多面體和旋轉體的體積第一頁，共十二頁，2022年，8月28日2.7體積的概念與公理幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積同讀量長度，面積一樣，要度量一個幾何體的體積，首先要選取一個單位體積作為標準。然后求出幾何體的體積的體積是單位體積的多少倍，這個倍數就是這個幾何體的體積的數值。公理5長方體的體積等于它的長，寬，高的積。

acb第二頁，共十二頁，2022年，8月28日推論1長方體的體積等于它的底面積s和高h的積。推論1正方體的體積等于它的棱長的立方。從公理5

，可以直接得到下面的推論：(注:.ab=s、h=s)(注:.a=b=c)第三頁，共十二頁，2022年，8月28日公理6夾在兩個平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意平面所截,如果截得的兩個截面的面積總相等,那么這兩個幾何體的體積相等.夾在平行平面α,β之間的兩個形狀不同的幾何體，被平行于平面α,β的任意一個平面所截，如果截面P和Q的面積相等，那么它們的體積一定相等。例如，取一摞書或一摞紙張堆放在桌面上，將它如圖那樣改變一下形狀，這時高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而這摞書或紙的體積與變形前相等。Back第四頁，共十二頁，2022年，8月28日2.8棱柱,圓柱的體積設有底面積都等于S,高都等于h的任意一個棱柱和一個圓柱,取一個與它們底面積相等,高也相等的長方體,使它們的下底面在同一個平面α上。因為它們的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它們的上底面都在和平面α平行的同一個平面內。用和平面α平行的任意平面去截它們時，所得的截面都和它們的底面分別全等，故這些截面的面積都等于S。根據定理6，它們的體積相等。由于長方體的體積等于它的底面積和高的乘積，于是我們得到下面的定理：定理柱體（棱體，圓體）的體積等于它的面積S和高h的積。第五頁，共十二頁，2022年，8月28日

例1

有一堆相同規格的六角螺帽毛坯共重5.8kg。已知底面六邊形的邊長是12mm,高是10mm,內孔直徑是10mm.問約有毛坯多少個(鐵的比重是7.8g/cm3)

解:六角螺帽毛坯的體積是一個正六棱柱的體積與一個圓柱的體積的差.PNO毛坯的體積答：這堆毛坯約有250個。Back第六頁，共十二頁，2022年，8月28日2.9棱錐,圓錐的體積CBAA’B’CA’BC’CA’B’第七頁，共十二頁，2022年，8月28日取任意兩個錐體,設它們的底面面積都是S,高都是H.把這兩個錐體放在同一個平面α上,這時它們的頂點都在和平面α平行的同一個平面內。用平行于平面α的任意平面去截它們，截面分別與底面相似。設截面與頂點的距離是h1，截面面積分別是S1,S2,那么根據公理6，這兩的錐體的體積相等，及三棱錐的體積公式。由此我們可以得到下面的定理：定理等面積等高的兩的錐體的體積相等。定理如果一個錐體（棱錐，圓錐）的底面積S，高是h，那么它的體積是Back第八頁，共十二頁，2022年，8月28日

1.用棱長為1的正方體的體積作為體積單位右圖長方體的體積的數值為36。假如將體積單位改用棱長為2的正方體的體積，這個長方體的體積變為多少？為什么？解：原來以1為一個單位，現在以2為一個單位。故，這個長方體的體積是4.5第九頁，共十二頁，2022年，8月28日

2.已知長方體形的銅塊長，寬，高分別是2cm,4cm,8cm，將它們融化后鑄成一個正方體形的銅塊，求鑄成的銅塊的棱長（不計損耗）。解：由柱體體積公式有：不計損耗所求棱長為4cm第十頁，共十二頁，2022年，8月28日

3.如圖，將長方體沿相鄰三個面的對角線截取一個三棱錐。這個三棱錐的體積是長方體體積的幾分之