材料相變與擴散江蘇大學材料科學與工程學院戴起勛2006UJS—DaiQX第2章Fick定律的應用

2.1Fick第一定律及應用

UJS—DaiQX一在單相系統中的穩態擴散1一維擴散dm/dt＝常數.對Fick第一定律積分，積分限為：y1,y2,C1,C2

UJS—DaiQX2二維擴散二維穩態時所有半徑方向上的流量均相同,如下圖.設內徑為r1，濃度c1，外徑為r2，濃度c2，那么：UJS—DaiQX3三維擴散如圖為一球殼，內徑為r1，濃度C1，外徑為r2，濃度C2。

UJS—DaiQX二、在兩相系統中的穩態擴散假設有兩組元組成一體系，一層是α相，擴散系數為Dα，另一層為β相，擴散系數為Dβ。有兩種情況：〔1〕兩層厚度與擴散物質的出現無關；〔2〕兩相存在決定于擴散物質，且兩相層的相對厚度取決于擴散過程1．兩層厚度與擴散物質出現無關如圖，事先給出兩層厚度分別用lα和lβ表示〔例碳鋼/A不銹鋼〕，擴散物質用H表示〔例氫氣〕，H在穩態建立后，在界面上的活度可用下式表示:UJS—DaiQX圖兩相擴散層中的活度和濃度分布α/γα/γUJS—DaiQX擴散物質的流量主要決定于具有最大值的那個相，這個相對擴散具有最大的阻力，這就象雙層墻的熱傳導那樣，其散熱主要取決于最好的絕熱層。所以，有：UJS—DaiQX2．兩相存在與擴散過程有關

研究B組元通過A-B合金墻的擴散。在墻的一側，B的活度很高，例與純B的氣相保持平衡,而在墻的另一側B的活度很低。如圖圖B組元在A-B合金中擴散時的濃度分布UJS—DaiQX整個厚度是恒定的，但α/β厚隨擴散而變化的，可求得：設墻厚為l,在建立穩態后，UJS—DaiQX

因此，可知道擴散元素的流量主要決定于具有最大D·ΔC的相，就是對擴散具有最小阻力的相。當Dβ＜＜Dα時,UJS—DaiQX三晶界薄膜的沉淀

A-B二元合金，在T1的均勻相冷至T0時有相析出。設晶界是平面直線形，且當晶界上開始有β相析出時，沿晶界鋪展極快，形成一層薄膜。由相圖可畫出濃度分布。圖晶界薄膜沉淀時的濃度分布UJS—DaiQXβ相的長大主要取決于B原子在α相中的擴散。B原子向β相薄膜擴散，在其附近α相中有一濃度梯度。經擴散，在dt時間內增加了dlβ厚，那么流量可得：

近似地取：Δx為過飽和度。S可由兩塊陰影面積來估計。UJS—DaiQX四新相在原兩舊相間形核長大

這種情況如鋼的加熱轉變奧氏體化。作為一般討論，設A-B二元系，有中間相β.在一定溫度時，可以在界面上形成一層β相，并以一定速率長大，其長大速率決定于通過β相層的擴散速率。如下圖.建立局部平衡時濃度分布曲線。β相形成時的濃度分布B原子擴散方向相界移動主要方向UJS—DaiQX

Fe-C相圖中在溫度T時的平衡濃度值

UJS—DaiQX采用穩態擴散的近似方法，估算β相中的濃度梯度：使B原子由β/γ界面遷移到α/β界面的速率為：設dt時間,在α/β相界面上，增厚,在β/γ相界面上增厚

,因為:UJS—DaiQX根據質量平衡，在α/β界面上有：同理在β/γ相界面上也有：兩側的長大對β相均有奉獻，所以：UJS—DaiQXUJS—DaiQX2.2Fick第二定律及應用各種表達式：(設D為常數)三維直角坐標：三維柱坐標：三維球坐標：一維球坐標：一維柱坐標：UJS—DaiQX幾個重要解：高斯〔Gauss〕解：誤差解：正弦〔Sine〕解：一維球坐標高斯方程解:(t=0時,濃質集中在r=0處)平方平均值:用數學方法都可證明上述解都符合Fick第二定律UJS—DaiQX1高斯解及應用

分布規律是：寬度B隨t而增寬，而A隨t增加而衰減，B、A的匹配變化保持總面積不變，如圖。當t=0時，B=0，A→∞。說明起始時，所有原子都集中在一起。→適合于外表涂覆的擴散。當t>0時，所有原子對擴散都有奉獻。→與事實不符。一般表達式：寬度振幅UJS—DaiQX試件單面涂覆:利用迭加原理和反射原理有：UJS—DaiQX高斯解中S的物理意義為擴散組元的總量：注意的是:實際情況只是高斯圖象的一半.所以在解決實際問題時,S值為量的2倍.UJS—DaiQX高斯解的平方平均值:=結果說明:高斯解遵循了拋物線規律.對偶函數:令:UJS—DaiQX2誤差函數解

應用迭加原理使用高斯解積分可得

一般表達式：

圖將擴散組元分割成厚dh的截面

UJS—DaiQX每個截面擴散物質的量是S=C0dh,設擴散組元分布在0→+∞之間，從高斯解方程式得：令,再經過積分變換,可得到UJS—DaiQX定義誤差函數：

(erfc稱為補〔余〕誤差函數。)所以一般表達式為：適用于半無限長的擴散。

UJS—DaiQX【例】有一厚d的板，假設使外表保持C0的濃度，那么板內濃度將如何？解：因兩邊都有擴散，所以要使用兩個誤差函數。設坐標原點在板中心,那么：根據邊界條件求A、B、C的值：當t=t,y=-d/2時：當t=t,y=d/2時：當t=0,-d/2＜y＜d/2時：UJS—DaiQXA、B、C這三個參數并不是與t總是無關的，所以，有些情況下只能是近似解。估計一下誤差：兩邊的原子剛好擴散到板的中間時,可解得：A=2C0,B=-C0,C=C0。所以近似解為：設t→∞時，那么由上式可得，C=2C0這顯然是不符合事實的，應該是：C→C0誤差函數解適合于處理半無限長的問題。UJS—DaiQX4瓦格納〔Wagner〕解法在一般情況下，兩相接觸狀態如圖

圖在初始均質相1的外表生成新相2時濃度分布UJS—DaiQX假定擴散系數與成分無關，在平衡時界面兩邊的濃度關系為線性關系C1=KC2。在一定條件時K是定值。當界面到達平衡時，根據質量平衡原理，進入或離開界面的擴散物質的凈流率等于依靠界面移動附加到相中的溶質。即：UJS—DaiQX1)初始均質的第一相外表上生成第二相最常見的是在723℃~910℃溫度范圍內，γ-Fe脫碳而在表面生成α-Fe,或α-Fe滲碳而在外表生成γ-Fe.

應用第二定律，設某合金含C量為Ci,外界的碳勢為Cs.初始條件：C(x,0)=Ci,C(0,t)=Cs.所以x>l

:x<l

:將邊界條件代入誤差函數解方程可得：UJS—DaiQX

式中B1、

B2為積分常數.x=時,誤差函數的引數必為常數。因而：

式中β為一已確定的無量綱參數。在界面處x=l.綜合以上各關系式得到:

式中，

Φ=D2/D1UJS—DaiQX消去上式中的B1、B2

。得到

通過嘗試法找出參數β.在數學上，β是誤差函數的引數;在物理上,

β是拋物線長大規律的常數。函數f(β)和f(σ)可以查有關圖,也可以計算.式中,UJS—DaiQX【例2.8】有一含0.40%C的合金鋼薄殼在與0.01%C相平衡的CO和CO2氣氛中進行800℃溫度下的奧氏體化處理。在這些條件下外表生成一些α相.問：經30分鐘后，生成的α相層有多厚？在800℃時，Dα=2×10-6cm2/s，Dγ=3×10-8cm2/sUJS—DaiQX解：在這里，Ci=0.40,Cs；從Fe-C相圖得到C1,C2=0.02.D1=Dγ,D2=Dα,所以Φ=D2/D1=66.6.如計算出β后,可得到α的厚度.這里采用嘗試法:將有關數值代入公式,有UJS—DaiQX又假設令β=0.1,那么f(β)=0.0195;σ,f(σ這樣β值大體上已定出范圍，再嘗試得β計算結果：經30分鐘后，生成的α相層為0.126mm.

利用嘗試法計算：假設令β=0.15,f(β)=0.0457;σ=βΦ1/2=1.224,f(σUJS—DaiQX現在我們用前面介紹的兩相中新相長大公式〔經穩態擴散近似處理〕來計算。因為α相只有在γ相中長大,且忽略了γ相中的擴散,那么根據式〔〕有：穩態擴散近似處理方法和Wagner較精確解法的計算結果還是比較接近的。假設直接用脫碳公式:那么誤差較大

UJS—DaiQX2)由原始兩相混合物生成單相原始狀態為二相混合物時〔如鋼的滲碳和脫碳〕可能有四種情況.UJS—DaiQX分析0<x<l，邊界條件：C2(0,t)=CS.界面l處,局部平衡為：

在界面處的質量平衡為：先求得β,假設D、t，就能計算l值.和前面同樣的方法根據初始條件和邊界條件得：UJS—DaiQX4正弦函數解

一般式為：設周波長為，振幅，那么擴散引起的衰減函數為：UJS—DaiQX

圖正弦分布的濃度曲線隨時間的變化UJS—DaiQX【例2.10】有兩相同材料的試樣，組織呈正弦分布.把其中一個試樣進行塑性變形，使厚度變為原來的1/10，其濃度變化的波長也被壓縮為原來的1/10。這兩試樣在某溫度下經過一定時間t后，發現經塑性變形試樣的濃度振幅已衰減為原來的1/10。那么另一個試樣的振幅下降多少？解：設原試樣濃度波長為a，經壓縮變形試樣的振幅是：取對數:UJS—DaiQX計算結果說明沒有經過變形的試樣，其濃度振幅只下降了2.3%。另一個試樣的濃度振幅下降為：UJS—DaiQX【例2.11】有一錳鋼，在退火前錳的偏析程度為0.6%。假設枝晶偏析平均距離。希望將錳的偏析程度降低到0.4%，問在1100℃擴散退火需多長時間？解：由有關圖或數據查得在1100℃錳在鋼中的擴散系數為因為所以UJS—DaiQX【例2.12】一種低含碳量的18-8型奧氏體不銹鋼試樣在1000℃進行熱處理，不幸在開始的一分鐘內保護氣氛失效，以致于在鋼的外表發生了滲碳。假設氣氛為恒定的碳勢，滲碳對不銹鋼外表的碳含量可到達1.2%〔質量分數〕。但在不銹鋼中允許的碳含量應小于0.04%。碳的擴散系數為D〔1000℃〕=3×10-7cm2/s。1〕假設原含碳量為0，由于碳的有害作用是由表向里的，試求滲碳一分鐘后，使試樣外表層的性能受到損害的深度是多少?2〕在一分鐘后，保護氣氛立即恢復了作用，保護氣氛與不銹鋼之間沒有碳的交換。在1000℃長期保溫后，開始一分鐘內所吸收的碳會擴散到鋼的內部。問：在保溫期間，使鋼外表層內含碳量達0.04%的最大深度是多少?3〕假設使碳在表層中的有害作用完全消除，問至少要保溫多長時間?UJS—DaiQX解：1〕因為假設是在恒定碳勢下滲碳一分鐘，所以就可以用誤差函數解來求得深度。計算結果：滲碳一分鐘后，使試樣外表層的性能受到損害的深度是。UJS—DaiQX2〕長期保溫時，外表吸收的碳會向內部擴散。但在一定范圍內，在x1深度處的濃度值是變化的。假設令，那么可求得到達最高濃度時所需的時間。然后，再可求得最高濃度值與深度之間的關系，從而求得最大深度。擴散時的表層濃度變化如下圖。圖經過不同t處理后的濃度分布圖經過不同t后在x1處的濃度值

UJS—DaiQX根據實際情況,可近似用高斯解來求解這問題.因此,S值可由前述的公式積分求得：近似處理，可直接用平均擴散距離x2=2Dt代入高斯解求得

UJS—DaiQX代入有關數據后，可得：計算結果：在保溫期間，使鋼外表層內含碳量達0.04%的最大深度是。比剛開始時的增大了幾倍.注意計算S時的時間t0為1min.UJS—DaiQX3〕假設使表層中碳的有害作用完全消除，那么要求x=0處的碳濃度要小于0.04%。隨著擴散的進行，表層的碳濃度逐漸下降，只要表層碳濃度小于0.04%，那么其它地方就沒有問題了。仍然用高斯解，并且設x=0，所以：代入數據后，計算可得t=21875s=6.08h。計算結果：使碳在表層中的有害作用完全消除，至少要保溫6小時。

UJS—DaiQX