《量子力學(xué)》復(fù)習(xí)例題與題解一、基本概念波粒二象性k微觀粒子具有波粒二象性，即微觀粒子既有波動(dòng)性—彌漫性，又有粒子性—不可分割性，德波羅意關(guān)系式是兩者的統(tǒng)一：kE,測不準(zhǔn)關(guān)系

關(guān)系式的左邊體現(xiàn)粒子性；右邊體現(xiàn)波動(dòng)性。描述微觀粒子體系的力學(xué)量算符一般是不可對(duì)易的，也就是說，這兩個(gè)力學(xué)量不(?)2(?)本征方程

1[?,?]4如下方程：? Q（其中Qn n n

為常數(shù)）稱為力學(xué)量算符?的本證方程，Q為n力學(xué)量算符?簡并度

的本征值。n一個(gè)本征值相應(yīng)于多個(gè)本征態(tài)的情形稱為簡并情形，本征態(tài)的個(gè)數(shù)稱為相應(yīng)于該本征值的簡并度。全同性原理全同微觀粒子體系，當(dāng)兩個(gè)粒子交換坐標(biāo)時(shí)，波函數(shù)要末不變號(hào)，要末變號(hào)，即概率分布不變。6．.波函數(shù)微觀粒子體系的態(tài)必須用具有統(tǒng)計(jì)意義的波函數(shù)(,t)(,t)2為概率密度，即在t附近單位體積內(nèi)找到微觀粒子的概率歸一化常數(shù)(,t)(,t) A(,t)d1A即為歸一化常數(shù)力學(xué)量完全測量集合完全確定一微觀粒子體系的狀態(tài)所需要的力學(xué)量測量集合，這些力學(xué)量必須滿微擾理論當(dāng)?? ?'，且?'? ，零級(jí)近似的本征方程?(0)E(0(0)可以0 0 0 n n n嚴(yán)格求解時(shí)，可用微擾理論來處理，即在零級(jí)近似E(0)k

(0)的基礎(chǔ)上，根據(jù)需要k的精度逐步進(jìn)行一級(jí)、二級(jí)或高級(jí)修正。玻色子與費(fèi)密子ss為半整數(shù)的微觀粒子受泡里原理的約束。定態(tài)E一定（t無關(guān)）;概率分布一定，即(,t)2一定（t無關(guān)；力學(xué)量的平均值一定，即?一定（t無關(guān)。量子化與電離態(tài)量子化 當(dāng)微觀粒子只能束縛于有限空間時(shí)，其力學(xué)量算符的本征值取值分立的現(xiàn)象，此時(shí)能量為負(fù)值；電離態(tài) 當(dāng)微觀粒子在無限空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，其力學(xué)量算符的本征值取值連續(xù)的現(xiàn)象，此時(shí)能量為正值。泡里不相容原理對(duì)全同費(fèi)米子系而言，每一單粒子態(tài)上最多只允許一個(gè)費(fèi)米子占領(lǐng)的原理。泡里矩陣為方便地描述電子的自旋運(yùn)動(dòng)所引入的矩陣，泡里矩陣的定義為i 2 i,

(i1,2,3)i為相應(yīng)的分量。i i態(tài)的疊加原理微觀粒子體系的態(tài)滿足態(tài)的疊加原理，()C ，n nn()態(tài)中出 態(tài)的概率為C 2。n n量子諧振子的零點(diǎn)能量子諧振子的能量為En為零點(diǎn)能.

(n

1)nn0時(shí)的能量E2

1 稱2?2z?的本征方程與本征值z ?2Y ll) 2Y ,l,,...);?Y mY (m,, lm lm z lm lm隧道效應(yīng),,勢壘的效應(yīng).寫出球力學(xué)量Q平均值的兩種方法Q*?; Q

C2Qn

, 其中Cn nn n本征函數(shù)的正交歸一性與完備性。正交歸一性: n二、計(jì)算與證明題

dm

;完備性Cn nn試寫出在0a說明其物理意義。[解]2a n2a(x) sin x, (0xa)n ,

a(x0;xa)E 2n 2ma2

n2

(n能級(jí)分立，非簡并IH

L為角2I動(dòng)量，求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形下的定態(tài)能量及波函數(shù)。[解]繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子稱為平面轉(zhuǎn)子，若取轉(zhuǎn)軸為Z軸，則在坐標(biāo)表象中i相應(yīng)的本征方程為i()m()，z z 得()Aeim，注意到與應(yīng)該是對(duì)應(yīng)于同一點(diǎn)，故應(yīng)有eimeim(2)，由此得ei2m1，即式中m（正負(fù)整數(shù)）?

2 2

2 2而Hz 的本征方程為 E令m2

2I 2I2 2I22IE，則方程變?yōu)?2()m2()0()Aeim，同上，與為同一點(diǎn)，2故m(只須表成()即可。這樣，能量為Em222I0

(m0,1,2A:2)2A22eiei1A21，取A 1 。20最后歸一化的波函數(shù)為12() eim, (m12相應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)為 (,( )eit

i(mt12e 12e

(m0,1,2,...)a30r氫原子處于基態(tài) (r,,)a30r

1 ea0，求：100（1）r（2）勢能

e2的平均值；r[解]（1）r1 2r42rr2 1 2r42r

earr2sindd

r3eadr000 0 0

a3 00

a3 00利用積分公式：xnexdx 04

n13a得r 0a3 2 2（2）U1

0 (a )402r e2

4e2

2rU 2ea00

( )r2si

adr0a3 0 0 0

r a3 004e2 a2 e2 0a3 4 a0 04t0時(shí)，一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是1(x)(sikx cox)12其中求粒子位置與動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系。1[解](x)A(sin2kx

coskx)2A：1kk

(sin2kx coskx)2dxAk12k1因此歸一化的波函數(shù)為(x)

k(sin2kx

1coskx)2(P)2P2P2,(x)2x2x2 而Px0k2P k(sin kx1coskx)( k22 2

1 5)(sin2kx coskx) 2k2（具體積分前面已算過） 2k k

x2 2 41 k x2x2k (sin2kxcoskx)2x2dx (x2sin4kx cos2kxx2sin2kxcoskxdx 2 4k其中 1 3 3kx2sin4kxdx3x2x2cos4kx4x2cos2kx)dx ； 8 4k3k

32k3 2k3 32k3 x2 1 3 3k cos2kxdx (x2x2coskx)dx ； 4 8 12k3k

8k3

24k3 1 kx2sin2kxcoskxdx 2k

(x2cos3kxx2coskx)dx 9k3 k3

9k3k 332413所以x2

( 32k3

24k3

)9k3

288k22k2 2413 480222065故(P)2(x)2

P2x2

( )4 288k2

1152 ]a30r5．氫原子處于基態(tài) (r,,) 1 ea0a30r100（1）（2）動(dòng)能的平均值[解]（1）rrdr內(nèi)的幾率為100

2r2drd 2 1 2r(dr（2）T

2r2)0[100 a0

r22r]

ea30

a00ra0

（r0根舍去）TE1

e2U(2a0

e2 e2)(a)2a0 0注：或者根據(jù)平均值定義求算T:T* (2

)r2sidrd100 2

1006ID，處于均勻弱電場電場在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的平面上。試求能量到二級(jí)修正。[解]剛性平面轉(zhuǎn)子的零級(jí)波函數(shù)為21(0)()21m

eim, (m),E(0)m

m222I(m0)不考慮簡并(a)E(1)

E(1)m2(0)*H(0)d2

1(Dcos)d0m 0 m

0

(b)E(2)m先求微擾矩陣元：2 D 2 1H' (0)*(D(0)d

ei(km

(ei

ei)mk 02

m20

k 0 2d[ei(km1)ei(km1)]2, (n0)注意到0

eind

0 (n0)則H'mk

D2

(km(kmH'mk2DH'mk2因此，E(2)

( )2[ ]m E(0)E(0)

2 E(0)E(0) E(0)E(0)km m 2

m m1 m m12因?yàn)镋(0)m

E(0) m1

[m2I

(m1)2]

2I(12m)最后得E(2)

D22I[(2m(2m1)] D22Im 22

(2m

2(4m2

1)對(duì)基態(tài)（m0E(20

0；對(duì)激發(fā)態(tài)（1，E(2m

0；7．證明i, 式中為泡里矩陣。x y z x y z[證明]由泡里矩陣的對(duì)易關(guān)系知[?x

,?y

]x

y

2i?z又] 0x y x y y x y x x y故 x y

2i?z將上式兩邊右乘以

，且注意到?21z z則 x y z

i#求在自旋態(tài) (s)中，和的測不準(zhǔn)關(guān)系：1 z x y2(Sx

)2(Sy

)2?[解] ,]ix y z由測不準(zhǔn)關(guān)系知：(S)2x

(S )2y

2,]x y,]x y224z

416在上述運(yùn)算中利用關(guān)系式：2()2 ；2z 2 41一個(gè)勢能為U(x)

2x2的線性諧振子處在22 (x,t)Ae12x2i2 的狀態(tài)，其中 歸一化因子；在何處發(fā)現(xiàn)振子的概率最大？ it [解]（1）(xt2dxA2e2x2(e

2

2)dxA222

1A ，歸一化波函數(shù)為(x,t)

e2x2it；2 222ddx（2ddx

(x,t)

(2x)e2x

0x0,d2 3dx2且 (x,t)dx2

x0

0x0處發(fā)現(xiàn)粒子的概率為最大。下列波函數(shù)所描寫的狀態(tài)是不是定態(tài)？（1）

E(x,t)u(x)eixi 1

E;v(x)eixi t;（2）

E(x,t)u(x)ei1

u(x)e

E2t

(E E);2 1 2E E（3）

(x,t)u(x)eit3

u(x)eit.[解]由(x,t)2是否與時(shí)間t有關(guān)來判定是否是定態(tài)（1）(x,t)21

(x,t)*(x,t)u(x)eix1 1

v(x)eix2與t無關(guān) 定態(tài)；EE EE（2）2

(x,t)

(x,t)*2

(x,t)u(x)

[2ei

2 1

ei

1 2t]與t有關(guān) 非定態(tài)（3）

(x,t)3

u(x)

[2

i2E

ei2Et]與t有關(guān) 非定態(tài)若在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的量子數(shù)為n試求：1寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率是多少？4n為何值時(shí)，在此區(qū)域內(nèi)找到粒子的概率最大？當(dāng)n時(shí)，這個(gè)概率的極限是多少？這個(gè)結(jié)果說明了什么問題？a 2

1

2n[解]（1）W40 n

(x)2dx 4sin2 dx 41cos xa0 a a0 a1

1 n4 2n

sin ，2可見，n3時(shí)，不僅sinnsin1，且1 1也最大，2 2 2n →WW

11；max 4 limW

1lim 1 sinn1，這結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果相同，因n

4 n2n 2 4a4在經(jīng)典情形下，在0a中找到粒子的概率為 1a44 a 412．如果算符?,?滿足條件???1，求證：（1）??2?2?2?；（2）??3??3?2；（3）??n?n?n?n1。[]（1）??2?2??,?2]?,?]???,?]2?；（2）??3???,?3]?,?]?2??,?2]?2?2?3?2；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)??n1?n?(n)?n2成立，則??n?n??,?n]?,?]?n1??,?n1]?n1?(n)?n2n?n1#13．若有?屬于本征值為的本征函數(shù)，且有???和[?,?]1，試證明u?,v? 也是的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為,1。[證明] （1）uu?(?)????(???(??(()?()uu?也是?的本征函數(shù)，本征值為1；（2）vv?(?)???(??)?????????(k)?(()?()v()?()uv?也是?的本征函數(shù)，本征值為1；? 0 1 ? 0 i求Sx

21 0

Sy2i

的本征值和所屬的本征函數(shù)。 [解]（1）x本征方程為：

0 1a a 2a21 0bb

b0 2 為二元一次齊次方程組，非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即相應(yīng)的久期方程為 2 0； 22

aba

b

1ab

11；22222 12aa2

b

1ab

11；221 221 y本征方程為：0 ia

a2i 0

b

b 相應(yīng)的久期方程為i2i20；i 22

aa2

b

1aib

1122； i22；aiba2

b

1aib

1122 22 設(shè)體系處在 Y11

Y 的狀態(tài)中，式中10

為球諧函數(shù)，lm（1）將此波函數(shù)歸一化（2）力學(xué)量2