集合論誕與發展集合論作為數學中最富創造性的偉大成果之一，是在世紀末由德國的康托（1845－1918創立起來的。但是，它萌發、孕育的歷史卻源遠流長，至少可以追溯到兩千多年前。（一）早期研究集合論是關于無窮集合和超窮數的數學理論。集合作為數學中最原始的概念之一，通常是指按照某種特征或規律結合起來的事物的總體。例如美國國會圖書館的全部藏書，自然數的全體以及直線上所有點的總體等等。集合論的全部歷史都是圍繞無窮集合而展開的。早在集合論創立之前兩千多年，數學家和哲學家們就已經接觸到了大量有關無窮的問題，古希臘的學者最先注意并考察了它們。公元前5世紀，埃利亞學派的芝（約公元前－前430提出45個悖論，其中關于運動的四個悖論：二分法悖論、阿基里斯追龜悖論、飛矢不動悖論與運動場悖論尤為著名，前三個悖論都與無窮直接有關。芝諾在悖論中雖然沒有明確使用無窮集合的概念，但問題的實質卻與無窮集合有關。在數理哲學中，有兩種無窮方式歷來為數學家和

哲學家所關注，一種是無窮過程，稱為潛在無窮，一種是無窮整體，稱為實在無窮。希臘哲學家亞里士多（前384－前最先提出要把潛在的無窮和實在的無窮加以區別，這種思想在當今仍有重要意義。他認為只存在潛在無窮，如地球的年齡是潛在無窮，但任意時刻都不是實在無窮。他承認正整數是潛在無窮的，因為任何正整數加上總能得到一個新數。對他來說，無窮集合是不存在的。哲學權威亞里士多德把無窮限于潛在無窮之內，如同下了一道禁令，誰敢冒天下之大不韙，以至于影響對無窮集合的研究達兩千多年之久。公元5世紀，拜占庭的普羅克拉斯（485）是歐幾里德《幾何原本》的著名評述者。他在研究直徑分圓問題時到圓的一根直徑分圓成兩個半圓，由于直徑有無窮多，所以必須有兩倍無窮多的半圓。為了解釋這個在許多人看來是一個矛盾的問題，他指出：任何人只能說有很大很大數目的直徑或者半圓，而不能說一個實實在在無窮多的直徑或者半圓，也就是說，無窮只能是一種觀念，而不是一個數，不能參與運算。其實，他這里是接受了亞里士多德的潛無窮的概念，而否認實無窮的概念，對這種對應關系采用了回避的態度。

到了中世紀，隨著無窮集合的不斷出現，部分能夠同整體構成一一對應這個事實也就越來越明顯地暴露出來。例如，數學家們注意到把兩個同心圓上的點用公共半徑聯結起來，就構成兩個圓上的點之間的一一對應關系科學的開拓者伽利1642）注意到個不等的線段上的點可以構成一一對應。他又注意到整與它們的平方可以構成一一對應，這說明無窮大有不同“量級，不過利略認為這是不可能的。他說，所有無窮大量都一樣，不能比較大小。（二）奠定基礎到了十七世紀，數學家把無窮小量引進數學，構成所謂窮小演算”這就是微積分的最早名稱。所謂積分法無非是無窮多個無窮小量加在一起，而微分法則是兩個無窮小量相除無窮小量運算的引進，無窮大模大樣地進入數學，雖然它給數學帶來前所未有的繁榮和進步，它的基礎及其合法性仍然受到許多數學家的質疑，他們對無窮仍然心存疑慮，這方面以“數學家之王高斯（—1855）意見為代表。高斯是一個潛在無窮論者，他在年月日給他的朋友舒馬赫爾的信中說“我必須最最強烈地反對你把無窮作為一完成的東西來使用，因為這在數

學中是從來不允許的。無窮只不過是一種談話方式，它是指一種極限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些則容許沒有限制地增加限概念只不過是一種潛在的無窮過程。這里高斯反對那些哪怕是偶爾用一些無窮的概念，甚至是無窮的記號的人，特別是當他們把它當成是普通數一樣來考慮時。法國大數學家柯西（1857）也同他的前人一樣，不承認無窮集合的存在。他認為部分同整體構成一一對應是自相矛盾的事。科學家們接觸到無窮無力去把握和認識它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰正如大衛·希爾伯特（1862－在他的1926年《論無窮》的講演中所說的那樣有任何問題象無窮那樣深深地觸動人的情感，很少別的觀念能象無窮那樣激勵理智產生富有成果的思想，然而也沒有任何其它概念能象無窮那樣需要加以闡明”面“窮”長期挑戰，數學家們不會無動于衷，他們為解決無窮問題而進行的努力，首先是從集合論的先驅者開始的。數學分析嚴格化的先驅波爾查諾（1781－）也是一位探索實無窮的先驅，他是第一個為了建立集合的明確理論而作出了積極努力的人。他明確談到實在無窮集合的存在，強調兩個集合等價的概念，也就

是后來的一一對應的概念。他知道，無窮集合的一個部分或子集可以等價于其整體，他認為這個事實必須接受如0到5之間的實數通過公式y=12x/5可與到之間的實數構成一一對應然后面的集包含前面的集合。為此，他為無窮集合指定超限數，使不同的無窮集合限數不同過來康托爾指出，波爾查諾指定無窮集合的超限數的具體方法是錯誤的。另外，他還提出了一些集合的性質，并將他們視為悖論此關于無窮的研究哲學意義大于數學意義。應該說，他是康托爾集合論的先驅。黎（1826－是在年的就職論《關于用三角級數表示函數的可能性》中首次提出“唯一性問題”的。大意是：如果函數f（x）在某個區間內除間斷點外所有點上都能展開為收斂于函數值的三角級數，那么這樣的三角級數是否是唯一的？但他沒有給予回答。1870年海（1821－證明x續，且它的三角級數展開式一致收斂時開式是唯一的。進一步的問題是：當f（x）具有無窮多個間斷點時，唯一性能否成立？康托爾就是通過對唯一性問題的研究，認識到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究。

（三）創立德國著名數學家康托（Cantor1845-1918數學而瘋的數學家于19世紀末創立了集合論他對集合所下的定義是——把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物成為該集合的元素。早在1870年和年，康托爾兩次在《數學雜志》上發表論文，證明了函數fx）的三角級數表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立1872年他在《數學年鑒》上發表了一篇題三角數中一個定理的推廣論文，把海涅的一致收斂的嚴酷條件推廣到允許間斷點是某種無窮的集合的情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然后引進了點集的導集和導集的導集等有關重要概念。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，并為點集論奠定了理論基礎。1873年11月29日康托爾在給戴德金（18311916）的一封信中，于把導致集合論產生的問題明確地提了出來正整數的集與實數的集x）之間能否把它們一一對應起來年月7日康托爾寫信給戴德金已能成功地證明實數體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對

應起來。這個時期應該看成是集合論的誕生日。（四）發展1874年，康托爾發表了這個證明，不過論文題目換成另外一個題論有實代數數集體的一個性質因為克洛內克（－1891）根本反對這種論文，他認為這種論文根本沒有內容，無的放矢。該文提出了“可數集”概念，并以一一對應為準則對無窮集合進行分類，證明了如下重要結果一切代數數是可數的有限線上的實數是不可數的超越數是不可數的集并非都是可數的，無窮集同有窮集一樣也有數量（基數）上的區別。1874年月日，康托爾給戴德金寫信，提出下面的問題：是否能把一塊曲面（如包含邊界在內的正方形）一一地映射到一條（包含端點在內的線段面上每一點對應線上一點而且反過來線上每一點對應面上一點？1877年月日，他給戴德金寫信，這次他告訴他的朋友這個問題答案是肯定的理由，雖然幾年以來他都認為答案是否定的。信中說“我看到了它，但我簡直不能相信它于這一成果的論文1878年發表后，吸引人們研究度量空間維數的本質，很快出現

一批論文。這批論文標志集合拓撲的開始。1879年1883爾寫了六篇系列論文，論文總題目“論無窮線形點流形前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數學成果，特別是涉及集合論在分析上的一些有趣的應用。第五篇論文后來以單行本出版，單行本的書名《一般集合論基礎論文是第五篇的補充合論基礎》在數學上的主要成果是引進超窮數。該文從內容到敘述方式都同現代的樸素集合論基本一致，所以該書標志著點集論體系的建立。1884年，由于連續統假設長期得不到證明，再加上與克羅內克的尖銳對立神上屢遭打擊月底，康托爾支持不住了次精神崩潰的精神沮喪，不能很好地集中研究集合論，從此深深地卷入神學、哲學及文學的爭論而不能自拔。不過每當他恢復常態時，他的思想總變得超乎尋常的清晰，繼續他的集合論的工作。《對超窮集合論基礎的貢獻》是康托爾最后一部重要的數學著作獻分兩部分第一部分是全序集合的研究，于年5月在《數學年刊》上發表。第二部分于年5月在《數學年刊》上發表獻發表標志集論已從點集論過渡到抽象集合論。

但是，由于它還不是公理化的，而且它的某些邏輯前提和某些證明方法如不給予適當的限制便會導出悖論，所以康托爾的集合論通常成為古典集合論或樸素集合論。（五）艱辛曲折的過程——因悖論導致懷疑康托爾的集合論并不是完美無缺的，一方面，康托爾對“連續統假設”和“良序性定理”始終束手無策；另一方面，19和20世紀之交發現的布拉利－福蒂悖論、康托爾悖論和羅素悖論，使人們對集合論的可靠性產生了嚴重的懷疑。加之集合論的出現確實沖擊了傳統的觀念，顛倒了許多前人的想法，很難為當時的數學家所接受，遭到了許多人的反對，其中反對的最激烈的是柏林學派的代表人物之一、構造主義者克羅內克。克羅內克認為，數學的對象必須是可構造出來的，不可用有限步驟構造出來的都是可疑的，不應作為數學的對象對無理數和連續函數的理論，同樣嚴厲批評和惡毒攻擊康托爾的無窮集合和超限數理論不是數學而是神秘主義。他說康托爾的集合論空空洞洞毫無內容。集合論的悖論出現之后，他們開始認為集合論根本是一種病態，他們以不同的方式發展為經驗主義、半經驗主義、直覺主義、構造主義等學派，在基礎大戰中，構成反康托爾的陣營。

到世紀初集論已得到數學家們的認可他們樂觀地認為，從算術公理系統出發，借助集合論的概念，便可以建造起整個數學大廈，但羅素悖論的提出指出了集合論的漏洞。羅素（B.Russell）構造了一個有不屬于自（不包含自身作為元素的集合現在問R是否屬于？如果R屬于R則R滿足R的定義，因此R不應屬于自身，即R不屬于。另一方面，如果R不屬于R，R不滿足R的定義。因此R應屬于自身，即屬于。這樣不論何種情況都存在著矛盾。這個僅涉及集合和屬于兩個最基本概念的悖論，如此簡單明了致根不留有為集合論漏洞辯解的余地，絕對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中，這就是數學史上的第三次數學危機，危機產生后，眾多數學家投入到解決問題的工作中去。1908年，策梅洛（E.Zermelo，1871-1953提出公理化集合論，后經改進，形成無矛盾的集合論公理系統簡稱公理系統原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現，這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。（六）逐漸被認可和肯定集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理

化基礎，以未定義的“集合”與“集合成員”等術語來形式化地建構數學物件。在樸素集合論中，集合被當做一堆物件構成的整體之類的自證概念。在公理化集合論中，集合和集合成員并不直接被定義，而是先規范可以描述其性質的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點和線，而不被直接定義。然而有關集合論基礎的重要問題還沒有得到完滿的解決。那么，如何正確的理解集合論的合理性呢？集合論的等勢性原理，是康托為了給現代分析學構建理論和邏輯基礎而準備的，而不是為了描述“常識世界”而構造的。試圖用“常識”來反駁等勢性原理是荒謬的像在現實生中思考實無窮是沒有意義的一樣，因為你只能舉出潛無窮的例子（例如探究真理時，實踐與認識之間的反復至無窮不出實無窮的例子。只要能在邏輯上構成一致的體系，在現代分析學體系下就是正確的基礎。作為一個構造性原理，康托的理論假設可以被置換，在對爭議公理研究里已經闡明。不過如果替代了某些公理能夠形成新的體系是能描述新的體系，不能描述原有體系是“錯誤。康托爾的集合論得到公開的承認和熱情的稱贊應

該說首先在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數學家大會上表現出來士蘇黎世理工大學教授胡爾維－1919）在他的綜合報中，明確地闡述康托爾集合論對函數論的進展所起的巨大推動作用，這破天荒第一次向國際數學界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學，而是真正對數學發展起作用的理論工具。在分組會上法國數學家阿達（1865－1963