力學競賽輔導第一頁，共176頁。一.質點運動學第二頁，共176頁。1．質點運動的一般描述1.1運動方程與軌道方程軌道方程運動方程P(x,y)xOyxy（一）基本知識第三頁，共176頁。1.2速度反映質點運動的快慢和方向的物理量

瞬時速度沿軌道切線方向第四頁，共176頁。1.3加速度

反映速度（大小和方向）變化快慢的物理量

加速度與速度的方向一般不同。xOzyvAvvBABrArBvAvB(a)(b)第五頁，共176頁。gyv0Ox2.拋體運動速度：運動方程：軌道方程：第六頁，共176頁。推論gyv0Ox第七頁，共176頁。甲乙sh第八頁，共176頁。3.1圓周運動的加速度RPxOP0s0n0avaan3.圓周運動第九頁，共176頁。3.2圓周運動的角量描述角位置：=(t)角速度:

角加速度:

3.3角量和線量的關系RPxO

P0s第十頁，共176頁。xySOPrr04.相對運動4.1運動描述與參照系：對物體運動的描述與參照系有關——位移、速度、加速度的測量與參照系有關。

4.2不同參照系間位移、速度和加速度的變換

絕對速度=牽連速度+相對速度第十一頁，共176頁。aana1.一般曲線運動1.1一般曲線運動中的加速度（二）拓展知識第十二頁，共176頁。1.2曲率半徑的物理求法橢圓的曲率半徑：AByxOab軌道方程：對應運動方程：A點：同理：第十三頁，共176頁。拋物線的曲率半徑：yxO軌道方程：對應運動方程：其中：第十四頁，共176頁。2.連體運動問題解題方法一：運動的分解情形1：兩物體通過剛性細桿或不可伸長的繩子相連，他們在連線方向的位移、速度和加速度相等。v2v1情形2：兩剛性物體接觸點的速度沿法向分量相等。v1v2第十五頁，共176頁。情形3：兩直線相交點的運動等于各直線沿對方直線方向運動的合運動：Pv1v2v1v2第十六頁，共176頁。hv0v0v||解：第十七頁，共176頁。Pv0vP例1.2如圖示，一半徑為R的半圓柱體沿水平方向以速度v0作勻速運動。求桿與半圓柱體的接觸點P的角位置為時豎直桿運動的速度。解：RO第十八頁，共176頁。例1.3

水平直桿AB在半徑為R的固定圓圈上以勻速v0豎直下落，如圖所示，試求套在該直線和圓圈的交點處小環M的速度。OMRv0v0v2v1v0解：第十九頁，共176頁。A對B：解題方法二：運動的合成（相對運動）一個物體同時參與兩種運動實質上是參照系的轉換：B對地：A對地：第二十頁，共176頁。例1.4

如圖，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子A上。今以恒定速度v拉繩，當繩與豎直方向夾角為時，求線軸中心O的運動速度v。設線軸的外半徑為R，內半徑為r，線軸沿水平面作無滑動滾動。ABCrROv第二十一頁，共176頁。解：情況1：線軸座逆時針方向轉動。設轉動角速度為。ABCrROvvOB點相對于地面的速度：B點相對O的速度大小：vB沿繩子方向的分量與v相等：…….（1）線軸與地面無滑動：……..….（2）聯立（1）、（2）得:……..…..….（3）由式（3）可知，情況1出現的條件為：第二十二頁，共176頁。情況2：線軸座順時針方向轉動。同理可得：出現情況2的條件為：ABCrROvvO第二十三頁，共176頁。例1.5續例1.1，求重物上升的加速度。hv0vv||O第二十四頁，共176頁。以地面為參照系，A的加速度以O點為參照系，繩子末端A作圓周運動，其加速度沿繩子方向的分量，即向心加速度大小為解：第二十五頁，共176頁。例1.6續例1.2，求豎直桿運動的加速度。PRO以圓心O為參照系，P點作圓周運動，其速度大小為：P點相當于地面的加速度：向心加速度：vP第二十六頁，共176頁。關鍵：找出各物體間位移間的關系，進而得到速度、加速度之間的關系。解題方法三：微積分第二十七頁，共176頁。yhxv0第二十八頁，共176頁。解：第二十九頁，共176頁。Pv0vP例1.8如圖示，一半徑為R的半圓柱體沿水平方向以速度v0作勻速運動。求桿與半圓柱體的接觸點P的角位置為時豎直桿運動的速度和加速度。yRxOA第三十頁，共176頁。解：第三十一頁，共176頁。例1.9

水平直桿AB在半徑為R的固定圓圈上以勻速v0豎直下落，如圖所示，試求套在該直線和圓圈的交點處小環M的速度和加速度。OMRv0v0xy第三十二頁，共176頁。解：第三十三頁，共176頁。1.兩輛汽車的擋風玻璃與水平方向的夾角分別為

。冰雹豎直下落，打在玻璃上，兩司機都看到冰雹從玻璃上反彈后豎直向上運動，求兩車速率之比。（假設碰撞前后相對速度遵循反射定律）第三十四頁，共176頁。2.如圖所示，一串相同的汽車以等速v沿寬度為c的直公路行駛，每車寬為b，頭尾間距為a，則人能以最小速率沿一直線穿過馬路所用時間為多少？vV-vu相對速度：V牽連速度：v絕對速度：uθθ第三十五頁，共176頁。13．

在擲鉛球時，鉛球出手時距地面的高度為h，若出手時速度為v0，求以何角度擲球時，水平射程最遠？最遠射程為多少？gyv0Oxh(-h,x)第三十六頁，共176頁。vtvy=gtv0第三十七頁，共176頁。ABCv’ABCO14．A、B、C三只獵犬站立的位置構成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經多長時間可捕捉到獵物？第三十八頁，共176頁。ABCvvv解法二：在AB連線上，相對距離為a，相對速度為vA對B。解法三：設在一個極短的時間Δt內，獵犬做勻速直線運動，正三角形邊長依次變為a1、a2、a3、…、an。第三十九頁，共176頁。15．一只狐貍以不變的速度v1沿著直線AB逃跑，一只獵犬以不變的速率v2追擊，其運動方向始終對準狐貍。某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，FD⊥AB，且FD=L，如圖所示，求獵犬的加速度的大小。第四十頁，共176頁。二.靜力學第四十一頁，共176頁。1.摩擦角1）全反力:接觸面上彈力和摩擦力的合力稱為全反力，也叫約束反力。NRf2）摩擦角：全反力與界面法線方向所成的最大夾角叫摩擦角。GRR第四十二頁，共176頁。2.剛體平衡條件（一般物體的平衡條件）1）物體受力的矢量和為零：2）對矩心的合力矩為零重要推論：剛體受三個非平行力作用而平衡時，此三個力的合力為零，而且這三個力的力線（含延長線）相交于一點。第四十三頁，共176頁。3.剛體平衡的穩定性

滿足平衡條件的剛體，若受到擾動，便離開平衡位置。若它會自動回到平衡位置，則稱為穩定平衡；若它會更遠離平衡位置，則稱為不穩定平衡；若平衡位置的周圍仍是平衡位置，則稱為隨遇平衡。穩定平衡不穩定平衡隨遇平衡第四十四頁，共176頁。yxCO4.質心第四十五頁，共176頁。5．質心運動定理

系統質心加速度的大小與于所受的合外力大小成正比，與系統的總質量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。

內力不影響系統質心的運動。第四十六頁，共176頁。例2.1

勻質桿OA重P1，長為l1，能在豎直平面內繞固定鉸鏈O轉動，此桿的A端用鉸鏈連另一重為P2、長為l2的均勻桿AB，在AB桿的B端加一水平力F。求平衡時此兩桿與水平線所成的角度與的大小，以及OA與AB間的作用力。P1P2FOAB第四十七頁，共176頁。解：以AB為研究對象，有（1）以OA+AB為研究對象，有P1P2FOAB第四十八頁，共176頁。以AB為研究對象，其所受的合力為零，因此（2）P2FABNN的方向與水平線的夾角滿足：第四十九頁，共176頁。第五十頁，共176頁。PiPi-1Bi-1Ai-1AiP1P6mgB6A6A1C解：設任一小突起Ai對其的壓力為Pi，則（i=2…6）考慮薄片A6B6，根據力矩平衡條件可得第五十一頁，共176頁。例2.3

用20塊質量均勻分布的相同光滑積木塊，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，如圖所示。已知每一積木塊的長度為l，橫截面是邊長為h＝l/4的正方形。要求此橋具有最大跨度（即橋孔底寬）。試計算跨度與橋孔高度的比值。HhlL第五十二頁，共176頁。……123410解：第五十三頁，共176頁。例2.4

有一半徑為R的圓柱A，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸。現有另一質量與A相同，半徑為r的較細圓柱B，用手扶著圓柱A，將B放在A的上面，并使之與墻面相接觸，如圖所示，然后放手。己知圓柱A與地面的靜摩擦系數為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數為0.30。若放手后，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱B與墻面間的靜摩擦系數和圓柱B的半徑的值各應滿足什么條件？BArR第五十四頁，共176頁。

對A球：對B球：解：聯立（1）~（6）解得：（1）（2）（3）（4）（5）（6）第五十五頁，共176頁。圓柱B與墻面的接觸點不發生滑動：圓柱A在地面上不發生滑動：兩圓柱的接觸點不發生滑動：綜合上述結果，可得到r滿足的條件：第五十六頁，共176頁。三.牛頓運動定律第五十七頁，共176頁。（一）基本知識第五十八頁，共176頁。第一定律：定性反映了物體的運動與其受力之間的關系，引入慣性參照系的概念。第二定律：定量性反映了物體的運動規律與其受力之間的關系：第三定律：反映了力的來源：力來自物體間的相互作用。——正是由于物體間的相互作用使得物體的運動狀態不斷發生改變，使得自然界不斷地變化發展。1．牛頓運動定律第五十九頁，共176頁。2．自然界中的力2.1萬有引力mMFr

任何物體之間都存在的相互吸引力：第六十頁，共176頁。2.2重力：使物體產生重力加速度的力。

重力來源于地球對物體的引力，若忽略地球的慣性離心力，則——重力加速度與物體質量無關第六十一頁，共176頁。2.3彈力：物體由于形變而對引起形變的物體產生的作用力。2.4摩擦力：相互接觸的物體間產生的一對阻止相對運動或相對運動趨勢的力。滑動摩擦力：

摩擦力總是阻止相對運動。（在彈性范圍內）彈簧：第六十二頁，共176頁。（二）拓展知識第六十三頁，共176頁。接觸面:沿法線方向N1．關于彈力1.1彈力的大小微小形變——微小振動為簡諧振動1.2彈力的方向:彈力的方向總是與形變方向相反.桿：較復雜繩子：沿繩子方向TFFnF第六十四頁，共176頁。1.3彈簧的串聯與并聯Fk1k2k1k2F第六十五頁，共176頁。2．關于摩擦力2.1摩擦力的大小

兩接觸物體相對滑動的條件：fs=N無滑動：決定于物體的運動和所受的其他力：有滑動：摩擦力的方向總是沿接觸面切線方向。2.2摩擦力的方向Nf無滑動：決定于物體的運動和所受的其他力：有滑動：與相對運動速度方向相反。第六十六頁，共176頁。2.3摩擦力的作用時間可能有兩種情況：hvMmV0V0v0=0第六十七頁，共176頁。解：第六十八頁，共176頁。第六十九頁，共176頁。解：第七十頁，共176頁。hvMmV0

例3.3一質量為M的平板沿光滑水平面以速度V0運動。質量為m的小球從h處落下，與平板發生碰撞后彈起，已知小球彈起時沿豎直方向的分速度大小與碰撞前速度大小之比為e，球與平板間的摩擦系數為。求小球碰撞后的速度與水平方向的夾角。第七十一頁，共176頁。解：情況1：tf=tNtf=tN的條件：vxV，即hvMmvxvyV第七十二頁，共176頁。情況2：tf<tNtf<tN的條件：hvMmvxvyV第七十三頁，共176頁。3.非慣性參照系的動力學問題慣性系:牛頓定律成立的參考系。一切相對于慣性系作勻速直線運動的參考系也是慣性系。非慣性系:相對于慣性系作加速運動的參考系。在非慣性系內牛頓定律不成立。3.1慣性參照系與非慣性參照系3.2非慣性參照系中的牛頓第二定律第七十四頁，共176頁。mM第七十五頁，共176頁。mgN1xyYX解：第七十六頁，共176頁。

例3.5

在光滑的水平桌面上有質量為m的小車C，車上有質量為4m和m的立方塊A和B，它們與小車表面之間的摩擦系數=0.5。今用一恒力F沿水平方向作用在滑輪上。求A、B、C的加速度。mm4mFABC第七十七頁，共176頁。解：AF/2fABF/2fB第一種情況：A、B與小車間均無相對滑動。A、B與小車間無相對滑動的條件：第七十八頁，共176頁。BF/2fBmm4mFABC第七十九頁，共176頁。mm4mFABC第八十頁，共176頁。結論：第八十一頁，共176頁。AOa第八十二頁，共176頁。O解：無滑動條件：f<N第八十三頁，共176頁。為使大、小環間始終無滑動，以上不等式對任意都要成立。因此令第八十四頁，共176頁。mmv0M例3.7

如圖所示，長為2l的輕繩，兩端各系一個質量為m的小球，中央系一個質量為M的小球，三球均靜止于光滑的水平桌面上，繩處于拉直狀態，三球在一條直線上。今給小球M以一個沖量，使它獲得水平速度v0，v0的方向與繩垂直。求：（1）M剛受沖量時繩上的張力；（2）在兩端的小球發生碰撞前瞬間繩中的張力。第八十五頁，共176頁。解：（1）以M為參照系，m繞M作以速度v0作圓周運動。M剛受沖量時，繩子對M的作用合力為零，M為慣性參照系，因此（2）mmv0MT1T1M第八十六頁，共176頁。以M為參照系，m繞M以速度v

作圓周運動。此時M有加速度aM，為非慣性參照系。MM第八十七頁，共176頁。四:動量和能量第八十八頁，共176頁。一、動量與沖量1.動量：

動量是狀態量；動量是矢量：動量的方向就是速度的方向；動量與動能之間的互換式：2.沖量：

沖量是過程量：反映力的時間積累效應；沖量是矢量：沖量的方向由力的方向決定；第八十九頁，共176頁。*.變力的沖量t0ttiti+titFO力對時間的平均值

第九十頁，共176頁。二、動量定理1.內容：物體所受合外力的沖量等于物體動量的變化量。研究對象可以是單個物體，也可以是系統。2.表達式：3.定性應用：4.定量計算：選對象，定過程，列方程。第九十一頁，共176頁。三、動量守恒定律

系統不受外力或者受外力的合力為0，則系統動量守恒。

系統受外力，但外力遠小于內力（如碰撞等），則系統動量守恒。

若系統在某一方向所受的合力的沖量為零，則該方向動量守恒。第九十二頁，共176頁。*.動量定理、定理守恒定律與參考系動量定理、動量守恒定律只適用于慣性參照系。在非慣性參照系中使用動量定理，需計入慣性力的沖量；在非慣性參照系中，動量守恒定律的適用條件為外力與慣性力的合力為零.。第九十三頁，共176頁。四、碰撞第九十四頁，共176頁。（1）彈性碰撞：e=1,（2）完全非彈性碰撞：e=0,第九十五頁，共176頁。五、動能定理1.質點的動能定理：文字表述：合外力對物體做的總功等于物體動能的變化量。2．質點組的動能定理文字表述：外力做的功和內力做功之和等于質點組（系統）動能的變化量。第九十六頁，共176頁。六、勢能1.保守力：做功只與物體的始、末位置有關，而與物體的運動路徑無關的力。3.特點：系統共有，相對值，位置的函數重力勢能:彈力勢能:引力勢能:第九十七頁，共176頁。七、功能原理機械能守恒定律1.功能原理2.機械能守恒定律封閉保守系統：第九十八頁，共176頁。yxCO1.質心八、質心運動定理第九十九頁，共176頁。2．質心運動定理

系統質心加速度的大小與于所受的合外力大小成正比，與系統的總質量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。

內力不影響系統質心的運動。第一百頁，共176頁。九、柯尼希定理質點系動能等于質心動能與體系相對于質心系的動能之和。此結論稱為柯尼希定理。特別地：兩質點構成的質點系統的總動能為推論：質心參照系中兩質點構成的質點系統的總動能為第一百零一頁，共176頁。

例4.1

如圖所示，四個相等質量的質點由三根不可伸長的繩子依次連接，置于光滑水平面上，三根繩子形成半個正六邊形保持靜止。今有一沖量作用在質點A，并使這個質點速度變為u，方向沿繩向外，試求此瞬間質點D的速度uABCD第一百零二頁，共176頁。ABCDI1I1I2I2I3I3I0uu1u2600600u：A的速度或B的速度在B、A連線方向的分量u1：B或C的速度在C、B連線方向的分量u2：D的速度或C的速度在D、C連線方向的分量第一百零三頁，共176頁。解：B球：C球：D球：聯立以上各式，解得：第一百零四頁，共176頁。第一百零五頁，共176頁。第一百零六頁，共176頁。解：第一百零七頁，共176頁。根據（1）—（5）可得第一百零八頁，共176頁。mmOMmgN第一百零九頁，共176頁。解：（1）

以上不等式有解：第一百一十頁，共176頁。

即開始上升時，

第一百一十一頁，共176頁。MmvRV第一百一十二頁，共176頁。解：第一百一十三頁，共176頁。脫離球面的條件：N＝0，則第一百一十四頁，共176頁。MmRO第一百一十五頁，共176頁。MmOO'yxyxsR解：

第一百一十六頁，共176頁。五.角動量定理角動量守恒定律第一百一十七頁，共176頁。1．力矩dOMFPr第一百一十八頁，共176頁。質點對參考點O的角動量定義為：2．質點的角動量mdOLvr第一百一十九頁，共176頁。3．質點的角動量定理和角動量守恒定律——質點的角動量守恒

角動量守恒，動量未必守恒第一百二十頁，共176頁。4．質點系的角動量定理和角動量守恒定律——質點系的角動量守恒

內力不改變系統的總角動量第一百二十一頁，共176頁。FmR第一百二十二頁，共176頁。解：FmR第一百二十三頁，共176頁。例5.2

如圖所示，質量為m的小球B放在光滑的水平槽內，現以一長為

l的細繩連接另一質量為m的小球A，開始時細繩處于松弛狀態,A與B相距為l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右運動。當A運動到圖示某一位置時細繩被拉緊，試求B球開始運動時速度vB的大小。l/2lBAA300vAyvAxvBvA第一百二十四頁，共176頁。解：第一百二十五頁，共176頁。第一百二十六頁，共176頁。m2mlAOlBBA12機械能守恒:角動量定理：（1）解：第一百二十七頁，共176頁。對小球1：同理對小球2：

.lOl22mgf11N1f2N2mg第一百二十八頁，共176頁。

.lOl22mgf11N1f2N2mg第一百二十九頁，共176頁。

初速度的方向與水平線的夾角：得任意t時刻球2的位置坐標：第一百三十頁，共176頁。球2脫離細桿時，第一百三十一頁，共176頁。第一百三十二頁，共176頁。解：（1）螺旋環的角動量：角動量守恒：第一百三十三頁，共176頁。（2）根據角動量守恒和機械能守恒定律解得：第一百三十四頁，共176頁。另解：（1）

第一百三十五頁，共176頁。（2）

第一百三十六頁，共176頁。六.萬有引力與天體運動第一百三十七頁，共176頁。1.開普勒三定律第一定律：行星圍繞太陽運動的軌道為橢圓，太陽在橢圓軌道的一個焦點上。第二定律：行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積：第三定律：各行星繞太陽運動的周期平方與軌道半長軸立方之比值相等：第一百三十八頁，共176頁。2.萬有引力與引力勢能2.1萬有引力2.2引力勢能第一百三十九頁，共176頁。解：

rSr第一百四十頁，共176頁。例6.2

地球和太陽的質量分別為m和M

，地球繞太陽作橢圓運動，軌道的半長軸為a，半短軸為b

，如圖所示。試求地球在橢圓頂點A、B、C三點的運動速度大小及軌跡在A、B、C三點的曲率半徑。MmACObaB第一百四十一頁，共176頁。解：A、B兩點：MmvAAvCCObacaBvB第一百四十二頁，共176頁。A、C兩點：MmvAAvCCObacaBvB第一百四十三頁，共176頁。例6.3

質量為M的宇航站和對接上的質量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運動著，其軌道半徑是地球半徑的n倍（n＝1.25）。某一瞬時，飛船從宇航站沿原運動方向射出后沿橢圓軌道運動，其最遠點到地心的距離為8nR，求質量m/M為何值時，飛船繞地球運行一周后正好與宇航站相遇？mMM+mM0第一百四十四頁，共176頁。解：M+m：m：M+mM0unRmv1nR8nR第一百四十五頁，共176頁。設M的最近點到地心的距離為x，則M：MM0v2nRx第一百四十六頁，共176頁。mMM0nRx8nR第一百四十七頁，共176頁。第一百四十八頁，共176頁。MCmRr（1）解：第一百四十九頁，共176頁。設地球繞太陽作圓周運動，則（2）若M＝MS，則第一百五十頁，共176頁。七.簡諧振動第一百五十一頁，共176頁。1．簡諧振動的基本概念1.1簡諧振動的定義物體在運動過程中所受的合力與離開平衡位置的位移成正比而方向相反，