/高中數學圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與圓的關系．解法一：〔待定系數法設圓的標準方程為．∵圓心在上,故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點．∴解之得：,．所以所求圓的方程為．解法二：〔直接求出圓心坐標和半徑因為圓過、兩點,所以圓心必在線段的垂直平分線上,又因為,故的斜率為1,又的中點為,故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上,故圓心坐標為∴半徑．故所求圓的方程為．又點到圓心的距離為．∴點在圓外．例2求半徑為4,與圓相切,且和直線相切的圓的方程．解：則題意,設所求圓的方程為圓．圓與直線相切,且半徑為4,則圓心的坐標為或．又已知圓的圓心的坐標為,半徑為3．若兩圓相切,則或．<1>當時,,或<無解>,故可得．∴所求圓方程為,或．<2>當時,,或<無解>,故．∴所求圓的方程為,或．例3求經過點,且與直線和都相切的圓的方程．解：∵圓和直線與相切,∴圓心在這兩條直線的交角平分線上,又圓心到兩直線和的距離相等．∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．又∵圓過點,∴圓心只能在直線上．設圓心∵到直線的距離等于,∴．化簡整理得．解得：或∴圓心是,半徑為或圓心是,半徑為．∴所求圓的方程為或．例4、設圓滿足：<1>截軸所得弦長為2；<2>被軸分成兩段弧,其弧長的比為,在滿足條件<1><2>的所有圓中,求圓心到直線的距離最小的圓的方程．解法一：設圓心為,半徑為．則到軸、軸的距離分別為和．由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為,故圓截軸所得弦長為．∴又圓截軸所得弦長為2．∴．又∵到直線的距離為∴當且僅當時取"="號,此時．這時有∴或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一,得．∴．∴．將代入上式得：．上述方程有實根,故,∴．將代入方程得．又∴．由知、同號．故所求圓的方程為或．類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例5已知圓,求過點與圓相切的切線．解：∵點不在圓上,∴切線的直線方程可設為根據∴解得所以即因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條,可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．例6兩圓與相交于、兩點,求它們的公共弦所在直線的方程．分析：首先求、兩點的坐標,再用兩點式求直線的方程,但是求兩圓交點坐標的過程太繁．為了避免求交點,可以采用"設而不求"的技巧．解：設兩圓、的任一交點坐標為,則有：①②①－②得：．∵、的坐標滿足方程．∴方程是過、兩點的直線方程．又過、兩點的直線是唯一的．∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．例7、過圓外一點,作這個圓的兩條切線、,切點分別是、,求直線的方程。練習：求過點,且與圓相切的直線的方程．2、過坐標原點且與圓相切的直線的方程為3、已知直線與圓相切,則的值為.類型三：弦長、弧問題例8、求直線被圓截得的弦的長.例9、直線截圓得的劣弧所對的圓心角為例10、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關系例11、已知直線和圓,判斷此直線與已知圓的位置關系.例12、若直線與曲線有且只有一個公共點,求實數的取值范圍.例13圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程,從代數計算中尋找解答．解法一：圓的圓心為,半徑．設圓心到直線的距離為,則．如圖,在圓心同側,與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點,這兩個交點符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．∴符合題意的點共有3個．解法二：符合題意的點是平行于直線,且與之距離為1的直線和圓的交點．設所求直線為,則,∴,即,或,也即,或．設圓的圓心到直線、的距離為、,則,．∴與相切,與圓有一個公共點；與圓相交,與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．練習1：直線與圓沒有公共點,則的取值范圍是練習2：若直線與圓有兩個不同的交點,則的取值范圍是.3、圓上到直線的距離為的點共有〔．〔A1個〔B2個〔C3個〔D4個4、過點作直線,當斜率為何值時,直線與圓有公共點,如圖所示．PPEOyx類型五：圓與圓的位置關系例14、判斷圓與圓的位置關系,例15：圓和圓的公切線共有條。解：∵圓的圓心為,半徑,圓的圓心為,半徑,∴.∵,∴兩圓相交.共有2條公切線。練習1：若圓與圓相切,則實數的取值集合是.2：求與圓外切于點,且半徑為的圓的方程.類型六：圓中的對稱問題例16、圓關于直線對稱的圓的方程是類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是例19<1>已知圓,為圓上的動點,求的最大、最小值．練習：1：已知點在圓上運動.求的最大值與最小值；〔2求的最大值與最小值.2設點是圓是任一點,求的取值范圍．八：軌跡問題例21已知點與兩個定點,的距離的比為,求點的軌跡方程.例22、已知線段的端點的坐標是〔4,3,端點在圓上運動,求線段的中點的軌跡方程.類型九：圓的綜合應用例25、已知圓與直線相交于、兩點,為原點,且,求實數的值．分析：設、兩點的坐標為、,則由,可得,再利用一元二次方程根與系數的關系求解．或因為通過原點的直線的斜率為,由直線與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程,由根與系數關系得出的值,從而使問題得以解決．解法一：設點、的坐標為、．一方面,由,得,即,也即：．①另一方面,、是方程組的實數解,即、是