§3.2一元二次不等式及其解法（1）【教課目的】1．知識與技術：理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，掌握圖像法解一元二次不等式的方法；培育數形聯合的能力，培育分類議論的思想方法，培育抽象歸納能力和邏輯思想能力；2．過程與方法：經歷從實質情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和經過函數圖像研究一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，獲取一元二次不等式的解法；3．感情態度與價值觀：激發學習數學的熱忱，培育勇于研究的精神，勇于創新精神，同時領會事物之間廣泛聯系的辯證思想。【教課要點】從實質情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。【教課難點】理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式解集的關系。【教課過程】（一）課題導入從實質情境中抽象出一元二次不等式模型：（互聯網的收費問題）上網獲守信息已經成為人們平時生活的重要構成部分，因特網服務企業（ISP）的任務就是負責將用戶的計算機接入因特網，同時收取必定的花費。某同學要把自己的計算機接入因特網，現有兩家ISP企業可供選擇。企業A每小時收費1.5元（不足1小時按1小時計算）；企業B的收費原則以下列圖所示，即在用戶上網的第1小時內（含恰巧1小時，下同）收費1.7元，第2小時內收費1.6元，此后每小時減少0.1元（若用戶一次上網時間超出17小時，按17小時計算）。一般來說，一次上網時間不會超出17小時，所以，不如設一次上網時間總小于17小時。那么，一次上網在多長時間之內能夠保證選擇企業A的上網花費小于或等于選擇企業B所需花費？剖析問題：假定一次上網x小時，則企業A收取的花費為1.5x（元），企業B收取的花費為x(35x)（元），假如能夠保證選擇企業A比選擇企業B所需花費少，則x(35x)1.5x，2020整理得：一元二次不等式模型：x25x0①（二）解說新課1、一元二次不等式的定義象x2

5x

0這樣，只含有一個未知數，而且未知數的最高次數是

2的不等式，稱為一元二次不等式。2、研究一元二次不等式

x2

5x

0的解集如何求不等式

x2

5x

0的解集呢？研究：（1）二次方程的根與二次函數的零點的關系簡單知道：二次方程的有兩個實數根：

x1

0,x2

5，二次函數有兩個零點：x1

0,x2

5。于是，我們獲取：二次方程的根就是二次函數的零點。（2）察看圖象，獲取解集畫出二次函數yx25x的圖象，如圖，察看函數圖象，可知：當x<0，或x>5時，函數圖象位于x軸上方，此時，y>0，即x25x0；當0<x<5時，函數圖象位于x軸下方，此時，y<0，即x25x0；所以，不等式x25x0的解集是{x|0x5}，進而解決了本節開始時提出的問題。（3）研究一般的一元二次不等式的解法隨意的一元二次不等式，總能夠化為以下兩種形式：

ax2

bx

c>0（a>0）或ax2

bx

c<0（a>0），如何確立一元二次不等式

ax2

bx

c>0與ax2

bx

c<0的解集呢？組織議論：從上邊的例子出發，綜合學生的建議，能夠歸納出確立一元二次不等式的解集，要點要考慮以下兩點：（1）拋物線

y

ax2

bx

c

與

x

軸的有關地點的狀況，也就是一元二次方程ax2

bx

c=0

的根的狀況；（2）拋物線

y

ax2

bx

c的張口方向，也就是

a的符號。總結議論結果：（1）拋物線yax2bxc（a>0）與x軸的有關地點，分為三種狀況，這能夠由一元二次方程ax2bxc=0的鑒別式b24ac三種取值狀況(>0，=0，<0）來確立，所以，要分三種狀況議論；2）a<0能夠轉變為a>0。一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：設相應的一元二次方程ax2bxc0a0的兩根為x1、x2且x1x2，b24ac，則不等式的解的各樣狀況以下表：(讓學生獨立達成課本第86頁的表格)000yax2bxcyax2bxcyax2bxc二次函數yax2bxca0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根ax2bxc0x2)x1b無實根a0的根x1,x2(x1x22aax2bxc0xxx1或xx2xxbR(a0)的解集2aax2bxc0xx1xx2(a0)的解集典范解說：例1、求不等式4x24x10的解集。解：由于0,方程4x24x10的解是x1x21，所以，原不等式的解集是2xx1。2例2、解不等式x22x30。解：整理，得

x2

2x

30，由于

0,

方程

x2

2x

30無實數解，所以不等式x2

2x

3

0的解集是

，進而，原不等式的解集是

。小結：解一元二次不等式的步驟：（數軸標根法）（1）化簡：將不等式化成標準形式（右側為0）；（2）化正：將最高次的系數化為正（如1）；3）求根：計算鑒別式的值，若值為正，則求出相應方程的兩根；4）標根：將兩根在數軸上挨次標出；5）結論：記數軸上方為正，下方為負，依據不等式的符號寫出解集。（三）隨堂練習：課本第80的練習1。（四）課時小結解一元二次不等式的步驟：①將二次項系數化為“+”：A=ax2bxc>0（或<0）（a>0）②計算鑒別式，剖析不等式的解的狀況：若A0，則xx1或x2；ⅰ.>0時，求根x1<x2，若A0，則x1xx2.