最新冀教版九年級數學上冊教學課件全冊23.1平均數與加權平均數（第1課時）第二十三章數據分析張老師乘公交車上班,從家到學校有A,B兩條路線可選擇.對每條路線,各記錄了10次路上花費的時間,依據數據繪制的統計圖如圖所示.根據圖形提供的信息,你能判斷哪條路線平均用時較少,哪條路線用時的波動較大嗎?如何定量地描述平均用時及數據的波動情況?問題思考實際問題中平均數的計算某農科院為了尋找適合本地的優質高產小麥品種,將一塊長方形試驗田分成面積相等的9塊,每塊100m2,在土壤肥力、施肥、管理等都相同的條件下試種A,B兩個品種的小麥.小麥產量如下表:

(1)觀察下圖,哪個品種小麥的產量更高些?(3)如果只考慮產量這個因素,哪個品種更適合本地種植?(2)以100m2為單位,如何比較A,B兩個小麥品種的單位面積產量?5.通過計算,你認為哪個品種更適合本地種植?引導分析1.通過直觀觀察,你能得到哪個品種小麥的產量更高些嗎?2.要比較哪個品種的產量高,我們通常通過計算什么值定量比較?3.如何求一組數據的平均值?4.你能求出A,B兩個小麥品種的單位面積產量嗎?B品種小麥的平均產量:×(94+100+105+85)=96(kg).解:A品種小麥的平均產量:×(95+93+82+90+100)=92(kg),就試驗結果來看,B品種小麥比A品種小麥的平均產量高,B品種更適合本地種植.1.如果有n個數x1,x2,…,xn,你如何求它們的平均數?引導思考:2.每個數與平均數的差的和是多少?(一組數據中,每個數據與平均數的偏差總和為0)一般地,我們把n個數x1,x2,…,xn的和與n的比,叫做這n個數的算術平均數,簡稱平均數,記作,讀作“x拔”,即算數平均數(x1+…+xn).

因為所以取平均數可以抵消各數據之間的差異.因此,平均數是一組數據的代表值,它反映了數據的“一般水平”.從一批鴨蛋中任意取出20個,分別稱得質量如下:80

85

70

75

85

85

80

80

75

8585

80

75

85

80

75

85

70

80

75做一做(1)整理數據,填寫統計表.質量/g70758085頻數

(2)求這20個鴨蛋的平均質量.質量/g70758085頻數2567解:(1)

×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).即這20個鴨蛋的平均質量是79.5g.追問:當一組數據中某個數重復出現多次時,我們常怎樣計算這組數據的平均數?(先整理數據,列出頻數分布表,用簡單方法計算平均數)大家談談小明和小亮分別是這樣計算平均數的.小明的計算結果:×(70+75+80+85)=77.5(g).小亮的計算結果:×(70×2+75×5+80×6+85×7)=79.5(g).你認為他們誰的計算方法正確?請和同學交流你的看法.歸納:一組數據中某個數重復出現多次時,先整理數據,列出頻數分布表,再用簡單方法計算平均數.用計算器求平均數求“做一做”中20個數據的平均數的步驟(用A型計算器):80

85

70

75

85

85

80

80

75

8585

80

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85

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80

75質量/g70758085頻數2567步驟按鍵顯示

MODE2選擇統計模式,進入一元統計狀態Statx

0輸入第1個數據70,頻數270,2DATAn=2輸入第2個數據75,頻數575,5DATAn=7輸入第3個數據80,頻數680,6DATA輸入第4個數據85,頻數7顯示統計結果85,7DATARcln=13n=20=79.5若要了解一組數據的平均水平,可計算這組數據的算術平均數,算術平均數與一組數據的每一個數據都有關系,當一個數據發生變化時,會影響整組數據的平均數,所以算術平均數的缺點是容易受個別特殊值的影響,有時不能代表一組數據的集中趨勢.[知識拓展]

檢測反饋1.2015年5月某日我國部分城市的最高氣溫統計如下表所示:城市武漢成都北京上海海南南京拉薩深圳氣溫/℃2727242528282326這組數據的平均數是(

)A.24℃ B.25℃C.26℃ D.27℃解析:(27+27+24+25+28+28+23+26)÷8=208÷8=26(℃).故選C.C2.在一次青年歌手大獎賽上,七位評委為某位歌手打出的分數如下(單位:分):9.5,9.4,9.6,9.9,9.3,9.7,9.0,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數據的平均數是(

)A.9.2分 B.9.3分C.9.4分 D.9.5分D3.若8個數的平均數是11,還有12個數的平均數是12,則這20個數的平均數是

.

解析:這些數之和為8×11+12×12=232,故這些數的平均數是=11.6.故填11.6.11.64.某老師為了了解學生周末利用網絡進行學習的時間,在所任教班級隨機調查了10名學生,其統計數據如表:時間/小時43210人數/名24211求這10名學生周末利用網絡進行學習的平均時間.解:×(4×2+3×4+2×2+1×1+0×1)=2.5(時).即這10名學生周末利用網絡進行學習的平均時間是2.5小時.23.1平均數與加權平均數（第2課時）第二十三章數據分析在一次數學考試中,八年級(1)班和(2)班的考生人數和平均成績如下表:班級1班2班人數4654平均成績/分8680【問題】1.表格中“86分”所反映的實際意義是什么?2.求這兩個班的平均成績.加權平均數的概念

共同探究：假期里,小紅和小惠結伴去買菜,三次購買的西紅柿價格和數量如下表:單價/(元/千克)432合計小紅購買的數量/kg1236小惠購買的數量/kg2226從平均價格看,誰買的西紅柿要便宜些?≈2.67(元/千克),=3(元/千克).從平均價格看,小紅買的西紅柿要便宜些.追加提問:1.有的同學認為每次購買單價相同,購買總量也相同,平均價格應該也一樣,都是(4+3+2)÷3=3(元/千克).這樣解答是否正確?為什么?2.有的學生是這樣思考的:購買的總量雖然相同,但小紅花了16元,小惠花了18元,所以平均價格不一樣,小紅買的西紅柿要便宜些.這樣的想法正確嗎?為什么?3.如果小紅三次購買的數量分別為2,1,3,小惠三次購買的數量分別為1,3,2,她們購買的西紅柿的平均價格分別是多少?4.通過上面的計算,小紅和小惠每次購買西紅柿的數量不同,所求的平均數是否相同?已知n個數x1,x2,…,xn,若w1,w2,…,wn為一組正數,則把

叫做

n個數x1,x2,…,xn的加權平均數,w1,w2,…,wn分別叫做這n個數的權重,簡稱為權.

在“共同探究”中,加權平均數是多少?哪些數是權?(小紅購買的西紅柿平均價格約為2.67元/千克,它是數4,3,2的加權平均數,三個數的權分別為1,2,3)例1

某學校為了鼓勵學生積極參加體育鍛煉,規定體育科目學期成績滿分100分,其中平時表現(早操、課外體育活動)、期中考試和期末考試成績按比例3∶2∶5計入學期總成績.甲、乙兩名同學的各項成績如下:學生平時表現/分期中考試/分期末考試/分甲959085乙809588分別計算甲、乙的學期總成績.解:三項成績按3∶2∶5的比例確定,就是分別用3,2,5作為三項成績的權,用加權平均數作為學期總成績.甲的學期總成績為

=89(分),乙的學期總成績為=87(分).1.分配的“權”不同,甲、乙二人的總成績是否發生變化?2.算術平均數和加權平均數的區別和聯系是什么?聯系:算術平均數是加權平均數各項的權都相等的一種特殊情況.算術平均數與加權平均數的區別和聯系:區別:由于權的不同導致結果不同,所以權的差異對結果有影響.做一做測試項目專業素質綜合素質外語水平臨場應變能力測試成績/分甲9.08.57.58.8乙8.09.28.49.0(1)如果按四項測試成績的算術平均數排名次,名次是怎樣的?某電視節目主持人大賽要進行專業素質、綜合素質、外語水平和臨場應變能力四項測試，各項測試均采用10分制，兩名選手的各項測試成績如下表所示：(2)如果規定按專業素質、綜合素質、外語水平和臨場應變能力四項測試的成績各占60%,20%,10%,10%計算總成績,名次有什么變化?解:(1)甲、乙各項成績的算術平均數分別為:=8.45(分),=8.65(分).比較算術平均數,乙排名第一,甲排名第二.(2)甲、乙的加權平均成績分別為:=9.0×60%+8.5×20%+7.5×10%+8.8×10%=8.73(分),=8.0×60%+9.2×20%+8.4×10%+9.0×10%=8.38(分).比較加權平均數,甲排名第一,乙排名第二.2.按算術平均數排名和加權平均數排名有什么區別?提問:1.按照算術平均數和加權平均數的計算方法分別求平均數,對排名有影響嗎?歸納:

按測試成績的算術平均數排名次,實際上是將四項測試成績同等看待.而按加權平均數排名次,則是對每項成績分配不同的權,體現每項成績的重要程度不同.如專業素質成績的權重為60%,說明專業素質對主持人最重要.當各數據的重要程度不同時,一般采用加權平均數作為一組數據的代表值.2.算術平均數是加權平均數的一種特例.加權平均數的實質是考慮不同權重的平均數,當加權平均數的各項權相同時,就變成了算術平均數.[知識拓展]

1.數據中的“權”反映數據的相對“重要程度”,其表現形式有:數據所占的百分比、各個數據所占的比值,數據出現的次數.權越大,該數據所占的比重越大,反之則越小.解析:=4(件),即這個興趣小組平均每人采集標本4件.故選B.檢測反饋1.學校生物興趣小組11人到校外采集標本,其中有2人每人采集6件,4人每人采集3件,5人每人采集4件,則這個興趣小組平均每人采集標本

(

)A.3件

B.4件

C.5件

D.6件B2.某校把學生的紙筆測試、實踐能力、成長記錄三項成績分別按50%,20%,30%的比例計入學期總評成績,90分以上為優秀.甲、乙、丙三人的各項成績如下表(單位:分),學期總評成績為優秀的是

(

)紙筆測試實踐能力成長記錄甲908395乙889095丙908890A.甲

B.乙、丙C.甲、乙

D.甲、丙解析:由題意知,甲的總評成績=90×50%+83×20%+95×30%=90.1(分),乙的總評成績=88×50%+90×20%+95×30%=90.5(分),丙的總評成績=90×50%+88×20%+90×30%=89.6(分),∴甲、乙的學期總評成績是優秀.故選C.C3.某中學隨機調查了50名學生,了解他們一周在校的體育鍛煉時間,結果如下表所示:時間/小時5678人數/名1015205則這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是

.

解析:根據題意得(5×10+6×15+7×20+8×5)÷50=(50+90+140+40)÷50=320÷50=6.4(小時).故這50名學生這一周在校的平均體育鍛煉時間是6.4小時.故填6.4小時.6.4小時4.某廣告公司欲招廣告策劃人員一名,對甲、乙、丙三名候選人進行三項素質測試,它們的各項測試成績如下表所示:測試項目測試成績/分甲乙丙創新能力728567綜合知識507470計算機操作884567請你用所學的統計知識解決下列問題.(1)如果根據三項測試的平均成績確定錄用人選,那么誰將被錄用?(2)根據實際需要,公司將創新能力、綜合知識、計算機操作三項測試的得分按4∶3∶1的比例確定各人的測試成績,那么誰將被錄用?解:(1)甲的平均成績是

×(72+50+88)=70(分),乙的平均成績是

×(85+74+45)=68(分),丙的平均成績是

×(67+70+67)=68(分),因為70>68=68,所以候選人甲將被錄用.因為75.875>68.125>65.75,所以候選人乙將被錄用.(2)甲的測試成績是=65.75(分),乙的測試成績是

=75.875(分),丙的測試成績是

=68.125(分),23.2中位數和眾數（第1課時）第二十三章數據分析學習新知

王小龍畢業后去一家肯德基應聘工作,經理和他說我們這里工作人員收入很高,平均工資有2500元,王小龍參加工作后,過了一個月他拿到了900元的工資,覺得十分不滿,他的工資水平遠遠低于2500元,于是找到了經理,王小龍認為自己受了欺騙,經理拿出工作人員的工資表如下.你認為經理是否騙人了?人員經理店長員工A員工B員工C員工D試用工月薪/元600050001800150012001100900中位數與眾數的概念及意義問題1

小琴的英語聽力成績一直很好,在六次測試中,前五次的得分(滿分30分)分別為:28分,25分,27分,28分,30分.第六次測試時,因耳機出現故障只得了6分.如何評價小琴英語聽力的實際水平呢?(1)用6個分數的平均數評價小琴英語聽力的實際水平合理嗎?(2)如果不合理,那么應該用哪個數作為評價結果呢?問題2

某班用無記名投票的方式選班長,5名候選人分別編為1號,2號,3號,4號,5號.投票結果如下表:在這個問題中,我們最關注的是什么?(1)一般地,將n個數據按大小順序排列,如果n為奇數,那么把處于中間位置的數據叫做這組數據的中位數;如果n為偶數,那么把處于中間位置的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數.如圖所示,圖(1)中5個數據的中位數為x3,圖(2)中6個數據的中位數為(x3+x4).一般地,把一組數據中出現次數最多的那個數據叫做眾數.(當數據的個數為n,n為奇數時,中位數是從小到大(或從大到小)排列的第

個數;當n為偶數時,中位數是從小到大(或從大到小)排列的第

個數與第

+1個數的平均數.眾數是一組數據中出現次數最多的數)

【思考】1.中位數和眾數是不是都是唯一的?2.如何求一組數據的中位數和眾數?(中位數是唯一的,眾數不一定是唯一的)解:45個數據的平均數為

×(5×2+10×6+15×14+20×12+25×8+30×3)=18(min).例1統計全班45名學生每天上學路上所用的時間.如果時間取最接近5的倍數的整數,那么整理后的數據如下表:所用時間/min51015202530合計人數/名2614128345求所用時間的平均數、中位數和眾數.將這45個數據由小到大排序,第23個數據是20min,所以中位數是20min.所用時間出現最多的是15min,所以眾數是15min.檢測反饋1.實驗中學九年級一班十名同學進行定點投籃測試,每人投籃六次,投中的次數統計如下:5,4,3,5,5,2,5,3,4,1,則這組數據的中位數、眾數分別為 (

)A.4,5 B.5,4C.4,4 D.5,5解析:將這組數據重新排序為1,2,3,3,4,4,5,5,5,5,中位數是按從小到大排列后第5,6個數的平均數,為4.眾數是在一組數據中,出現次數最多的數據,這組數據中,出現次數最多的是5,故這組數據的眾數為5.故選A.A2.對于數據3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.①這組數據的眾數是3;②這組數據的眾數與中位數的數值不等;③這組數據的中位數與平均數的數值相等;④這組數據的平均數與眾數的數值相等.其中正確的結論有 (

)A.1個 B.2個C.3個 D.4個解析:將這組數據從小到大排列為2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10,共11個數,所以第6個數據是中位數,即中位數為3.數據3出現的次數最多,所以眾數為3.平均數為(2+2+3+3+3+3+3+3+6+6+10)÷11=4,由此可知①正確,②③④均錯誤.故選A.A3.一組數據1,3,2,5,2,a的眾數是a,這組數據的中位數是

.

解析:∵1,3,2,5,2,a的眾數是a,∴a=2,將這組數據從小到大排列為1,2,2,2,3,5,中位數為2.故填2.24.一組數據按照從小到大排列為2,4,8,x,10,14.若這組數據的中位數為9,則這組數據的眾數為

.

解析:由題意得(8+x)÷2=9,解得x=10,則這組數據中出現次數最多的是10,故眾數為10.故填10.105.某中學初三(1)班籃球隊有10名隊員,在一次投籃訓練中,這10名隊員各投籃50次的進球情況如下表:進球數/個4232262019181514人數11112121針對這次訓練,請解答下列問題:(1)求這10名隊員進球數的平均數、中位數和眾數;(2)求這支球隊整體投籃命中率;(3)若隊員小華的投籃命中率為40%,請你分析一下小華在這支球隊中的投籃水平.解:(1)平均數=×(42+32+26+20+19×2+18+15×2+14)=22(個).中位數為19個.眾數為19個和15個.(3)雖然小華的命中率為40%,低于整體投籃命中率44%,但小華投50個球進了20個,大于中位數19個,事實上全隊有6人低于這個水平,所以小華在這支隊伍中的投籃水平為中等偏上.(2)投籃命中率=×100%=44%.23.2中位數和眾數（第2課時）第二十三章數據分析學習新知

在一次數學考試中,小英得了78分,全班共32人,其他同學的成績為1個100分,4個90分,22個80分,2個62分,1個30分,1個25分.小英計算出全班的平均分為77.4分,所以小英告訴媽媽說,自己這次數學成績在班上處于“中上水平”.3.若不能,你認為用哪個數據表示此次考試的平均水平更合適?為什么?【思考】1.小英對媽媽說的情況屬實嗎?你對此有何看法?2.平均分77.4分能客觀地反映平均水平嗎?某公司銷售部統計了14名銷售人員6月份銷售某商品的數量,結果如下表:6月份銷量/件15001360500460400人數/名11543(2)根據計算的統計量,銷售定額定為多少比較合適?說明理由.(1)分別求銷量數據的平均數、中位數和眾數；解:(1)=600(件),(2)銷售定額定為480件比較合適.理由:定為中位數480件,有半數員工能完成定額,能調動員工的積極性.中位數為

=480(件),眾數為500件.

取平均數、中位數和眾數都是刻畫一組數據集中趨勢的方法,因為方法不同,所以得到的結論也可能不同.不同的方法沒有對錯之分,只是能夠更客觀地反映實際背景的方法要更好一些.強調例2

某企業50名職工的月工資分為5個檔次,分布情況如下表:月工資額/元25003000350040004500人數/名61218104(1)求月工資的平均數和中位數；(2)企業經理關心哪個數?普通職工關心哪個數?解:(1)月工資的平均數為×(2500×6+3000×12+3500×18+4000×10+4500×4)=3440(元).50個數由小到大排列,最中間的兩個數均為3500,所以中位數為3500元.(2)企業經理關心平均工資,知道平均工資就知道了工資總額.普通職工關心中位數,知道了中位數,就知道自己工資水平大概的位置.統計量平均數中位數眾數適用情況優點缺點平均數反映數據的一般水平,多用于比較或消除誤差,是最常用的一個代表值中位數是一個中間位置量,常用于確定定額、制定標準等眾數是出現次數最多的數據,反映民意調查等有集中傾向的結果能利用所有數據的信息,意義明確,計算方便,應用廣泛較少受異常值的影響較少受異常值的影響當數據中有異常值時,平均數的代表性較差沒有利用所有數據的信息眾數可能不唯一或不存在,有時沒有意義2.實際問題中求得的平均數、中位數和眾數的單位與原數據的單位一致.[知識拓展]

1.平均數、中位數和眾數都是描述一組數據的特征量,但最終選用哪一個量來描述這組數據,應結合實際情況來確定.檢測反饋1.某校為了豐富校園文化,舉行了初中生書法大賽,決賽設置了6個獲獎名額,共有11名選手進入決賽,選手決賽得分均不相同.若知道某位選手的決賽得分,要判斷她能否獲獎,只需知道這11名選手得分的 (

)A.中位數 B.平均數C.眾數 D.加權平均數解析:11個不同的分數從小到大排序后,中位數及中位數之后共有6個數,故只要知道自己的分數和中位數就可以知道是否獲獎了.故選A.A解析:了解這家公司員工的工資時,要全面了解大多數員工的工資水平,故最應該關注的數據是中位數.故選C.2.為了解某公司員工的年工資情況,小王隨機調查了10位員工,其年工資(單位:萬元)如下:3,3,3,4,5,5,6,6,8,20.下列統計量中,能合理反映該公司員工年工資水平的是 (

)A.加權平均數 B.眾數C.中位數 D.平均數C解析:由于眾數是出現次數最多的數,故店主最關注的統計量是眾數.故填眾數.3.一段時間內,鞋店為了解某品牌女鞋的銷售情況,對各種尺碼鞋的銷量進行了統計分析,在“平均數”“中位數”“眾數”等統計量中,店主最關注的統計量是

.

眾數4.某公司銷售部有營銷人員15人,銷售部為了制定某種商品的月銷售定額,統計了這15人某月的銷售量如下:銷售件數1800510250210150120人數113532(3)假設你是營銷部負責人,你會把每位營銷人員的月銷售額定為多少件?并說明理由.(1)這15位營銷人員該月銷售件數的中位數、眾數分別是多少?(2)計算這15位營銷人員該月銷售件數的平均數;(2)平均數是:=320(件).解:(1)表中的數據是按從大到小的順序排列的,處于中間位置的是210,因而中位數是210件;210出現的次數最多,所以眾數是210件.(3)銷售額定為210件合適些,因為210件既是中位數,又是眾數,是大部分人能達到的定額.23.3方差（第1課時）第二十三章數據分析3.如何計算一組數據的平均數、中位數和眾數?知識復習1.表示一組數據的“集中趨勢”的統計量有哪些?2.什么是平均數、中位數和眾數?觀察與思考甲、乙兩名業余射擊選手參加了一次射擊比賽,每人各射10發子彈,成績如圖所示.(1)觀察上圖,甲、乙射擊成績的平均數、中位數各是多少?(兩人射擊成績的平均數和中位數都是7環)(甲射擊成績波動較大,波動的大小反映射擊的穩定性有差異)(2)甲、乙射擊成績的平均數是否相同?若相同,他們的射擊水平就一樣嗎?(兩人射擊成績的平均數相同,但并不能說明射擊水平一定相同)(3)哪一組數據相對于其平均數波動較大?波動大小反映了什么?1.如何描述每個數據與平均數的偏差?3.如何防止正負偏差相互抵消?2.把所有的偏差直接相加能表示所有數據的總偏差嗎?(不能,因為正負偏差會相互抵消,偏差總和為0)(將各偏差平方后再求和)4.如何消除數據個數的影響?(將各偏差平方后再求平均數)設n個數據x1,x2,…,xn的平均數為,各個數據與平均數偏差的平方分別是偏差平方的平均數叫做這組數據的方差,用s2表示,即思考4.方差為0的一組數據有什么特點?1.方差的取值范圍是什么?2.如何求一組數據的方差?3.如何用方差的大小衡量離散程度的大小?5.你能通過求方差的方法,說明上述問題中哪個射擊選手的成績比較穩定嗎?[(4-7)2+(5-7)2+2(6-7)2+3(7-7)2+(8-7)2+2(10-7)2]=3.4,[(5-7)2+2(6-7)2+4(7-7)2+2(8-7)2+(9-7)2]=1.2.因為,所以乙的射擊成績比甲的波動小,乙的成績更穩定些.方差的值為非負數;當方差為0時,這組數據為相同的一組數值;當數據分布比較分散時,方差較大;當數據分布比較集中時,方差較小.因此,方差的大小反映了數據波動(或離散程度)的大小.結論例1利用計算器計算下列數據的平均數和方差.(結果精確到0.01)66

78

81

75

86

82解:(1)進入統計狀態,選擇一元統計.(2)輸入數據.(3)顯示結果.5.一組數據的每一個數據都變為原來的k倍,則所得的一組新數據的方差將變為原數據方差的k2倍.[知識拓展]

1.方差是用來衡量一組數據波動大小的重要量.2.方差反映的是數據在它的平均數附近波動的情況.3.對于同類問題的兩組數據,方差較大的波動較大,方差較小的波動較小.4.一組數據的每一個數據加上(或減去)同一個常數,所得的一組新數據的方差不變.檢測反饋1.(2015·上海中考)下列統計量中,能表示一組數據波動程度的是 (

)A.平均數 B.眾數C.方差 D.頻率解析:表示一組數據波動大小的統計量是方差.故選C.C2.甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽,參賽學生每分鐘輸入漢字的個數統計結果如下表:班級參賽人數中位數方差平均數甲55149191135乙55151110135某同學分析上表后得出如下結論:①甲、乙兩班學生成績平均水平相同;②乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數(每分鐘輸入漢字≥150個為優秀);③甲班成績的波動比乙班大.上述結論正確的是 (

)A.①②③ B.①②

C.①③ D.②③A解析:∵

∴①正確;∵乙的中位數為151,甲的中位數為149,∴乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數,②正確;∵

,∴甲班成績的波動比乙班大,③正確.故選A.3.一名學生軍訓時連續射靶10次,命中的環數分別為4,7,8,6,8,5,9,10,7,6.則這名學生射擊環數的方差是

.

解析:數據4,7,8,6,8,5,9,10,7,6的平均數==7,方差=(9+0+1+1+1+4+4+9+0+1)=3.故填3.34.某次射擊練習,甲、乙二人各射靶5次,命中的環數如下表:甲命中環數78686乙命中環數95678那么射擊比較穩定的是

.

解析:根據題意得=(7+8+6+8+6)÷5=7,=(9+5+6+7+8)÷5=7,[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2]=0.8，[(9-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2]=2,∵∴射擊成績比較穩定的是甲.故填甲.甲5.已知兩組數據:甲:9.9

10.3

9.8

10.1

10.4

10

9.8

9.7乙:10.2

10

9.5

10.3

10.5

9.6

9.8

10.1分別計算這兩組數據的方差,并說明數據波動的大小.×(9.9+10.3+9.8+10.1+10.4+10+9.8+9.7)=10.×(10.2+10+9.5+10.3+10.5+9.6+9.8+10.1)=10.因為,所以乙組數據比甲組數據波動大.×[(9.9-10)2+(10.3-10)2+…+(9.7-10)2]×(0.01+0.09+…+0.09)=

=

×0.44=0.055,×[(10.2-10)2+(10-10)2+…+(10.1-10)2]=×(0.04+0+…+0.01)=×0.84=0.105.23.3方差（第2課時）第二十三章數據分析學習新知

某校在甲、乙兩名優秀選手中選一名參加全市中學生運動會跳遠比賽,該校預先對這兩名選手測試了10次,測試成績如下表:12345678910選手甲的成績/cm585596610598612597604600613601選手乙的成績/cm613618580574618593585590598624(5)歷屆比賽表明,成績達到610cm就能打破紀錄,你認為為了打破紀錄應選誰參加這項比賽?(1)他們的平均成績分別是多少?(2)甲、乙這10次比賽成績的方差分別是多少?(3)這兩名運動員的運動成績各有什么特點?(4)歷屆比賽表明,成績達到596cm就很可能奪冠,你認為為了奪冠應選誰參加這項比賽?

張老師乘公交車上班,從家到學校有A,B兩條路線可選擇,他做了一番試驗.第一周(5個工作日)選擇A路線,第二周(5個工作日)選擇B路線,每天兩趟,記錄所用時間如下表:試驗序號12345678910A路線所用時間/min35523536543841345540B路線所用時間/min45494445474650485046根據上表數據繪制的折線統計圖如圖所示.(1)從圖形看,哪條路線平均用時少,哪條路線用時的波動大?(2)用計算器分別計算選擇A,B兩條路線所用時間的平均數和方差.(3)如果某天上班可用時間只有40min,應選擇走哪條路線?(4)如果某天上班可用時間為50min,又應選擇走哪條路線?(1)從直觀上看,A路線平均用時少,但用時的波動較大,說明A路線通行不順暢.B路線的平均用時較多,但用時比較穩定,可能B路線較長,但通行較順暢.(2)經計算得:(3)當上班可用時間只有40min時,應選擇走A路線,因為在10次記錄中,B路線所有用時都超過40min,而A路線有6次用時不超過40min.(4)當上班可用時間為50min時,應選擇走B路線.由于,所以A路線平均用時少,但用時波動較大.

例2測試甲、乙兩個品牌的手表各50只,根據日走時誤差數據繪制的統計圖如圖所示.從日走時誤差角度比較這兩個品牌手表的優劣.5.從日走時誤差的絕對值不超過1s的手表所占的百分比看,如何比較這兩個品牌手表的優劣?【思考】1.通過什么統計量可以比較這兩個品牌手表的優劣?2.如果甲、乙兩個品牌的手表的日走時誤差的平均數均為0,通過什么統計量比較手表的優劣?3.如何計算兩種品牌手表的方差?4.如何用方差的大小比較手表的優劣?因為,所以從日走時誤差方差的角度看,甲品牌優于乙品牌.

解:經計算知,甲、乙兩個品牌手表日走時誤差的平均數均為0.兩組數據的方差分別為:×[(-2)2×5+(-1)2×11+02×17+12×13+22×4]=1.2,×[(-3)2×2+(-2)2×6+(-1)2×11+02×14+12×8+22×6+32×3]=2.24.從日走時誤差的絕對值不超過1s的手表所占的百分比看,甲品牌為82%,乙品牌為66%,甲品牌優于乙品牌.檢測反饋1.小明與小華本學期都參加了5次數學考試(總分均為100分),數學老師想判斷這兩位同學的數學成績誰更穩定,在進行統計分析時,老師需比較這兩人5次數學成績的 (

)A.平均數 B.方差C.眾數 D.中位數解析:由于方差能反映數據的波動大小,故判斷兩人的數學成績誰更穩定,應比較方差.故選B.B2.一城市準備選購1000株高度大約為2m的某種風景樹來進行街道綠化,有四個苗圃生產基地投標(單株樹的價格都一樣).采購小組從四個苗圃中都任意抽查了20株樹苗的高度,得到的數據如下:請你幫采購小組出謀劃策,應選購 (

)A.甲苗圃的樹苗 B.乙苗圃的樹苗C.丙苗圃的樹苗 D.丁苗圃的樹苗D解析:由

,知甲、丁的方差小,波動小,樹苗較整齊;又丁苗圃樹苗的平均高度為2m,大于甲苗圃樹苗的平均高度,故應選擇丁苗圃的樹苗.故選D.解析:因為,所以乙機床生產的螺絲質量最好.3.甲、乙、丙三臺機床生產直徑為60mm的螺絲,為了檢驗產品質量,從三臺機床生產的螺絲中各抽查了20個測量其直徑,進行數據處理后,發現這三組數據的平均數都是60mm,它們的方差依次為根據以上提供的信息,你認為生產螺絲質量最好的是

機床.

乙4.下面是兩天的每隔兩個小時的氣溫數據(單位:℃).8月20日:25,26,27,27,28,29,30,31,29,28,27,26.8月21日:23,24,24,26,27,28,29,30,29,28,27,26.(1)這兩天的平均氣溫,哪一天高些?(2)哪一天的氣溫變化較大?23.4用樣本估計總體第二十三章數據分析學習新知

從甲、乙兩種農作物里各抽取10株苗,分別測得它們的苗高如下:(單位cm)甲:9,10,11,12,7,13,10,8,12,8;乙:8,13,12,11,10,12,7,7,9,11.(1)分別算出甲、乙兩種農作物苗高的平均值、中位數、眾數和方差;(2)哪種農作物苗長得比較整齊?

為了估計全校初中女生的平均身高,九年級(一)班8個課外學習小組采用隨機抽樣的方法,分別抽取容量為25和100的樣本,樣本平均數用

和

表示,結果(單位:cm)如下表:小組序號12345678158.5161.5160.2160.0160.9160.4159.0159.5160.0159.0160.5159.3159.8161.0159.6160.8把得到的樣本平均數標在數軸上,如圖所示.(1)對容量相同的不同樣本,算得的樣本平均數相同嗎?樣本平均數有不確定性:相同的樣本容量,不同樣本的平均數一般也不相同.(2)觀察上圖,在兩組樣本平均數中,哪一組樣本平均數的波動較小?這樣體現了什么樣的統計規律?(3)如果總體身高的平均數為160.0cm,哪一組樣本平均數整體上更接近160.0cm?

樣本平均數有穩定性:當樣本容量較小時,差異可能還較大.但是當樣本容量增大時,樣本的平均數的波動變小,逐漸趨于穩定,且與總體的平均數比較接近.

在實際中經常用樣本的平均數估計總體的平均數,同樣的道理我們也用樣本的方差估計總體的方差.追問:

什么樣的實際問題中我們可以采用樣本平均數、方差估計總體平均數、方差?有破壞性或總體數量較多時(3)規定當方差不超過0.05mm2時,車床生產情況為正常.判斷這臺車床的生產情況是否正常.例1工人師傅用車床加工一種直徑為20mm的軸,從某天加工的軸中隨機抽取了10件,測得其直徑(單位:mm)如下:20.1

19.9

20.3

20.2

19.819.7

19.9

20.3

20.0

19.8(1)計算樣本平均數和樣本方差.(2)求總體平均數和總體方差的估計值.解:(1)樣本平均數為=×(20.1+19.9+…+19.8)=20(mm).樣本方差為s2=×[(20.1-20)2+…+(19.8-20)2]=0.042(mm2).(2)總體平均數和總體方差的估計值分別為20mm和0.042mm2.(3)由于方差不超過0.05mm2,所以可以認為車床的生產情況正常.

例2一個蘋果園,共有2000棵樹齡相同的蘋果樹.為了估計今年蘋果的總產量,任意選擇了6棵蘋果樹,數出它們掛果的數量(單位:個)分別為:260

340

280

420

360

380

根據往年的經驗,平均每個蘋果的質量約為250g.試估計今年蘋果園蘋果的總產量.解:6棵蘋果樹平均掛果的數量為×(260+340+280+420+360+380)=

340(個).0.25×340=85(kg),6棵蘋果樹平均每棵的產量約為85kg.由樣本平均數估計總體平均數,2000棵蘋果樹平均每棵產量約為85kg,總產量的估計值為85×2000=170000(kg).3.樣本平均數估計總體平均數結果有不確定性,隨著樣本容量的增加,由樣本得出的平均數往往會更接近總體的平均數.對方差也有相同的結論.[知識拓展]

1.用樣本估計總體是統計的基本思想,而總體的平均數和方差是最重要的兩個數字特征.在統計中,我們常用樣本平均數(或方差)估計總體平均數(或方差).2.當調查的對象有破壞性或數量較大時,常采用樣本估計總體的方法解決實際問題.檢測反饋1.某“中學生暑假環保小組”的同學,隨機調查了“幸福小區”10戶家庭一周內使用環保方便袋的數量,數據如下(單位:只):6,5,7,8,7,5,8,10,5,9,利用上述數據估計該小區2000戶家庭一周內需要環保方便袋約(

)A.2000只 B.14000只C.21000只 D.98000只解析:

×(6+5+7+8+7+5+8+10+5+9)×2000=14000(只).故選B.B2.從總體中抽取一個樣本,計算出樣本方差為2,可以估計總體方差(

)A.一定大于2 B.約等于2C.一定等于2 D.與樣本方差無關解析:在總體數目較多的條件下,通常選取一個樣本,樣本的情況大體可以反映總體的趨勢.故選B.B解析:先計算50名學生的平均植樹量,然后用樣本的平均數估計總體的平均數即可:九年級共植樹420×=1680(棵).故填1680.3.某校九年級420名學生參加植樹活動,隨機調查了50名學生植樹的數量,并根據數據繪制了如下條形統計圖,請估計該校九年級學生此次植樹活動約植樹

棵.

1680解:(1)=14(噸).(2)14×500=7000(噸),所以估計該小區居民每月共用水7000噸.4.為了了解某小區居民的用水情況,隨機抽查了該小區10戶家庭的月用水量,結果如下:月用水量/噸1013141718戶數22321(1)計算這10戶家庭的平均月用水量;(2)如果該小區有500戶家庭,根據上面的計算結果估計該小區居民每月共用水多少噸.24.1一元二次方程第二十四章一元二次方程

一個長為10m的梯子斜靠墻上，梯子的頂端A處到地面的距離為8m.如果梯子的頂端沿墻面下滑1m,那么梯子的底端在地面上滑動的距離也是1m嗎？你能列方程解決這個問題嗎？問題思考解：設梯子的底端在地面上滑動的距離xm,于是得方程102=(8-1)2+(6+x)2.整理得x2+12x－15=0.

問題：這個方程是不是我們前邊學過的方程？

如圖，某學校要在校園內墻邊的空地上修建一個長方形的存車處，存車處的一面靠墻（墻長22m），另外三面用90m長的鐵柵欄圍起來.如果這個存車處的面積為700m2,求這個長方形存車處的長和寬.共同探究一（3）如何設未知數，根據題中等量關系怎樣列方程？思考下列問題：（1）分析題意，題中的已知條件是什么？（2）分析題意，題中的等量關系是什么？（4）分析下面小明和小亮列方程的做法，他們的解題思路和所列方程是否正確？小明的做法設長方形存車處的寬（靠墻的一邊）為xm,則它的長為m.根據題意，可得方程整理，得小亮的做法設長方形存車處的長（與墻垂直的一邊）為xm，則它的寬為（90-2x）m..根據題意，可得方程整理，得共同探究二x2+12x－15=0；（4）你能類比一元一次方程的概念，給出一元二次方程的定義嗎？

請口答下面問題．

（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數？（2）上面方程中未知數x的最高次數是幾次？（3）方程兩邊都是整式嗎？歸納：一元二次方程滿足三個條件：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次；（3）方程兩邊都是整式．定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程，叫做一元二次方程.下列各式是否為一元二次方程：（1）2x2=9；（）（2）2x2-1=3y；（）（3）4x2+3=2x；（）（5）5x2-2x+3；（）（6）2x（x+2)=5x-2；（）（）是不是是不是是是共同探究三思考1：類比一元一次方程的一般形式，你能不能寫出一元二次方程的一般形式？一元二次方程的一般形式為：

ax2+bx+c=0（a≠0）．二次項一次項常數項提示：a是二次項系數；b是一次項數．（任何一個一元二次方程都能化成一般形式；當一元二次方程的二次項系數a=0，b≠0時，方程為一元一次方程.）思考2：（1）任何一個一元二次方程是否都可以整理成一般形式？（2）一元二次方程的二次項系數為什么不能為0？將下列一元二次方程化為一般形式，并指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項.（1）（2）（3）（4）分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），因此，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等法則先將一元二次方程進行整理，再根據有關概念求解.解：(1)原方程可化為：其中二次項系數為4，一次項系數為-3，常數項為-12．(2)原方程可化為：其中二次項系數為6，一次項系數為-13，常數項為-4．(3)原方程可化為：其中二次項系數為2，一次項系數為1，常數項為-48．(4)原方程可化為：其中二次項系數為5，一次項系數為6，常數項為2．共同探究四將這個數值代入一元二次方程，如果方程左右兩邊相等，則該數值是方程的根；如果方程左右兩邊不相等，則該數值不是方程的根.思考：1.什么是一元二次方程的解？使一元二次方程兩邊相等的未知數的值，叫做一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫做這個方程的根.2.如何判定一個數值是不是一元二次方程的根？

做一做：在下列各題中，括號內未知數的值，哪些是它前面方程的根？（1）（2）（3）【知識拓展】1.判斷一個方程是一元二次方程需同時滿足三個條件：（1）是整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2.同時要注意二次項系數不能為0.2.一元二次方程的一般形式的特點是方程的右邊為0，左邊是關于未知數的二次整式.3.一元二次方程的項或系數是針對一元二次方程的一般形式而言的，所以寫項或系數時，要先化成一般形式，并且都包括前邊的符號.4.判斷一個數值是不是一元二次方程的根的方法：將這個數值代入一元二次方程，如果方程左右兩邊相等，則該數值是方程的根；如果方程左右兩邊不相等，則該數值不是方程的根.5.如果已知a是一元二次方程的根，把x=a代入方程，方程左右兩邊相等，可以求待定系數的值，整體思想是常用的數學思想.4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.課堂小結1.一元二次方程概念需要滿足三個條件：（1）是整式方程；（2）只含有一個未知數；（3）未知數的最高次數是2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），易錯點是忽略強調a≠0.3.確定一元二次方程的項與系數時一定先化成一般形式，書寫時應注意包括前邊的符號.檢測反饋1.在下列方程中，一元二次方程的個數是（）①2x2+5=0；②ax2+bx+c=0；③（x-1）（x+2）=x2-1；④⑤A.2個B.3個C.4個D.5個解析：一元二次方程必須滿足三個條件：（1）含有一個未知數；（2）未知數的最高次數是2；（3）是整式方程，同時注意二次項系數不為0.①④⑤滿足這四個條件，②中二次項系數可能為0，③化簡后不含有二次項，不符合定義，故選B.B2.一元二次方程7x2-2x=0的二次項、一次項、常數項依次是（

）A.7x2，2x，0B.7x2，-2x，無常數項

C.7x2，0，2xD.7x2，-2x，0解析：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中ax2是二次項，bx是一次項，c是常數項．所以該方程中二次項、一次項、常數項依次是7x2，-2x，0，故選D.D3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值是（）A.-3B.3C.0D.0或3解析：把x=2代入方程，得4+2m+2=0，解得m=-3，故選A.A4.若

是一元二次方程，則m=

.解析：根據一元二次方程概念知未知數x的最高指數是2，且二次項系數不為0，得m2-2=2，m-2≠0，解得m=-2，故填-2.-25.根據題意填空.（1）如果兩個連續奇數的積是323，求這兩個數，如果設其中較小的一個奇數為x，你能列出求解x的方程嗎？__________，一般形式為

.(2)如圖，在寬為20m，長30m的矩形場地上，修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分作為耕地，要使耕地的面積為500m2，若設路寬為xm，則可列方程為___________________，一般形式為

.x(x+2)=323x2+2x-323=0(20-x)(30-x)=500x2-50x+100=0解析：（1）根據題意中兩個奇數的積是323，列方程，得x(x+2)=323,化簡，得x2+2x-323=0.故填x(x+2)=323，x2+2x-323=0.（2）將兩條道路平移到矩形的邊處，矩形的長為（30-x）m,寬為(20-x)m，根據余下的耕地面積為500m2，列方程，得（20-x)(30-x)=500,化簡，得x2-50x+100=0.故填(20-x)(30-x)=500,x2-50x+100=0.24.2解一元二次方程（1）第二十四章一元二次方程一桶油漆可刷的面積為1500dm2,張明用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？

解：設其中一個盒子的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2.根據題意，得10×6x2=1500，整理，得x2=25.根據平方根的意義，得x=±5.即x1=5，x2=-5.(不合題意，舍去)答：其中一個盒子的棱長為5dm.1.根據平方根的意義，解下列方程：(1)(2)解：（1）根據平方根的意義得x=，∴x1=2，x2=-2.（2）根據平方根的意義得x+1=，∴x+1=2或x+1=-2，∴

x1=1，x2=-3.

思考：方程的左右兩邊滿足什么形式時，利用平方根的意義，可以直接開平方解一元二次方程？2.解下列方程：（1）（2）思考下列問題并回答：(1)方程（2）與方程（1）的區別是什么？方程(1)左邊可以化簡成完全平方式，方程（2）左邊不是完全平方式.(2)把常數項移項，如何把方程（2）的左邊化成與方程（1）的左邊相同？移項，得x2＋2x＝3，根據等式的性質，方程兩邊同時加1可以化成與（1）的左邊相同.

（3）能不能配方后解方程？配方后用直接開平方法可以求解.∴x1=1，x2=-3.解：（1）原方程可化為（x+1)2=4,∴x+1=，∴x+1=2或x+1=-2，（2）原方程可化為

，即∴x+1=，∴x+1=2或x+1=-2，∴x1=1，x2=-3.做一做先把下列方程化為的形式，再求出方程的根.（1）（3）（2）（4）根據完全平方公式填空：(1)x2+2x+(

)2=(x+__)2；（2）x2-4x+(

)2=(x-_)2；（3）x2-6x+(

)2=()2；

(4)x2+x+(

)2=(

)2.11223x-3x+解：（1）原方程可化為,即∴x+1=±7，∴x+1=7或x+1=-7，∴

x1=6，x2=-8.（2）原方程可化為

即∴x-2=，∴x-2=4或x-2=-4，∴

x1=6，x2=-2.（3）原方程可化為

，即∴x-3=，∴x-3=2或x-3=-2，∴

x1=5，x2=1.（4）原方程可化為即歸納總結：

通過配方，把一元二次方程變形為一邊為含未知數的一次式的平方，另一邊是常數，當常數為非負數時，利用開平方，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，從而求出原方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.（4）解出方程的根.配方法解一元二次方程的步驟：（1）移項（常數項移到方程右邊）；（2）配方（方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方）；（3）開平方；例1用配方法解下列方程：（1）（2）解：⑴移項，得

配方，得即

兩邊開平方，得所以(2)移項，得

配方，得即

兩邊開平方，得所以做一做用配方法解方程：（1）該方程能不能按上邊的方法先移項，然后直接配方？觀察方程移項后，二次項系數不為1，所以不能直接配方.（2）觀察該方程和上邊方程有什么區別？二次項系數不為1.（3）如何把二次項系數化為1？根據等式的基本性質，方程兩邊同時除以二次項系數可得.（4）根據上邊的分析，嘗試完成解方程.解：移項，得2x2+4x＝－1，

二次項系數化為1，得x2+2x＝－

，配方，得x2+2x+1＝－+1，（x+1）2=，∴x+1=±

，∴x1=-1+，x2=-1-.例2

用配方法解方程：.解：移項，并將二次項系數化為1，得配方，得,即兩邊開平方，得

所以知識拓展1.直接開平方法是解一元二次方程的最基本的方法，主要解形如（ax＋b）2=c（c≥0）的一元二次方程，解方程的理論依據是平方根的定義.2.利用直接開平方法解一元二次方程時，要注意開方的結果.3.方程（ax＋b）2=c中，當c＜0時，方程沒有實數根.5.用配方法解一元二次方程，實質就是對一元二次方程變形，轉化成直接開平方法所需要的形式.配方為了降次，利用平方根的定義把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.4．配方法是對二次項和一次項配方，所以一般先把常數項移到方程右邊，再利用等式的性質將方程兩邊都