自動控制根軌跡極點零點第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日

控制系統的穩定性，由其閉環極點唯一確定，系統暫態響應和穩態響應的基本特性與系統的閉環零、極點在S平面上分布的位置有關。

決定系統基本特性的是系統特征方程的根，如果搞清楚這些根在S平面上的分布與系統參數之間的關系，那就掌握了系統的基本特性。為此目的，依萬斯（）在1984年提出了根軌跡法，令開環函數的一個參數——開環增益Ｋ（或另一個感興趣的參數）從0變化到∞，與此對應，特征方程的根，便在S平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。根軌跡法是研究自動控制系統的一種有效方法，它已發展成為經典控制理論中最基本的方法之一。第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日二階系統暫態響應

分為：二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統

其阻尼比、極點分布和單位階躍響應如下圖所示：第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日§4-1根軌跡的基本概念一．舉例說明根軌跡的概念

特征方程的根為

第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日

令開環增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對應的特征根的值，將這些值標在S平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢。§４－１根軌跡的基本概念當K=0時，S1=0，S2=-1K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－１根軌跡的基本概念從系統的根軌跡圖，可以獲得下述信息:1、穩定性：因為根軌跡全部位于左半S平面，故閉環系統對所有的Ｋ值都是穩定的。2、穩態性能：因為開環傳函有一個位于坐標原點的極點，所以是Ⅰ型系統，階躍作用下的穩態誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日3、暫態性能

（1）當0<K<0.25時，閉環特征根為實根，系統是過阻尼狀態，階躍響應為非周期過程。

（2）當K＝0.25時，兩特征根重合，均為-0.5，系統處于臨界阻尼狀態。（3）當K＞0.25時，兩特征根變為共軛復根，系統處于欠阻尼狀態，階躍響應為衰減振蕩過程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日由以上分析得知：

根軌跡就是控制系統特征方程的根隨系統參數變化在S平面上移動的軌跡。根軌跡表明了系統參數對閉環極點分布的影響，通過它可以分析系統的穩定性、穩態和暫態性能與系統參數之間的關系。第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日二．繪制系統根軌跡的依據

圖示系統的特征方程

繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫為

——開環傳函

是復變量Ｓ的函數，根據上式兩邊的幅值和相角分別相等的條件，可以得到第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日這就是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統根軌跡的重要依據。現進一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉換成實用的形式。…第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日此時，幅值條件和相角條件可寫成

－開環零點；－開環極點注意這個形式和求穩態誤差的式子不同，需變換成這種形式。將開環傳遞函數寫成下列標準的因子式…（＊）（＊＊）第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日×p2×p1Os0§４－１根軌跡的基本概念三．根據相角條件確定根軌跡上的點設某一系統的開環零極點如圖，在Ｓ平面中的任意一點S0，用相角條件可以判斷S0是不是根軌跡的點。1、從S0到各零極點連直線

2、用量角器量，…等各個角3、將量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，則S0就是根軌跡上的點×p3Oz1第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－１根軌跡的基本概念不滿足，故S0不是根軌跡上的點。在繪制根軌跡時，在感興趣的區段，要比較細致地繪制，可用試探法，根據相角條件確定幾個根軌跡上的點。允許有一定的誤差，比如±５°。而其它區段的根軌跡則可根據一些規則迅速的勾畫出來。繪制根軌跡圖時，Ｓ平面虛軸和實軸的坐標比例應取得一致。×p2×p1Os0×p3Oz1第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日§4-2繪制根軌跡的基本規則繪制根軌跡的基本規則實際上是系統根軌跡的一些基本性質，掌握了這些基本規則，將能幫助我們更準確、更迅速的繪制根軌跡。一．根軌跡的對稱性實際系統的特征方程的系數是實數，其特征根為實數或共軛復數，因此，根軌跡對稱于實軸。二．根軌跡的起點和終點根軌跡的起點對應于時特征根在S平面上的分布位置，而根軌跡的終點則對應于時，特征根在S平面上的分布位置。第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日幅值條件改寫當，必有S=，即起點是開環極點。當，必有S=，即終點是開環零點。但在控制系統中，總有n>m，所以根軌跡從n個開環極點處起始，到m個開環零點處終止，剩下的n-m條根軌跡將趨于無窮遠處。舉例如題，，起點：0、-1，無零點，n=2，m=0，n-m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則三．根軌跡的分支數根軌跡由若干分支構成，分支數與開環極點數相同。四．實軸上的根軌跡

在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環零點和開環極點數目之和為奇數。設系統開環零、極點分布如圖所示。為在實軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在和之間任選一個試驗點。第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則1、共軛復數極點到的幅角之和為0°，相互抵消，因此開環共軛復數極點、零點對實軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實軸上的開環零、極點。2、若實軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗點左側的開環零、極點提供的相角為0°,而右側的相角為180°。點滿足相角條件，所以～之間是根軌跡。第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日×××-2-4例4-1：（單位反饋）①∵有三個極點，

∴根軌跡有三條分支σjω②∵n=3,m=2∴有3-2=1條根軌跡→∞，2條終止于開環零點。③在實軸上不同段上取試驗點oo-3-1第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則五．根軌跡的漸近線1、根軌跡中（n-m）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當時，求得的漸近線傾角最小；增大，傾角值將重復出現，而獨立的漸近線只有(n-m)條第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則2、漸近線與實軸的交點漸近線的交點總在實軸上，即必為實數。在計算時，考慮到共軛復數極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環零、極點的實部代入即可。第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日例4-2求根軌跡解：①在Ｓ平面中確定開環零、極點的位置。

×××-1-2σjω②確定實軸上的根軌跡。③n=3,m=0,應有三個分支，并且都趨向無窮遠處。④確定漸近線的位置-0.423K1=6K1=6-60°60°第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則六、分離點和會合點

兩條根軌跡分支在S平面上某一點相遇，然后又立即分開的點，稱根軌跡的分離點（或會合點）。它對應于特征方程中的二重根（如例4-2，實軸上的根軌跡要從某一點分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠處，把分離點所對應的Ｋ1值代入特征方程，應求得二重根）。∵根軌跡關于實軸對稱，∴分離點或會合點必然是實數或共軛復數常見的分離點或或會合點位于實軸上。求方程式的根，可以確定分離點或會合點。第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則例4-2，求分離點上的坐標。系統的特征方程為

或上式的根因為分離點在0至-1之間，故為分離點的坐標，而舍棄用幅值條件確定分離點的增益：第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日七、根軌跡與虛軸的交點當增加到一定數值時，根軌跡可能穿過虛軸，進入右半S平面，這表示將出現實部為正的特征根，系統將不穩定。必須確定根軌跡與虛軸的交點，并計算對應的使系統處于臨界穩定狀態的開環增益。在根軌跡與虛軸的交點處，在系統中出現虛根。因此可以根據這一特點確定根軌跡與虛軸的交點。可以用代入特征方程求解，或者利用勞斯判據確定。第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日續例4-2，將代入特征方程。當時，系統出現共軛虛根，此時系統處于臨界穩定狀態。實部虛部第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日

在確定根軌跡與虛軸的交點，求出分離點，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點附近取幾個試驗點，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。§４－２繪制根軌跡的基本規則第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則八、根軌跡的出射角和入射角

當系統存在共軛復數極點（或零點）時，為了準確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）。

根軌跡離開開環復數極點的切線方向與實軸正方向的夾角稱為出射角。出射角表示根軌跡從復數極點出發時的走向。開環復數零點處，根軌跡的入射角為式中即為其它開環零、極點對出射點或入射點提供的相角開環復數極點處，根軌跡的出射角為第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日§４－２繪制根軌跡的基本規則求從出發根軌跡的出射角。用量角器量后，得，在圖上標出。的出射角和對稱。第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日根軌跡繪制舉例例1.具有一個零點和3個實極點的三階系統的根軌跡。設系統的開環傳遞函數為：解：把開環傳遞函數化為零、極點形式第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日1.根軌跡有3條分支，起點為開環極點0、0、-1/T，終點為開環零點-1/τ及無窮遠處。02.根軌跡在實軸上的分布為[-1/T，-1/τ]。3.根軌跡有n-m=2條漸近線，第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日例2.具有一對開環復根和一個開環實零點的四階系統的根軌跡。設系統的開環傳遞函數為：解：1.根軌跡有4條分支，起點為開環極點0、-3、-1+j、-1-j，終點為開環零點-2及無窮遠處。2.根軌跡在實軸上的分布為(-∞,-3]和[-2，0]。第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日3.根軌跡有n-m=3條漸近線，4.極點-1+j的出射角為-26.6o極點-1-j的出射角為+26.6o第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日5.根軌跡與虛軸的交點系統特征方程為把s=jω代入上式可解得即根軌跡與虛軸的交點為，相應的根軌跡增益為Kgc=7。第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日§4-3廣義根軌跡其它種類的根軌跡:3.正反饋回路和零度根軌跡2.多回路系統的根軌跡1.參數根軌跡第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日在實際系統設計中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數變化時對閉環特征根的影響。比如，特殊的開環零、極點，校正環節的參數等。除Kg以外的其它參數變化時閉環系統特征方程根的軌跡，就是參數根軌跡。

繪制方法：用特征方程中不含可變參數的部分去除特征方程，得到等效的開環傳遞函數，使參變量的位置與Kg的位置相當。一、參數根軌跡第三十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日例1.一隨動系統如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數

Kf對系統暫態性能的影響。解：開環傳遞函數為等效開環傳遞函數為-特征方程為第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日等效開環傳函1.根軌跡有兩條分支，起點為開環極點-1+j3、-1-j3，終點為開環零點0及無窮遠處。2.根軌跡在實軸上的分布為(-∞,0]。03.求分離點和會合點。s1=-3.16為會合點，相應的Kf=0.432s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。Kf=0.432第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日4.求極點p1=–1+j3處的出射角由對稱性可知p2=-1-j3處的出射角為以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。0Kf=0.432等效開環傳函第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日等效開環傳遞函數為分析：Kf為任何值系統都是穩定的。0Kf=0.432當Kf<0.432時，系統有一對共軛復根，階躍響應為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越小；當Kf=0.432時，系統有二重根，階躍響應為臨界阻尼情況；當Kf

>0.432時，系統有兩個不相等的實根，階躍響應為過阻尼情況。第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日等效開環傳遞函數為分析：0Kf=0.432用幅值條件可求得相應的Kf值。求時的閉環極點及Kf值。作的射線與根軌跡的交點即為所求閉環極點。AB第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日二、多回路系統的根軌跡根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。系統的開環傳遞函數系統特征方程以α為參數第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日研究以Kc

為變量的根軌跡系統有兩個環，內環的閉環極點就是外環的開環極點！！1）繪制內環的根軌跡圖內環的開環傳遞函數根據根軌跡繪制規則繪制出以Kf為參數的內環根軌跡圖第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日2)確定內環的閉環極點要求內環的反饋系數3.2<Kf<3.5內環的特征方程在實軸上選取試驗點進行試探，P1=-1.6時，Kf=3.363)繪制外環的根軌跡圖外環的開環傳遞函數可求得內環的另外兩個閉環極點為第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日第四十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日1、局部正反饋系統的框圖正反饋回路的閉環傳遞函數特征方程三、正反饋回路和零度根軌跡第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日幅值條件相角條件特征方程對于正反饋回路：相角條件為，因此通常也稱為零度根軌跡。第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日繪制正反饋回路根軌跡的基本規則：（1）根軌跡的分支數(相同)（2）根軌跡的起點和終點(相同)（3）根軌跡的對稱性(相同)（4）實鈾上的根軌跡：實軸上具有根軌跡的區間是：其右方開環實數零、極點數目之和為偶數。（5）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線與實袖的交點(相同)根軌跡漸近線與實軸正方向的夾角為第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日（6）根軌跡的會合點和分離點(相同)（7）根軌跡的出射角和入射角（8）根軌跡與虛軸的交點(相同)（9）閉環極點的和(相同)第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日例：控制系統方框圖如下所示系統的內環為正反饋，繪制內環根軌跡圖。解：（1）內環的開環傳遞函數（3）實軸上的根軌跡（2）根軌跡的起點0，-1，-3終點均為∞第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日（4）根軌跡的漸近線（6）根軌跡的分離點特征方程第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日在自動控制系統中有時會出現純時間滯后現象滯后環節的存在使系統的根軌跡具有一定的特殊性，對系統的穩定性會帶來不利的影響。系統閉環傳遞函數特征方程這是一個超越方程，閉環系統的特征根不再是有限個，而是無限多個，這是滯后系統的重要特征。§4-4滯后系統的根軌跡第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日滯后系統根軌跡繪制條件滯后系統根軌跡方程滯后系統特征方程第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日幅值條件相角條件滯后系統根軌跡方程第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日繪制滯后系統根軌跡的基本規則：（3）實軸上的根軌跡：實軸上根軌跡區段的右側開環實零、極點數目之和為奇數。（1）滯后系統的根軌跡是連續的并對稱于實軸（2）根軌跡的起點和終點起點終點第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日（4）根軌跡的漸近線：根軌跡漸近線有無數條，且平行于實軸根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點為（5）根軌跡的分離點：第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日（6）根軌跡的出射角和入射角：（7）根軌跡與虛軸的交點：第六十頁，共七十五頁，2022年，8月28日例：設滯后系統的開環傳遞函數為要求繪制此系統的根軌跡圖。解：系統特征方程為繪制根軌跡的相角條件為（1）根軌跡的起點和終點起點

-p1=-1,σ=-∞

終點趨于無窮遠第六十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日（2）實軸上的根軌跡（-∞，-1]（3）根軌跡的漸近線平行于實軸并與虛軸交于（4）令k=0畫出主根軌跡k=0的根軌跡，稱為主根軌跡k=1、2、…的根軌跡，稱為輔助根軌跡作圖方法第六十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日第六十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日系統中滯后環節的存在對系統的穩定性帶來不利影響,如果系統的開環增益較大,即使原來為一階的系統也可能變為不穩定系統。說明：1、以近似式畫出的根軌跡圖與主根軌跡近似。2、當開環增益較大時，近似方法誤差很大。近似方法：第六十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日§4-5利用根軌跡分析系統的性能一、閉環零、極點分布與暫態響應的定性關系對一個控制系統的基本要求是：系統要穩定；暫態過程的快速性、平穩性要好；穩態誤差要小。閉環系統零、極點分布與系統性能的關系為：1、要求系統穩定，則系統的閉環極點均位于s平面左半平面。2、如果閉環極點均為負實數，且無零點，則系統的暫態響應為非振蕩的，響應時間取決于距離虛軸最近的極點，若其它極點距離虛軸的距離比最近極點的距離大5倍以上，可以忽略不計。第六十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日3.如果系統具有一對閉環主導極點，則系統的暫態響應呈振蕩性質，其超調量主要取決于主導極點的衰減率并與其它極點接近原點的程度有關，調整時間主要取決于主導極點的實部第六十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日4.如果系統中存在非常接近的零點和極點，其相互距離比其本身的模值小一個數量級以上，則把這對閉環零、極點稱為偶極子。偶極子的位置距離原點非常近時，其對暫態響應的影響一般需要考慮，但不會影響閉環主導極點的主