專題強化練4垂直關系的探索問題一、選擇題1.(2021廣東深圳高二月考,)如圖,α∩β=l,點A,C∈α,點B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關系是()A.異面B.平行C.垂直D.不確定二、填空題2.(2021河南商丘高一上期中,)直線m,n和平面α,β,假設α⊥β,α∩β=m,n?α,要使n⊥β,那么應增加的條件是.

三、解答題3.(2021山東新高考測評高二上期末,)如圖,邊長為5的正方形ABCD與矩形ABEF所在的平面互相垂直,M,N分別為AE,BC的中點,AF=4.(1)求證:DA⊥平面ABEF;(2)求證:MN∥平面CDFE;(3)在線段FE上是否存在一點P,使得AP⊥MN?假設存在,求出FP的長;假設不存在,請說明理由.4.(2021廣東河源高二下期末,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四邊形ABCD滿足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,E為側棱PB的中點,F為側棱PC上的任意一點.(1)假設F為PC的中點,求證:平面EFP⊥平面PAB;(2)求證:平面AFD⊥平面PAB;(3)是否存在點F,使得直線AF與平面PCD垂直?假設存在,寫出證明過程并求出線段AF的長;假設不存在,請說明理由.5.(2021江蘇無錫高考模擬,)如圖,在四棱錐E-ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,且AB=4,BC=CD=ED=EA=2.(1)求二面角E-AB-D的正切值;(2)在線段CE上是否存在一點F,使得平面EDC⊥平面BDF?假設存在,求出EFEC的值;假設不存在,請說明理由專題強化練4垂直關系的探索問題一、選擇題1.C∵BA⊥α,α∩β=l,l?α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又∵BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.∵AC?平面ABC,∴l⊥AC.應選C.二、填空題2.答案n⊥m解析由面面垂直的性質可知,應補充的條件為n⊥m.故答案為n⊥m.三、解答題3.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴DA⊥AB.又平面ABCD⊥平面ABEF,且平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴DA⊥平面ABEF.(2)證明:連接FB、FC.∵四邊形ABEF是矩形,M是AE的中點,∴M是BF的中點.又N是BC的中點,∴MN∥CF.又MN?平面CDFE,CF?平面CDFE,∴MN∥平面CDFE.(3)過點A作AG⊥FB交FB于點G,交FE于點P,那么點P即為所求.由(1)可得CB⊥平面ABEF,又AP?平面ABEF,∴CB⊥AP.又∵AP⊥FB,FB∩CB=B,FB,CB?平面CBF,∴AP⊥平面CBF.∵MN?平面CBF,∴AP⊥MN.易知△AFP∽△BAF,∴FPAF=AFAB,又AF=4,AB∴FP=1654.解析(1)證明:∵E、F分別為側棱PB、PC的中點,∴EF∥BC.∵BC∥AD,∴EF∥AD.∵平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,平面PAC∩平面ABCD=AC,∴PA⊥平面ABCD,又AD?平面ABCD,∴PA⊥AD.又∵AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,∴EF⊥平面PAB.∵EF?平面EFP,∴平面EFP⊥平面PAB.(2)證明:由(1)得AD⊥平面PAB,∵AD?平面AFD,∴平面AFD⊥平面PAB.(3)存在點F,使得直線AF與平面PCD垂直.在Rt△PCA中,過點A作AH⊥PC,垂足為H.∵AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2,∴根據平面幾何知識可得CD⊥AC.結合(1)可知PA⊥平面ABCD,又CD?平面ABCD,∴PA⊥CD,又PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,∵AH?平面PAC,∴CD⊥AH.又∵CD∩PC=C,∴AH⊥平面PCD.∴存在點F(即H),使得直線AF與平面PCD垂直.在△PAC中,PA=2,AC=2,∠PAC=90°,∴PC=PA2+AC2=6,AF=AH=5.解析(1)取AD的中點H,連接EH,那么EH⊥AD.∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴EH⊥平面ABCD,過H作HN⊥AB于N,連接EN,那么EN⊥AB,∴∠ENH為二面角E-AB-D的平面角,又∵BC⊥AB,AB∥CD,AB=2CD=4,∴AD=22,AH=2,HN=1,又AE=2,∴EH=2,∴tan∠ENH=2,∴二面角E-AB-D的正切值為2.(2)存在點F滿足條件.在四邊形ABCD中,易得DB⊥AD,又平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴BD⊥平面EAD,∴BD⊥ED,要使平面E