扣已知條件，并多次使用，發現f(x)是周期函數，顯然f(x)1，6f(x)1f(x)1f(x2)1f(x)f(x)1f(x2)于是f(x所以f(x從而f20171f(x)1f(x)1f(x)1f(x)1f(x4)fxf(x)是以8為周期的周期函數，f2018；yf1x與yfx1的圖象關于直線x0對稱；②若f1xfx1,則函數yfx的圖象關于直線x1對稱；③若f1xfx1,則函數yfx是周期函數；④若f1xfx1,則函數yfx的圖象關于0,0對稱.其中所有正確命題的序號是．答案】③④【解析】很明顯①不滿足題意；②不滿足題意；③由f1xfx1可得fxfx4知周期為4的周期函數；④由f1xfx1得fxfx可知函數是奇函數，則①若函數f(x)定義域為R,則g(x)f(x)f(x)是奇函數;②若函數f(x)是定義在R上的奇函數,xR,f(x)f(2x)0,則f(x)圖像關于x1對稱;④若f(x)是定義在R上的奇函數,f(x【答案】①④ 7得得即①gxfxfx關于x1對稱則應有f0fxfxf2，由f(x)xf(2x)0可得f0f20所以不一定成立，③x1,x2值的取法應該是任意的，④因為f(x)是定義在R上的奇函數,f(x2)也所以fx2fxfx2fx3代x2x入fx22可得fx由2fx2fx2fx2，所以f(x)是以4為周期的周期函數；故填①④．三、解答題19．已知函數fxlgx1．0f12xfx1 (1)若，求實數x的取值范圍； 求函數ygx的解析式．【解析】22x0 (1)由x10得1x1，2xlgx1lg11由0lg222xlgx1lg11x1x1因為x10，所以x122x10x10，2122121解得x，由21，得x．33x21所以實數x的取值范圍是(,)． 2)依題意得，當x1,2時，2xygx2gx2g2xfl.gx3x81恒有f(x3)f(x)，當x0,2)[時，f(x)ex1，則f2016)((2015()22【解析】f(xf(x)f(x)即函數fx的周期為2.所以22f(20f16)f(2f0.15e)011x?0,1時，fx=3x-1，則的flog110值為()[]()10209327【解析】滿足f(+x2)=(f)-x(=，)f所x以該函數的周期是2，logxfxx則3log11021flog110flog1102flog1102=3=3log103310,故選D．3333333．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，若對任意xR，都有f(4x)f(x)，且fxxA.函數f(x)的最小正周期為4B.f(1)f(3)C.f(2016)09f3f1f1，B錯；故選B.f(4x)f(x)5044f0f02x，可得函數f(x)的4．函數f(x)對于任意實數x滿足條件f(x2)，若f(1)5，則f(f(5))()f(x)115得,f(x)f(x4)，則f(5)f(1)5，f(f(5))f(5)f(1)1155．若f(x)是R上周期為5的奇函數，且滿足f(1)1,f(2)2,f(23)f(14)(5那么)由題意，得f(23)f(2)數集f(2)2,f(14)(1)1，則f(23)f(14)1；故選A．上的函數f(x)滿足：①f(2x)f(x)；②f(x2)f(x2)；x1x1f(x2)0滿足()A．f(2014)C．f(2016)f(2016)B．f(2015)D．【解析】由fx2fx2可得f(x4)f(x),即函數f(x)是周期為4的周期函數且函數f(x)在區間[1,3]上是單調遞增,由題設可得f(x1)與函數yf(1x)的圖象關于直線x3(,0)成中心對稱，對于任意x，又有f(x3)f(x1)與函數yf(1x)的圖象關于直線x3(,0)成中心對稱，對于任意x，又有f(x3)7．函數f(x)的定義域為R，以下命題正確的是()①同一坐標系中，函數y②函數f(x)的圖象既關于點2則則f(x)的圖象關于直線x對稱；2③函數f(x)對于任意x，滿足關系式f(x2)f(x)是奇函4)，則函數f(x)是奇函數.數A．①②B．①③C．②③D【解析】是yfx與yf是yfx與yf3成中心對稱，所以f3x成中心對稱，所以f3x2fx，而f(xx為函數關于點-23)2xf3x，即3)2xf3x，即fxfx，又根據f(x2xfxf期T3,又有fxfxxfxf2xx2xx222而函數yfx3是函數而函數yfx3是函數yfx向左平移38．已知定義在R上的函數滿足條件f(x3)2)為奇函數，則下f(x)，且函數yf)為奇函數，則下4面給出的命題中錯誤的是()A．函數y3C．函數yf(x)的圖像關于點4【解析】對于A：∵fx3f(x3)2fx∴函數fx是周期函數且其周期為3，A對；對于B：由D得：∵偶函數的圖象關于y軸對稱，∴fx在R上不是單調函數，3于C：∵yf(x)是奇函數∴其圖象關于原點對稱，又∵函數fx4yf(x33個單位長度得到，∴函數fx的圖象關于點(304434對；對于D：由C知，對于任意的xR，都有f(x)f(3x)，用33可得：f(x)fx0，∴f(3x)fxf(x)對于任意的222t32x，則ftft，∴函數fx是偶函數，D對．故選：B．B不對．對4xR都成9．定義在實數集R上的函數fx滿足fx三種敘述：①8是函數fx的一個周期；②f偶函數.其中正確的是()A．②③B.①②C．①③D.【解析】fxfx20fx2由可得fx4fx2，聯立可得fx4fx2f2x，所以其圖象關于直線x10．已知函數f(x)對任意xR都有f(x6)f4)4，則f(2012)(20fx20fxfx，所以fxx)f(x)中)f(4x)f(x).現有以下x2對稱；③fx是x2代替x可得用x2代替x可得yf(x1)的圖象關于【解析】1)的圖象關于點(1,0)對稱，所以函數yfx的圖像關于點0,0對稱，即函數yfx是奇函數，令x3，得f36f32f3，即f3f32f3f3f32f3，解得f30，即fx6fx0fx6fx，等價于fx12fx，所以函數的周期T12,那么f2012f121684f4f44，故選D.xx且|x1||x2|，則f(x1)，f(x2)的大小關系是_______。xf(x1)f(x1)，故f(x1)f(x2)已知yf(x),xR，有下列4個命題：①若f(12x)f(12x)，則f(x)的圖象關于直線x1對稱；②yf(x2)與yf(2x)的圖象關于直線x2對稱；③若f(x)為偶函數，且f(2x)f(x)，則f(x)的圖象關于直線x2對稱；④若f(x)為奇函數，且f(x)f(x2)，則f(x)的圖象關于直線x1對稱.其中正確的命題為.(填序號)【答案】①②③④【解析】稱的條件f2axfx可以探討各命題是否正確．因為f12xf12x，令t2x,f1tf1t，所以函數fx的圖象自身關于直線x1對稱,①對.因為fx的圖象向右平移2個單位，可得fx2的圖象，將fx的圖象關于y軸對稱得fx的圖象，然后將其圖象向右平移2個單位得f2x的圖象，所以fx1,f1x的圖象關于直線x2對稱,②對．因為f2xfx，所以fx4fx，因為fx為偶函數，fxf，x所以f4xfx，所f以xfx的圖象自身關于直線x2對稱,③對．因為fx為奇函數，且f(x)f(x2)，所以fx2fxfx113．設偶函數f(x)對任意xR，都有f(x3)，且當x[3,2]時，f(x)2x，f(x)1【答案】5解析】1因為f(x6)f[(x3)3]1f(x)f1f(x)1f114．設fx是定義在R上的奇函數，且對任意實數 (1)求證：fx是周期函數； (2)當x2,4時，求fx的解析式； (3)計算f0f1f2f2014．【解析】 (1)fx2fx，fx4fx2 (2)當x2,0時，x0,2，由已知得fx又fx是奇函數，fxfx2xx2，又fx是周期為4的周期函數，f(x),所以f(x)的周期f(2.5)5x，恒有fx2fx．當fx，fx是周期為4的周22xx，fxx22x，242x4，2fxfx4x42x2x26x8，從而求得x2,4時，fxx26x8． f00,f20,f11,f31，又fx是周期為 f0f1f2f3f4f5f6f7f2008f2009f2010f201又f2012f2013f2014f0f1f2，f0f1f2f20141．1．定義在R上的偶函數yf(x)滿足f(x2)f(x)，且在x[2,0]上為增函數，af()，bf()，cf(log18)，則下列不等式成立的是()22【解析】因為定義在R上的偶函數yf(x)在x[2,0]上為增函數，所以在x[0,2]上單調遞7f(log18)2ff(log18)2f2222①f(x3)2．定義在R①f(x3)f(x)y軸對稱．則下列結論3x1x26，都有f(x1)f(x2)；③yy軸對稱．則下列結論中正確的是()【解析】先由f(x3)因為f(x3)所以fx61，得函數周期為6，得到f(7)f(1)；再利用yf(x3)的圖象關f(x)yfxxff；最后利用條件(2)1，f(x)1f1fx3fx；1fx即函數周期為6，故f(7)f(1)；又因為yy所以f(1)f(x3)的圖象關于y軸對稱，(fx)又對任意3x1＜x26，都有f(x1)＜f(x2)；f(3)＜f(4.5)＜f(5)f(1)f(7)．3．定義在R上的函數yfx的圖象關于點(,0成中心對稱，對任意的實數x都有4fxfx3，且f11,0)(f2,則f1f(2)f(3)f(2004)的值為()2【解析】fxfx3，232fxfx，則fx3fx3fx2則f2f13f11，1ff11,2∵函數yfx的圖象關于點(5∴f∴f1f234fff)1120，fffff1．4．已知定義在R上的函數fx的圖象關于點又f11,f02,則f1f2f3【解析】由fxfx3得fxfx3，又f2f1f(1)f(13)f(1),f(1)222得f1f2f3...f2008669(f5．定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x3)34Df2008 fx)fx3,2x4f(2)f(3)0，由fxfx3可1f2f3)f(1)f(1)f(1)1，則有(【解析】因為f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)fx，及fx是周期為6的函數，結合f(x)是偶函數可得f(49)f1,f(64)f2f2,f(81)fxx，1f(x2)0得f(x)在[0,3]上f(49)f(64)f(816．定義在R上的函數fx對任意0x2x1都有圖像關于原點對稱，若f22，則不等式fxfxxfx1fx2x0的解集是()D．【解析】不妨取f(x)2fxx2fxx0的解集為1x1,x01x122,20,2，故選C.f(x)log2(x1)，給出下列命題：①f(2014)f(2015)0；②函數f(x)在定義域yxfx2個交點；④函數f(x)的值域為(1,1)．其中正確的是()A．①，②B．②，③C．①，④D．①，②，③，④【解析】f2014f2015f0f2015f0f10，所以①正確，排除B；若函數f(x)在定義域R上是周期為2的函數，則f1.5f1.52f0.